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1、上海市2013届高三下学期高考压轴卷数学理试题考生注意： 1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.复数满足（其中为虚单位），则 .2.设集合，则 . 3.直线的倾斜角 .4.的展开式中，系数最大的项为第 项.5.已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为_.6.已知，且，则 .7.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 .8.已知定义域为上的偶函数在上是减函数,且,
2、则不等式的解集为_.9.已知随机变量服从正态分布，且，则等于 .10.直线的参数方程是（其中为参数），圆的极坐标方程为，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 . 11.在直角三角形中，点是斜边上的一个三等分点，则 .12.设满足约束条件，向量，且,则的最小值为 .13.将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是 .14.已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且，记点的轨迹的长度为，则_;关于的方程的解的个数可以为_.（填上所有可能的值）.二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方
3、格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.若复数为纯虚数，则的虚部为（ ）A. B. C. D.16.指数函数且在上是减函数，则函数在R上的单调性为（ ）A.单调递增 B.单调递减 C.在上递增，在上递减 D.在上递减，在上递增 17.已知锐角A，B满足,则的最大值为（ ）A. B. C. D.18.对于定义域为0,1的函数，如果同时满足以下三个条件： 对任意的，总有 若，都有 成立； 则称函数为理想函数. 下面有三个命题：（1） 若函数为理想函数，则；（2） 函数是理想函数；（3） 若函数是理想函数，假定存在，使得，且， 则；其中正确的命题个数有（ ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3
4、个三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题6分.设的三内角的对边长分别为，已知成等比数列，且（）求角的大小；20070316（）设向量，当取最小值时，判断的形状.20.(本题满分14分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题8分. 如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，（）在直线上是否存在一点，使得平面？请证明你的结论；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.(本题满分14分）本题共3小题，第（）小题6分，第（）小题6分，第（）小题2分. 某省环保研究所对市
5、中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻(时) 的关系为，其中是与气象有关的参数，且（）令，写出该函数的单调区间，并选择其中一种情形进行证明；（）若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作，求；（）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？22.(本题满分16分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第（）小题6分. 已知点是离心率为的椭圆：上的一点斜率为的直线交椭圆于、两点，且、三点不重合（）求椭圆的方程；（）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（）求证
6、：直线、的斜率之和为定值23.(本题满分18分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第（）小题8分. 有个首项都是1的等差数列，设第个数列的第项为，公差为，并且成等差数列（）证明 （，是的多项式），并求的值；（）当时，将数列分组如下：(每组数的个数构成等差数列)设前组中所有数之和为，求数列的前项和（）设是不超过20的正整数，当时，对于（）中的，求使得不等式 成立的所有的值 2013上海市 高考压轴卷 理科数学试题答案及解析 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.【答案】【解析】2.【答案】【
7、解析】,3.【答案】【解析】4.【答案】3或5【解析】的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大.5.【答案】【解析】因为是等差数列，所以是等比数列，所以，因为，所以，所以.6.【答案】【解析】.7.【答案】【解析】圆的圆心到直线的距离为，则8.【答案】【解析】因为函数为偶函数,所以,且函数在上递增.所以由得,即,所以不等式的解集为.9.【答案】0.3【解析】，则，又分布图像关于直线对称， ，则，10.【答案】【解析】， 圆的直角坐标方程为， 即， 圆心直角坐标为 直线的普通方程为， 圆心到直线距离是， 直线上的点向圆引的切
8、线长的最小值是. 11.【答案】【解析】由题意知三角形为等腰直角三角形。因为是斜边上的一个三等分点，所以,所以，所以，所以.12.【答案】【解析】不等式对应的可行域是顶点为的三角形及其内部，由，得，可知在处有最小值13.【答案】【解析】将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数则有种，因为，所以要使两组中各数之和相，则有各组数字之和为14.则有；共8种，所以两组中各数之和相等的概率是14.【答案】【解析】由定义可知当，点P的轨迹是半径为的圆周长，此时点P分别在三个侧面上运动，所以。由正方体可知，当，点在三个面上运动，此时递增，当时，递减，当时，递增，当时，递减，如草图，所以方程的解的个数可能为
9、0,2,3,4个.二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.【答案】C；【解析】复数为纯虚数，即，16.【答案】B【解析】由已知有，显然函数在上单调递减.17.【答案】D【解析】， 又，则 则.【注】直接按和角公式展开也可.18.【答案】D【解析】(1)取 ，可得所以又有条件故（2）显然在上满足条件也满足条件若，则即满足条件故是联想函数.(3)由条件知，任給当时，由知所以若则前后矛盾；若则前后矛盾.所以三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
10、定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题6分.解:（）因为成等比数列，则由正弦定理得 又，所以因为，则 因为，所以或 又，则或，即不是的最大边，故 （）因为， 所以. 所以当时，取得最小值.此时，于是. 又，从而为锐角三角形. 20.(本题满分14分）本题共2小题，第（）小题6分，第（）小题8分.解:（）线段的中点就是满足条件的点 证明如下：取的中点连结，则 取的中点，连结，且，是正三角形，四边形为矩形， 又，且，四边形是平行四边形，而平面，平面，平面（）（法1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结，是平面与平面所成二面角的棱 平面平面，平面，又平
11、面， ,平面，是所求二面角的平面角 设，则， （法2），平面平面，以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立空间直角坐标系，则轴在平面内（如图）设，由已知，得， 设平面的法向量为，则且，解之得取，得平面的一个法向量为. 又平面的一个法向量为 .21.(本题满分14分）本题共3小题，第（）小题6分，第（）小题6分，第（）小题2分. 解：（1）单调递增区间为；单调递减区间为. 证明：任取， ，所以. 所以函数在上为增函数。(同理可证在区间上减函数) （2）由函数的单调性知，即的取值范围是 当时，记则 在上单调递减，在上单调递增，且故. （3）因为当且仅当时，. 故当时不超标，当时超标 XYODBA22.(本题满分16分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第（）小题6分.解：（）， ， （）设直线的方程为 - -，设为点到直线：的距离， ，当且仅当时取等号.因为，所以当时，的面积最大，最大值为. （）设，直线、的斜率分别为： 、，则= -* 将（）中、式代入*式整理得=0，即0 23.(本题满分18分）本题共3小题，第（）小题4分，第（）小题6分，第（）小题8分. 解：（）由题意知，同理， 又
