《专题04立体几何-2020年高考数学(理)大题分解》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题04立体几何-2020年高考数学(理)大题分解(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题04 立体几何 立体几何大题肢解一(2020湖北武昌区高三元月调考)如图,在直三棱柱中,分别为,的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的正弦值.【肢解1】证明:平面平面;【肢解2】求二面角的正弦值.【肢解1】证明:平面平面;【解析】(1)因为,所以.因为平面,平面,所以.因为,所以平面.因为平面,所以.易证,因为,所以平面.因为平面,所以平面平面. 【肢解2】求二面角的正弦值.【解析】方法一:过作,垂足为,过作于,连结,则可证为二面角的平面角.在中,求得;在中,求得.所以. 方法二:因为直三棱柱中,平面,以、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,因为,分别为,的中点.所以,所以,设平面
2、的一个法向量为.所以,令,则,所以.设平面的一个法向量为.所以,令,则,所以.设二面角为,依题意,所以.所以二面角的正弦值为.判定面面垂直的方法:(1)面面垂直的定义(2)面面垂直的判定定理(a,a)设向量为平面的法向量为,向量为平面的法向量,平面与平面所称的二面角为,则;. 所以或.【拓展1】如图,在直三棱柱中,分别为,的中点.(1)证明:平面平面;(2)求与平面所成角的正弦值.【解析】证明:平面平面;【解析】(1)因为,所以.因为平面,平面,所以.因为,所以平面.因为平面,所以.易证,因为,所以平面.因为平面,所以平面平面. (2)因为直三棱柱中,平面,以、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标
3、系,因为,分别为,的中点.所以,所以,设平面的一个法向量为.所以,令,则,所以.设向量与向量夹角为,所以.所以与平面所成角的正弦值为.【拓展2】如图,在直三棱柱中,分别为,的中点.(1)证明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.【解析】(1)因为,所以.因为平面,平面,所以.因为,所以平面.因为平面,所以平面平面. (2)因为直三棱柱中,平面,以、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,因为,分别为,的中点.所以,所以,设平面的一个法向量为.所以,令,则,所以.设平面的一个法向量为.所以,令,则,所以.设二面角为,依题意,所以.所以二面角的余弦值为. 1.(2020届陕西省商洛市考试高三上学期期末)
4、如图1,在等腰中,分别为,的中点,为的中点,在线段上,且.将沿折起,使点到的位置(如图2所示),且.(1)证明:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值【解析】(1)证明:取的中点,连接.因为,所以为的中点.又为的中点,所以.依题意可知且,则四边形为平行四边形,所以,从而.又平面,平面,所以平面.(2)因为,且,所以平面,平面,所以,因为,且,所以平面,所以以为原点,所在直线为轴,过作平行于的直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则,.设平面的法向量为,则,即,令,得.设平面的法向量为,则,即,令,得.从而,故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.2.(2020河南省洛阳市高三上
5、学期第一次统一考试)如图,已知四边形为等腰梯形,为正方形,平面平面,.(1)求证:平面平面;(2)点为线段上一动点,求与平面所成角正弦值的取值范围.【解析】(1)在等腰梯形中, ,所以,. 即,.又因为平面平面,平面平面平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.(2)由(1)知,分别以直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,设平面的法向量为,所以,即令,则,所以平面的一个法向量为.设与平面所成角为,所以,所以当时取最小值,当时取最大值,故与平面所成角正弦值的取值范围为.3.(2020广东省佛山市实验中学高三12月月考)如图,平面四边形中,,,将三角形沿翻折到三角形的位置,平面平面,为中点.(
6、1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)由题意为等边三角形,则,在三角形中,,,由余弦定理可求得,所以,即,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以 , 等边三角形中,为中点,则,且,所以平面,所以.(2)以为坐标原点,分别为轴,轴建立空间直角坐标系,则,,,, 设是平面的一个法向量,则,所以,取,所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.4.(2020安徽省皖江联盟高三上学期12月联考)如图,在多面体中,侧棱,都和平面垂直,.(1)证明:平面平面;(2)求直线和平面所成角的正弦值.【解析】(1)取中点,连接,因为且,所以四边形为平行四边形 ,所以,所以, ,所以四边形为平行
7、四边形,所以,所以,所以,所以平面,平面 ,所以,又平面,所以平面,因为,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的一个法向量,则,令,则,所以,设直线与平面所成角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.5.如图,在四棱锥中,侧棱底面,点在棱上,且.(1)证明:平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【解析】(1)由题意知:是等腰直角三角形,则,作交于,连接,因为,所以,又,所以四边形为平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.(2)由底面,可得,又,可知两两互相垂直,以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面的一个法向
8、量为,则,令,得,所以;设平面的一个法向量为,则,令,得,所以,设平面与平面所成锐二面角为,则,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值等于.6.(2020百校联盟TOP20高三上学期11月联考)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,且为的中点,延长交于点,且在底内的射影恰为的中点,为的中点,为上任意一点.(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.【解析】(1)由题意,E为CD的中点,因为平面ABCD,平面ABCD,所以,又因为,所以垂直平分,所以,又因,所以为正方形,所以,因为为的中点,所以,而,所以,又,所以平面,又平面,所以平面平面.(2)因为在底面ABCD内的射影恰为OA的
9、中点H,所以.因为,所以过点O分别作AD,AB的平行线(如图),并以它们分别为x,y轴,以过O点且垂直于平面的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,所以,所以,设平面的一个法向量为,则,所以,令,则,由(1)知,平面,所以平面,所以为平面的一个法向量,则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.7.(2020北京市朝阳区高三上学期期末)如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形, 平面,为的中点(1)求证:; (2)求异面直线与所成角的余弦值;(3)判断直线与平面的位置关系,请说明理由【解析】(1)连结因为底面是菱形 ,所以.又因为平面,平面,所以.又因为,所以平面.又因为平面,所以. (2)设,交
10、于点.因为底面是菱形 ,所以,又因为平面,所以,.如图,以为坐标原点,以为轴,以为轴,以过点且与平行的直线为轴,建立空间直角坐标系,则, , ,. 则,设异面直线与所成角为,则,所以,所以与所成角的余弦值为. (3)直线与平面相交.证明如下:由(2)可知,设平面的一个法向量为,则 即 令,得则,所以直线与平面相交8.(2020东北三省三校联合模拟)如图,三棱锥中,是中点,(1)求证:平面;(2)求二面角的正弦值.【解析】(1)证明:因为是中点,所以因为平面,所以平面,因为平面,所以,所以是边上中线,所以,因为,所以,所以,因为平面,所以平面.(2)以为原点,方向为轴的正方向,过平行于的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,所以设平面的一个法向量为,则,所以,取,得,同样可求得平面的一个法向量所以,所以二面角的正弦值为.