《高三数学微专题课程资源——极化恒等式在数量积中的应用（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学微专题课程资源——极化恒等式在数量积中的应用（教师版）（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、极化恒等式在数量积求值中的应用【教学目标】1了解极化恒等式概念，理解极化恒等式的几何意义；2能利用极化恒等式解决数量积中的求值问题.【教学过程】1. 极化恒等式的概念：极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：极化恒等式：设是平面内的两个向量，则有极化恒等式的几何意义：在中，是边上的中线，.我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度（数量）之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.2.极化恒等式在数量积求值中的应用：极化恒等式对研究数量积问题有着怎样的帮
2、助呢？我们通过对比几道例题的解题思路来思考这个问题.y例1. （2016年江苏数学高考第13题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是 . AEFCBDx 法一:(坐标法)解：以直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，如图：设，则有，则法二:(基向量) , 因此，.上面的解法采用基向量的思想，将平面内向量用表示.而这样一个转化的过程可以用“极化恒等式”直接描述.如下： 设，则有我们看到极化恒等式其实是一种基向量思想的公式化表达，当题目需要从中线与底边这两个方向寻找基向量时，运用极化恒等式可以更好，更快的达到解题的目的.从前面的题目，我们看到极化恒等式对
3、研究共起点（终点）向量数量积问题有很大的帮助，但是对于有些不共起点（终点）向量数量积问题，我们是否可以用极化恒等式来探索呢？比如：例2（南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市2013届高三三模第13题改编）EABDCFxy在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，CD若，则的值为 法一:(坐标法)解：建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，又，法二:（基向量）解：ABCDEF则可化为法三（极化恒等式）解：如图，取中点. 四边形中，易知三线共点于ABCDEFHIJKO又在中，由中线长公式知,从而=.本题对于学生来说思路较难发现，但从极化恒等式的角度对条件、目标进行探索，思路清晰
4、，过程自然，很轻松就解决了问题。3. 巩固练习：1. (2012浙江高考)在中，是边的中点 .解：2.（2017苏锡常镇一模）在中，已知，若点满足，且，则实数的值为 解：取BC的中点D,连接DP由知：,则,又故3.（2017南通二模）如图，在平面四边形中，为的中点，且，若7，BCDOA则的值是 解：7,又则有,4.（自编）在梯形中, 满足, ,则= 。解：过A点作AE平行于DC,交BC于E,取BE中点F,连接AF,过D点作DH平行于AC,交BC延长线于H，取BH中点G,连接DG,又,则四边形ADGF为平行四边形,极化恒等式在数量积求最值中的应用【教学目标】1 能利用极化恒等式解决数量积中的求最
5、值问题：2 思考使用极化恒等式解决数量积最值问题时，有何区别.【教学过程】例1 （2016届南通、扬州、泰州二模第12题）如图（2），在同一平面内，点位于两平行直线的同侧，且到的距离分别为1，3点分别在，则的最大值是 yA法一:(坐标法)解：以直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，m建立如图所示的平面直角坐标系，B如图：则，x则，从而，OC即，又，当且仅当时等号成立.法二.(极化恒等式)A解：连接，取的中点 mB又D故nC又因为，所以 . 例2中我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而条件告诉我们边上的中线长为，故易联系到极化恒等式，只需求底边的最小值即可.AOPBxy例2（2016届南京
6、三模第13题）在半径为1的扇形AOB中，AOB60o，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则的最小值是 法一.(坐标法)解：以直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，如图：则可得直线方程为，设 ，A当时，的最小值是.B法二：(基向量)P解：,则 ,O所以当= 时,取得最小值 .法三：（极化恒等式）解：如图取的中点,连接AP即求的最小值.BDO由图可知：当时 则的最小值是 . 例1与例2通过将数量积的最值问题转化为几何线段的最值问题，极化恒等式从中起到重要的桥梁作用.但区别于例1，例2将数量积的最值问题转化为相应三角形的中线长最值问题.例2中求的最小值还可以看成“以为圆心
7、的圆与线段有公共点，求圆半径最小值”.从这种角度看较类似的还有2016届盐城市三模第11题：例3.已知线段的长为，动点满足（为常数），且点总不在以点为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值是 .解析：如图，取的中点,连接CBAD 又由点总不在以点圆心，为半径的圆内，故，则负数的最大值是. 本题我们将条件“线段的长为，动点满足（为常数）”通过极化恒等式转化为点的轨迹为圆，题目就转化为圆与圆的位置关系问题，较易解决.例4.设是外接圆的圆心，分别为角对应的边，已知，则的范围是 .解析一：设为的中点，则得又由 则又因解得，结合可求得，解析二：设外接圆的半径为，则有又因为，所以所以由，故的范围是.解析三：设
8、外接圆的半径为，分别取、的中点、，则依题意可得因为（极化恒等式）同理可得所以又因为，所以所以由，故的范围是.巩固练习：1. 正方体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为 解：设球心为O,当弦最长时,过O,此时又PO最大值为，故的最大值为22.（2013北京市朝阳区二模）点是棱长为1的正方体的底面上一点，则的取值范围是 解;取中点O,连接PO,又的取值范围是3. 设正方形的边长为4，动点在以为直径的圆弧上（如图所示），则的取值范围是 解：取CD的中点E,连接PE,又4.如图放置的边长为1的正方形顶点分别在轴，轴正半轴（
9、含原点）滑动，则的最大值为 解：取BC中点E,连接OE 由条件知O在以AD为直径的半圆上，取AD中点F,连接OF,EF的最大值为25.(自编）在平面直角坐标系中，分别在正半轴上移动， ，若点满足,则的取值范围为 .解：取AB中点为C,连接PC,故P在以C为圆心，为半径的圆上由条件知O在以AB为直径的半圆上则极化恒等式在数量积问题的综合应用【教学目标】3 能利用极化恒等式解决数量积中较复杂的综合问题：4 反思使用极化恒等式解决数量积最值问题的好处.【教学过程】例1（2015年盐城市高三数学调研14题）正方形边长为1，中心为,直线经过中心，交于，交于，为平面上一点，且，则的最小值为 .y法一.(坐
10、标法)解：建立如图所示的平面直角坐标系，NDA如图：则,设xO因为MP所以,则BC又令则=当且仅当，取等号DAMPBCN法二.（极化恒等式）解：如图连接并延长交线段于O因为三点共线所以H练习：（2012南京模拟）在中，点,分别是线段,的中点，点在直线上，若的面积为2，则的最小值是 .解：取BC的中点D,连接PD,又的面积为2设中BC边上的高为h,问题也可以从“已知向量数量积的最值求相关参数”的角度发问，比如：例2（扬州市2015届高三上学期期末考试第14题）已知，曲线恒过点，若是曲线上的动点，且的最小值为2，则 .法一:（坐标法）解：由条件知：当时，故又由,设则有：；令因为； 所以时， 令，有
11、，易知，则.法二:（极化恒等式）解：易知, 如图 则,xyBAPC连接,取的中点,连接因为的最小值为2， 则有等价于,即 当且仅当与重合时，取等号此时曲线在处的切线斜率为1，即=1 .例2需要抓住题目中隐含条件，通过极化恒等式将数量积的最值转化为角的最值，理清等号成立的条件，从而求出参数.有的时候题目的条件会告诉数量积的最值对应的位置，然后求相关的量，比如：例3（2013年浙江高考第7题）在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点P，恒有则下列选项中正确的是( ). . . . 法一:(坐标法)解：以所在直线为轴，以中垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设则C，对于边AB上任意一点P
12、,恒有BAxP对恒成立 整理可得0恒成立令当，必有，无解；当，必有，无解；当，必有，；即在的垂直平分线上.,故为等腰三角形,故选.CBAPD法二:（极化恒等式）解：取边中点,连接, 对于边上任意一点,恒有对于边上任意一点恒成立即对于边上任意一点恒成立则有,易知边上的中线垂直于,从而, 故选.对比例3中坐标法与极化恒等式两种做法，我们发现极化恒等式处理的更简洁，故在解决数量积的类似问题，我们不妨尝试多从极化恒等式的角度加以思考。练习：（2013浙江竞赛）已知直线与抛物线交于点为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列各式一定成立的是（ ）. .其中为抛物线过的切线 . . 解：由知：则故其中为抛物线过的切线 ，选B极化恒等式的反思：（1）极化恒等式源于教材又高于教材，在中，是课本上出现的2个重要的向量三角关系，而极化恒等式无非就是这两个公式的变用； （2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能； （3）向量是连接代数与几何的桥梁，由于向量的坐标运算引入，向量与代数的互换运算可以说是深入人心，而与几何的运算联系略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个遗憾，可以说极化恒等式应该是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致； 用极化恒等式“秒杀”向量试题，不论是平面还是空间，还有更多的案例，限于
