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1、 竖直平面内的圆周运动一、计算题1. 如图所示,小球A质量为m,固定在长为L的轻细直杆一端,并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动,已知重力加速度为g(1)若小球经过最低点时速度为6gL,求此时杆对球的作用力大小;(2)若小球经过最高点时,杆对球的作用力大小等于0.5mg,求小球经过最高点时的速度大小。2. 一质量为0.5kg的小球,用长为0.4m细绳拴住,在竖直平面内做圆周运动(g取10m/s2)。求(1)若过最低点时的速度为6m/s,此时绳的拉力大小F1?(2)若过最高点时的速度为4m/s,此时绳的拉力大小F2?(3)若过最高点时绳的拉力刚好为零,此时小球速度大小?3. 如图所示
2、,有一长为L的细线,细线的一端固定在O点,另一端拴一质量为m的小球。现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。已知水平地面上的C点位于O点正下方,且到O点的距离为1.9L。不计空气阻力。 (1)求小球通过最高点A时的速度vA的大小;(2)若小球通过最低点B时,细线对小球的拉力FT恰好为小球重力的6倍,且小球经过B点的瞬间细线断裂,求小球的落地点到C点的距离。4. 一细杆与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细杆一起在竖直平面内做圆周运动,如图所示,水的质量m=0.5kg,水的重心到转轴的距离l=50cm.(取g=10m/s2,不计空气阻力) (1)若在最高点水不流出来,求桶的最小速率;(2)若在最高
3、点水桶的速率v=3m/s,求水对桶底的压力5. 小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞离水平距离d后落地,如图所示已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为34d,重力加速度为g.忽略手的运动半径和空气阻力求:(1)绳断时小球速度的大小;(2)绳断前瞬间绳对小球拉力的大小;(3)小球落地时速度的大小;(4)改变绳长,使球重复上述运动若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少?最大水平距离为多少?6. 如图所示,沿半径为R的半球型碗的光滑内表面,质量为m的
4、小球正在虚线所示的水平面内作匀速圆周运动,小球离碗底的高度h=R2,试求(结果可用根号表示):(1)此时小球对碗壁的压力大小;(2)小球做匀速圆周运动的线速度大小(3)小球做匀速圆周运动的周期大小7. 长L=0.5m的轻杆,其一端连接着一个零件A,A的质量m=2kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动,如图所示在A通过最高点时,求下列两种情况下:(1)A的速率为多大时,对轻杆无作用力;(2)当A的速率为4m/s时,A对轻杆的作用力大小和方向(g=10m/s2)8. 如图所示,长L的轻杆两端分别固定有质量均为m的A、B两小铁球,杆的三等分点O处有光滑的水平固定转轴,使轻杆可绕转轴在竖直面内无
5、摩擦转动.用手将该装置固定在杆恰好水平的位置,然后由静止释放.重力加速度为g.求(结论可以用根号表示): (1)当杆到达竖直位置时,小球A、B的速度vA、vB各多大?(2)从释放轻杆到轻杆竖直时,该过程轻杆对小球A做的功9. 用一根长为l的轻质不可伸长的细绳把一个质量为m的小球悬挂在点O,将小球拉至与悬点等高处由静止释放,如图所示求:(1)小球经过最低点时,速度大小及细绳的拉力大小(2)小球经过最低点左边与竖直方向成60角位置时,速度大小10. 如图所示,一个圆锥摆,摆线长为1米,小球质量为0.5kg,当小球水平方向做匀速圆周运动时,摆线恰与竖直方向成=37角,g=10m/s2。求:(1)小球
6、的线速度大小;(2)摆线的拉力大小。11. 质量为m的小球,用一条绳子系着在竖直平面内做半径为R的圆周运动,小球到达最高点时的速度为v,请计算: (1)小球在最高点时绳子的拉力(2)若小球在最低点时速度变为v2+4gR,则在该处绳子对小球的拉力12. 如图所示,一质量为m=0.5kg的小球,用长R=0.4m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动g取10m/s2,求: (1)小球要做完整的圆周运动,在最高点的速度至少为多大?(2)当小球在最高点的速度为4m/s时,轻绳拉力多大?(3)若轻绳能承受的最大张力为45N,则小球在最低点时的速度不能超过多大?13. 质量为m的杂技演员(可视为质点)抓住一端固定
7、于O点的绳子,从距离水平安全网高度为h的A点由静止开始运动,A与O等高.运动到绳子竖直时松开绳子,落到安全网上时与A点的水平距离也为h,不计空气阻力,求: (1)松开绳子前瞬间绳子拉力的大小;(2)O、A之间的距离14. 小明站在水平地面上,手握不可伸长的轻绳一端,绳的另一端系有质量为m的小球,甩动手腕,使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时,绳突然断掉,球飞行水平距离d后落地,如图所示。已知握绳的手离地面高度为d,手与球之间的绳长为34d,忽略手的运动半径和空气阻力,且手的高度不变,重力加速度为g。求:(1)绳能承受的最大拉力多大;(2)改变绳长,使球重复上述运动。若绳仍在球运动
8、到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应为多少?这个最大的水平距离为多少。15. 杂技演员在做“水流星”表演时,用一根细绳系着盛水的杯子,抡起绳子,让杯子在竖直面内做圆周运动如图所示,杯内水的质量m=0.5kg,绳长l=60cm.求: (1)在最高点水不流出的最小速率(2)水在最高点速率v=3m/s时,水对杯底的压力大小16. 如图所示,长为R的轻质杆(质量不计),一端系一质量为m的小球(球大小不计),绕杆的另一端O在竖直平面内做匀速圆周运动,若小球最低点时,杆对球的拉力大小为2.5mg,求:小球最低点时的线速度大小?小球通过最高点时,杆对球的作用力的大小?小球以多大的线速度运动,通过
9、最高处时杆对球不施力?17. 质量m=1kg的小球在长为L=0.5m的细绳作用下在竖直平面内做圆周运动,细绳能承受的最大拉力Tmax=42N,转轴离地高度h=5m,不计阻力,g=10m/s2。 (1)若小球通过最高点时的速度v=3m/s,求此时绳中的拉力大小;(2)若小球在某次运动到最低点时细绳恰好被拉断,求此时小球的速度大小; (3)改变绳长,使球重复上述运动,若绳仍在球运动到最低点时断掉,要使球抛出的水平距离最大,绳长应是多少?最大水平距离为多少?18. 如图所示,半径为R的光滑圆周轨道AB固定在竖直平面内,O为圆心,OA与水平方向的夹角为30,OB在竖直方向一个可视为质点的小球从O点正上
10、方某处以某一水平初速度向右抛出,小球恰好能无碰撞地从A点进入圆轨道内侧,此后沿圆轨道运动到达B点已知重力加速度为g,求:(1)小球初速度的大小;(2)小球运动到B点时对圆轨道压力的大小19. 长L=0.5m、质量可忽略的杆,其一端连有质量为m=2kg的小球,以另一端O为转轴,它绕O点在竖直平面内做圆周运动,当通过最高点时,如图所示。求下列情况下杆对球的作用力(计算大小,并说明是拉力还是支持力,g取10m/s2)(1)当v1=1m/s时,大小为多少?是拉力还是支持力?(2)当v2=4m/s时,大小为多少?是拉力还是支持力?20. 如图所示,在光滑水平面上有一小车,小车上固定一竖直杆,总质量为M,
11、杆顶系一长为l的轻绳,绳另一端系一质量为m的小球,绳被水平拉直处于静止状态,小球处于最右端将小球由静止释放,求:(1)小球摆到最低点时小球速度的大小;(2)小球摆到最低点时小车向右移动的距离;答案和解析1.【答案】解:(1)在最低点时有:F1mg=mv12L可得:F1=mg+mv12L=7mg(2)在最高点,若杆的作用力向下,有:mg+F2=mv22L可得:v2=3gL2若杆的作用力向上,有:mgF3=mv32L可得:v3=gL2答:(1)若小球经过最低点时速度为6gL,此时杆对球的作用力大小为7mg;(2)若小球经过最高点时,杆对球的作用力大小等于0.5mg,求小球经过最高点时的速度大小为3
12、gL2或gL2。【解析】(1)在最低点,根据牛顿第二定律求得拉力;(2)杆对球的作用力大小等于0.5mg,可能是杆对求得拉力,也可能是支持力,根据牛顿第二定律求得速度。解决本题的关键知道小球在最低点向心力的来源,结合牛顿第二定律进行求解,明确杆既可是支持力,也可以是拉力。2.【答案】解:(1)当过最低点时的速度为6m/s时,重力和细线拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律得:F1mg=mv12l所以:F1=mg+mv12l=0.510N+0.5620.4N=50N;(2)当小球在最高点速度为4m/s时,重力和细线拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律得:mg+F2=mv22l所以:F2=mv2
13、2lmg=0.5420.4N0.510N=15N;(3)过最高点时绳的拉力刚好为零,重力提供圆周运动的向心力。根据牛顿第二定律得:mg=mv02l所以:v0=gl=100.4m/s=2m/s答:(1)若过最低点时的速度为6m/s,此时绳的拉力大小是50N;(2)若过最高点时的速度为4m/s,此时绳的拉力大小是15N;(3)若过最高点时绳的拉力刚好为零,此时小球速度大小是2m/s。【解析】(1)当过最低点时的速度为6m/s时,重力和细线拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求出细线的拉力。(2)当小球在最高点速度为4m/s时,重力和细线拉力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律求出细线的拉力。(3)
14、过最高点时绳的拉力刚好为零,重力提供圆周运动的向心力。根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度。解决本题的关键知道小球在竖直面内做圆周运动,靠沿半径方向的合力提供向心力。3.【答案】解:(1)小球恰好能做完整的圆周运动,则小球通过A点时细线的拉力为零,根据向心力公式有:mg=mvA2L解得:vA=gL;(2)小球在B点时根据牛顿第二定律有:Tmg=mvB2L,其中T=6mg,所以vB=5gL小球运动到B点时细线断裂,小球做平抛运动,有竖直方向:1.9LL=12gt2水平方向:x=vBt联立解得小球的落地点到C点的距离为x=3L【解析】本题考查平抛运动和圆周运动的综合问题,关键在于分析清楚物体的运动状态,知道二者的速度关系。(1)物体恰好做圆周运动通过最高点,即重力充当向心力,由向心力公式可求得最高点的速度;(2)由向心力公式可求得小球的速度;细线断裂后,小球做平抛运动,由平抛运动的规律可得出小球落地点到C的距离4.【答案】解:(1)以水桶中的水为研究对象,在最高点恰好不流出来,说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力,此时桶的速率最小此时有:mg=mvmin2L 则所求的最小速率为:vmi