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1、微专题03 双曲线2020高考数学（理）二轮复习微专题聚焦【考情分析】双曲线的定义和标准方程，双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系仍是2020年高考考查的热点，题型仍将是选择题，填空题，解答题，分值512分，重点考查考生的数学运算的核心素养.考点一 双曲线的定义及其标准方程【必备知识】1、 双曲线的定义(1) 平面内与两个定点的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0,c0.当时,M点的轨迹是双曲线;当时,M点的轨迹是两条射线;当时,M点不存在.注：对双曲线定义的两点说明(1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设表示双曲线的左、右焦点,若,则点M在右支上;若,则点M在左支上
2、.(2)双曲线定义的双向运用若,则动点M的轨迹为双曲线.若动点M在双曲线上,则.2.双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程焦点坐标(-c,0),(c,0)(0,-c),(0,c)a,b,c的关系【典型例题】【例1】已知双曲线的左、右焦点分别为,以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为( )A. B. C. D.【解析】选C.因为以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,，又,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为. 【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、方程思想，核心素养是数学运算.求双曲线标准方程的步骤(1)定位:是
3、指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式.(2)定量:是指确定的数值,常由条件列方程组求解.注:若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为的形式,注意标明条件mn0)的两个焦点,点M是双曲线C上一点,且,则的面积为_.【解析】因为是双曲线C：(m0)的两个焦点,所以m+4=16,所以m=12,设,因为点M是双曲线上一点,且,所以|m-n|=4 ,由-2得mn=16,所以的面积.答案: 【方法归纳 提炼素养】数学思想是整体代换思想，核心素养是数学运算.求双曲线中焦点三角形面积的方法(1)方法一.根据双曲线的定义求出|;利用余弦定理表示
4、出之间满足的关系式;通过配方,利用整体的思想求出的值;利用公式求得面积.(2)方法二:利用公式(为P点的纵坐标)求得面积.注:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件的变形使用,二是特别注意与的关系.考点二 双曲线的几何性质【必备知识】标准方程图形焦点焦距范围对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：坐标原点顶点轴长实轴长=2a，虚轴长=2b离心率渐近线等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率为.双曲线中的几个常用结论1.过焦点垂直于实轴的直线被双曲线截得的线段叫做通径，长为.2.双曲线的焦点到渐近线的距离恰好为b,这条垂线是一条非常重要的线段.3.双曲
5、线为等轴双曲线双曲线的离心率 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).4.过双曲线焦点的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点构成的的周长为4a+2|AB|.5.巧设双曲线方程(1)与双曲线有共同渐近线的方程可表示为.(2)过已知两个点的双曲线方程可设为.【例2】已知ab0,椭圆的方程为，双曲线的方程为,与的离心率之积为,则的渐近线方程为( )A. B. C. D.【解析】选A.设椭圆和双曲线的离心率分别为和,则,.因为,所以,即,所以双曲线的渐近线方程为即.【方法归纳 提炼素养】数学思想是方程思想，核心素养是数学运算.求双曲线渐近线方程的方法(1)求双曲线中a,b的值,进而得出双曲线的
6、渐近线方程.(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.【类比训练】 已知为双曲线的焦点,过作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q且为正三角形,则双曲线的渐近线方程为_.【解析】设,代入双曲线方程得,因为PQx轴,所以|PQ|=.在Rt中,所以,即又因为,所以或(舍),又因为a0,b0,所以，所以所求双曲线的渐近线方程为.答案:【例3】已知双曲线的右焦点为F(c,0).以原点O为圆心,c为半径作圆,该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A作圆的切线,斜率为,求双曲线的离心率.【解析】设点A的坐标为,所以直线AO的斜率满足
7、所以.由已知,圆的方程为,将代入圆的方程得,即,所以,点A的坐标为, 代入双曲线方程得, 即.又因为,所以将代入式,整理得,所以， 所以,又因为e1,所以,即双曲线的离心率为.【方法归纳 提炼素养】数学思想是数形结合、消元、整体代换思想，核心素养是数学运算.求双曲线离心率的方法(1)直接法：直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.(2)方程法：列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解,注意e的取值范围.(3)特殊值法：因为离心率是比值,所以可利用特殊值法.例如,令a=1,求出相应c的值,求离心率,能有效简化计算.(4)通过特殊位置,求出离心
8、率.【类比训练】设F为双曲线C:的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.【解析】选B.PQF=60,因为|PQ|=2|QF|,所以PFQ=90,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P，F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形，|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,所以.考点三 直线与双曲线的位置关系【必备知识】判断直线与双曲线C的位置关系时,通常将直线的方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)代入双曲线C的方程,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程,即消去y,得.(1) 当a0时,设一
9、元二次方程的判别式为,则0直线与双曲线C相交;=0直线与双曲线C相切;2知,点A在双曲线内部(含焦点的区域内),设以A(2,1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2.由对称性知x1x2.因为P1,P2在双曲线上,所以两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0.因为x1+x2=4,y1+y2=2.所以=4.所求中点弦所在直线方程y-1=4(x-2),即4x-y-7=0.(2)由212-12=12知,B(1,1)在双曲线的外部(双曲线两支之间).若直线l存在,采用(1)的方法求出l的方程为y-1=2(x-1
10、),即2x-y-1=0.联立方程组消去y,得2x2-4x+3=0.因为=(-4)2-423=-80，b0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点若|PQ|=|OF|，则C的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【解析】选A . 设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，为圆心，又点在圆上，即，故选A3、(2018全国高考理科T11)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若PF1=6OP,则C的离心率为()A.5 B.2 C.3 D.2【解析】选C.方法一:设渐近线的方程为bx-ay=0,则直线PF2的方程为ax+by-ac=0,由ax+by-ac=0,bx-ay=0,可得Pa2c,abc,由F1(-c,0)及|PF1|=6|OP|,得a2c+c2+abc2=6a2c2+abc2,化简可得3a2=c2,即e=3.方法二:因为|PF2|=b,|OF2|=c,|PO|=a,在RtPOF2中,设PF2O=,则有cos=|PF2|OF2|=bc;在PF1F2中,cos=bc,b2+4c2-(6a)22b2c=bcb2+4c2-6a2=4b24c2-6a2=3c2-3a2c2=3a2e=3.4、(20
