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1、 2020届高三数学二轮复习 立体几何【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、空间几何体及其相关知识1各几何体之间的关系(1)特殊的四棱柱(2)棱柱、棱锥、棱台之间的关系(3)圆柱、圆锥、圆台之间的关系2三视图(1)几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形球 圆柱 圆锥 (2)画三视图的基本要求：正俯一样长即“长对正”，俯侧一样宽即“宽相等”，正侧一样高即“高平齐”，看不到的线画虚线三棱锥的三视图3空间几何体的表面积与体积公式几何体体积表面积圆柱(为底面半径，为高)圆锥(为底面半径，为高)圆台(为底面半径，为高)直棱柱(为底面积，为高)正棱锥(为底面
2、积，为高)正棱台(为上下底面积，为高)球(为球的半径)【点拨】不规则的空间几何体要通过分割、补形等转化为规则的空间几何体进行求解其表面积和体积4几何体的切接问题(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长(2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题，二、空间点、线、面的位置关系1空间线面的位置关系位置关系公共点个数线线共面直线相交有且仅有一个公共点平行在同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何平面内，没有公共点线面直线在平面内有无穷多个公共点直线在平面外相交有一个公共点平行没有公共点面面平行没有公共点相交有一条公共直线2空间线面的平行与垂直定理
3、名称文字语言图形语言符号语言线面平行判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与此平面平行性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任何一个平面与此平面的交线与该直线平行面面平行判定定理如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行性质定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直线面垂直判定定理一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一平面的两条直线平行面面垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直3空间角的求解(1
4、)异面直线所成的角范围：求解方法：平移法：平移直线，构造三角形补形法：补成正方体、长方体等，发现两条异面直线间的关系空间向量法：设直线、的方向向量分别为、，异面直线与所成的角为，则(2)直线与平面所成的角范围：求解方法：直接法（利用线面角的定义）三角法：先求斜线上的点到平面的距离，与斜线段的长度作比，得空间向量法：如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则有【注意】求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，而不是线面角的余弦(3)二面角范围：求解方法：定义法：过棱上同一点，在两个半平面内分别作和棱垂直的两条射线，得平面角，在三角形中求解，
5、当两个半平面是等腰三角形或直角三角形等有特殊性时使用三垂线法：在一个半平面内找一点向另一个半平面作垂线，由垂足向棱作垂线，再连接棱上的垂足和原来的点，即“一垂、二射、三斜线”射影面积法：，其中为平面角的大小，射影面积法常用于比较特殊的情况（如无棱二面角等）空间向量法：如图，二面角，平面、的法向量分别为、，则二面角 的大小为或，【提醒】在处理实际问题时，要根据具体图形确定二面角的平面角是锐角还是钝角，以确定角的大小4空间距离的求解(1)直线到平面、两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离如点到平面的距离：（其中为的法向量，为内任一点）(2)设方向向量为的直线与异面直线、都垂直，是直线上任一点，
6、是直线上任一点，则异面直线、的距离(3)用等体积法求点到平面的距离，即先用简单的方法求出所给空间几何体（如三棱锥）的体积，然后算出所求高对应面的面积，再根据体积公式，求得点到平面的距离【方法技巧突破】必考点1 空间几何体的表面积和体积的求解【典例1】(2019年全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，3D打印所用原料密度为0.9 ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g【解析】由题易得长方体的体积为664=144(cm3)，四边形为平行四边形，如图所示，连接，易知四边形的面积为矩形面积的一
7、半，即(cm2)，所以(cm3)，所以该模型的体积为144 12= 132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9 =118.8(g)【典例2】(2018全国卷)已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45，若的面积为，则该圆锥的侧面积为_【解析】如图所示，设在底面的射影为，连接，的面积为，与底面所成的角为，底面周长，圆锥的侧面积为【方法总结】(1)求简单几何体的体积时，可直接利用相应几何体的体积公式求解；(2)求组合体的体积时，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3)求以三视图蒲背景的几何体的体积时，应先根据三视图还原几何体的直观图，然后根据题设条件求解
8、【典例3】(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A10 B12 C14 D16【解析】由题意可知，该几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，则表面所有梯形之和为选B【典例4】(2016北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A B C D1【思路点拨】求解此类问题是由三视图准确地还原直观图【解析】由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥，将其放在长方体中如图所示，其中BD=CD=1，CDBD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为111=故选A
9、.【典例5】(2016浙江) 如图，在中，=若平面外的点和线段 上的点，满足，则四面体的体积的最大值是 【解析】中，因为，所以由余弦定理可得，所以要求四面体的体积，关键是寻找底面三角形的面积和点到平面的距离易知设，则，其中，且，所以，当且仅当，即时取等号故四面体的体积的最大值是【典例6】一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为 ( )A B C21 D18【解析】由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体从后面右上角和前面左下角分别截去一个小三棱锥后剩余的部分，其表面积为选A【典例7】如图，网格纸上正方形小格的边长为l（表示1 cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为
10、3 cm，高为6 cm的网柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 ( )A B C D【解析】原毛坯的体积，由三视图可知该零件为两个圆柱的组合体，其体积，故所求比值为选C【方法探究】割补法求解组合体的表面积与体积组合体的表面积与体积的求解是高考考查的重点，解决此类问题可通过分割或补形将组合体变为规则的柱体、锥体、球等几何体的表面积和体积问题，然后根据几何体表面积与体积的构成用它们的和或差来表示，在求解过程中应注意两个问题：一是注意表面积与侧面积的区别，二是注意几何体重叠部分的表面积、挖空部分的体积的计算【技巧点拨】由三视图分析该零件的结构时，可“分部分”处理本题中该零件的两
11、部分的三视图均依次为“矩形、圆、矩形”，可知对应的几何体为两圆柱的组合体必考点2 球与多面体问题的求解【典例1】(2019年全国卷)已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，是边长为2的正三角形，分别是，的中点，则球的体积为A B C D【解析】因为点，分别为，的中点，所以，因为，所以，所以，取的中点，连接，易证平面，所以，又，平面，所以平面，所以，因为，为正三角形，所以，即，两两垂直，将三棱锥放在正方体中如图所示，因为 =2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥的外接球的半径，所以球的体积，故选D【典例2】(2018全国卷)设，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且
12、其面积为，则三棱锥体积的最大值为ABCD 【思路点拨】三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的高经过球心和底面三角形的外接圆的圆心，利用底面三角形的面积求出其外接圆的半径，再利用勾股定理求出球心到底面三角形的距离即可求解【解析】设等边三角形的边长为，则，得设的外接圆半径为，则，解得，所以球心到所在平面的距离，则点到平面的最大距离，所以三棱锥体积的最大值故选B【方法总结】求解与球有关的切接问题的关键是确定球心和半径，常用方法有三种：一是定义法，利用球的定义确定球心和半径；二是补形法，将几何体补成长方体，则长方体的体对角线就是球的直径，特别适用于内接几何体中有三条共顶点的棱两两互相垂直的情形；三是轴截面
13、法，画出轴截面确定球心和半径【典例3】(2017全国卷)已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径若平面平面，三棱锥的体积为9，则球的表面积为_【解析】取的中点，连接，因为，所以因为平面平面，所以平面设，所以，所以球的表面积为【方法探究】求解此类问题的关键是做好双关：一是“方程关”，能借助图形，利用已知三棱锥的体积公式，得外接球的半径所满足的方程，解方程求出的值；二是“公式关”，即应用球的表面积公式，求其表面积【典例4】球O的球面上有四点，其中O，四点共面，ABC是边长为2的正三角形，平面SAB平面ABC，则三棱锥S-ABC的体积的最大值为 【解析】记球O的半径为，作SDAB于D，连接OD
14、，OS，则，SD平面ABC注意到，因此要使SD最大，则需OD最小，而OD的最小值等于，故SD的最大值是又三棱锥S- ABC的体积等于，因此，三棱锥S - ABC的体积的最大值是【方法探究】求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解有关几何量的目的【技巧点拨】由于本题已经给出球心位置，其半径的确定就是重点，解决本题的难点是能正确地理清已知条件中的各个信息，搞清楚要求三棱锥S-ABC的体积的最大值，需要找到三棱锥的高，而三棱锥的底面是ABC，其面积已经确定，所以要使得S-
