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1、 运用正弦定理或余弦定理求解三角函数问题的方法大家知道，正弦定理和余弦定理是反映任意三角形边与角之间的关系的定理，运用正弦定理或余弦定理求解三角函数的问题实际上就是运用正弦定理或余弦定理求解任意三角形的边或角的问题。这类问题归结起来主要包括：已知任意三角形三边与三角中的其中三个，求其余的边或角；已知任意三角形边与角的某种关系，判定该三角形的形状；正弦定理或余弦定理与其它知识的综合运用求解任意三角形的边或角的问题；求解三角形的实际运用问题四种类型。那么在解答该类问题时的基本思路和方法又是怎样的呢？下面通过典型例题的解析来回答这个问题。【典例1】解答下列问题： 1、在锐角ABC中，角A、B、的对边
2、分别是a、b，若2asinB=b，则角A等于（ ）A B C D 【解析】【知识点】正弦定理及运用；解三角形的基本方法。【解题思路】运用正弦定理和问题条件得到2sinAsinB=sinB，sinB(2sinA-)=0，由0B0，2sinA-=0，从而可以求出A的值。【详细解答】锐角ABC中，角A、B、的对边分别是a、b，2asinB=b，2sinAsinB=sinB，sinB(2sinA-)=0，0B0，2sinA-=0，sinA=，0A，A=，D正确，选D。2、已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，23cosA+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（ ）A 10 B 9 C
3、 8 D 5 【解析】【知识点】二倍角公式及运用；余弦定理及运用；解三角形的基本方法。【解题思路】运用二倍角和问题条件求出cosA的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出b 的值。【详细解答】23cosA+cos2A=0，25cosA-1=0， cos,A = ， 0A0， b=5，D正确，选D。3、设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a=，sinB=，C=，则b= ；【解析】【知识点】正弦定理及运用；余弦定理及运用；解三角形的基本方法。【解题思路】运用正弦定理和问题条件求出的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出b 的值。【详细解答】 sinB=，C=，= ，=1，
4、b=c， a=，=3+-2b，3-3b=0，b=1。4、如图在ABC中，已知点D在BC边上，AD AAC，sinBAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为 ； B D C【解析】【知识点】诱导公式及运用；余弦定理及运用；解三角形的基本方法。【解题思路】运用诱导公式和问题条件求出cosBAD的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出BD 的值。【详细解答】 sinBAC=，BAC=BAD+CAD，ADAC，BAC=BAD+，BAD=-+BAC，cosBAD=cos（-+BAC）=sinBAC=， AB=3，AD=3，=18+9-233=27-24=3，BD=。5、在ABC中，A、B、C的对边
5、分别是a、b、c，已知A=，BC，b，c是方程-2x+2=0的两个实数根，求a，b，c；【解析】【知识点】一元二次方程根与系数的关系定理及运用；三角形边角关系定理及运用；余弦定理及运用；解三角形的基本方法。【解题思路】运用一元二次方程根与系数的关系定理，结合问题条件求出b，c的值，根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出a 的值。【详细解答】 b，c是方程-2x+2=0的两个实数根，BC，b=+1，c=-1， A=，=4+2+4-2-2（+1）（-1）=6，a=。6、在ABC中，已知a=3，b=2，B=2A。（1）求cosA；（2）求c的值。【解析】【知识点】正弦定理及运用；余弦定理及运用；解
6、三角形的基本方法。【解题思路】（1）运用正弦定理，结合问题条件就可求出cosA的值；（2）根据余弦定理和解三角形的基本方法就可得出c 的值。【详细解答】（1） a=3，b=2，B=2A，=，=，6 sinA.cos,A=2sinA.， sinA（6 cos,A-2）=0，0A0，6 cos,A-2=0， cos,A= ；（2）9=24+-22c，-8c+15=0，c=3或c=5。cos,A= ，A，B=2A，A+B，C，AC，c=5。思考问题1（1）【典例1】是解三角形的问题，解答这类问题需要理解并掌握正弦定理和余弦定理；（2）解三角形问题的常见类型有：已知一边和两角，求解三角形；已知两边及其
7、夹角，求解三角形；已知两边及一边的对角，求解三角形；已知三边，求解三角形；（3）已知一边和两角，求解三角形的基本方法是：运用三角形内角和定理求出未知角；运用正弦定理求出其余两边；（4）已知两边及其夹角，求解三角形的基本方法是：运用余弦定理求出未知边；运用正弦定理求出已知两边中较小边的对角；运用三角形内角和定理求出另一角；（5）已知两边及一边的对角，求解三角形的基本方法是：判定解的情况；运用正弦定理求出边未知的角的正弦值，再根据求出该角；运用三角形内角和定理求出另一角；运用正弦定理（或余弦定理）求出未知边；（6）已知三边，求解三角形的基本方法是：运用余弦定理求出最大边所对的角；运用正弦定理求出其
8、余两边的对角；（7）设ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，如果已知a，b和A，求B时，解答结果有： ， ， 三种情况；详细情况可通过把下表的空白处填上恰当的内容来进一步了解。 A A= A ab a=b absinAab a=bsinA absinA 练习1解答下列问题：1、ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinAsinB+bcos A=a，则等于（ ）A 2 B 2 C D 2、在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知- =b，sin(A-C)=2cosAsinC，则b等于（ ）A 6 B 4 C 2 D 3、在ABC中，若a=3，b=4，c= ，
9、求其最大角；4、已知三角形的一个内角为，面积是10，周长为20，求三角形各边的长。【典例2】解答下列问题：1、设ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（ ）A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定【解析】【知识点】诱导公式及运用；正弦定理及运用；和角公式及运用；判定三角形形状的基本方法。【解题思路】运用诱导公式，正弦定理与和角公式，结合问题条件求出sinA的值，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。【详细解答】 bcosC+ccosB=asinA，A+B+C=，=2R（R为ABC外接圆的半径）， sinBco
10、sC+cosBsinC=sinA，sinA= sinA， sinA(1- sinA)=0，0A0，1- sinA=0， sinA=1，A=，ABC是直角三角形，B正确，选B。2、在ABC中，若tanA= tanB成立，判断此三角形的形状；【解析】【知识点】正弦定理及运用；判定三角形形状的基本方法。【解题思路】运用正弦定理，结合问题条件得到sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，从而推出sin2A=sin2B，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。【详细解答】tanA= tanB，=2R（R为ABC外接圆的半径），sinBsinAcosB= sinAsinBcosA， sin2Bsi
11、nAsinB= sin2AsinBsinA， sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，0A， 0B0，sin2A-sin2B=0， sin2A=sin2B，2A=2B或2A=-2B，A=B或A+B=，ABC是等腰三角形或直角三角形。3、在ABC中，若sinA= ，判断此三角形的形状；【解析】【知识点】诱导公式及运用；和角公式及运用；判定三角形形状的基本方法。【解题思路】运用诱导公式与和角公式，结合问题条件得到sinB(1-sinA)+cosA(sinB+sinAcosB)=0，从而推出cosA(sinC+sinB)=0，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。【详细解答】 sinA=
12、 ，A+B+C=，sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC，sinAcosB+sinAcosAcosB-sinAsinB=sinB+sinAcosB+cosAsinB， sinB(1-sinA)+cosA (sinB+sinAcosB)=0， cosA(sinC+sinB)=0，0A， 0B0， cosA=0， A=，ABC是直角三角形。4、在ABC中，已知（+）sin(A-B)= （-）sin(A+B)，判断此三角形的形状。【解析】【知识点】和角公式及运用；差角公式及运用；判定三角形形状的基本方法。【解题思路】运用和角公式与差角公式，结合问题条件得到2cosAsinB=2sin
13、AcosB，从而推出sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，根据判定三角形形状的基本方法就可得出结果。【详细解答】（+）sin(A-B)= （-）sin(A+B)，2cosAsinB=2sinAcosB，2sinAcosAsinB=2sinBsinAcosB， sinAsinB(sin2A-sin2B)=0，0A， 0B0，sin2A-sin2B=0， sin2A=sin2B，2A=2B或2A=-2B，A=B或A+B=，ABC是等腰三角形或直角三角形。思考问题2（1）【典例2】是已知三角形中基本元素满足某个关系式，判断三角形的形状的问题，解答这类问题需要在理解正弦定理与余弦定理的基础上灵活运用定理并能结合三角函数的相关知识综合解答问题；（2）解答该类问题的常用方法是：运用正
