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1、上海市2013届高三数学下学期2月开学考试题 理 沪教版松江二中高三数学2月考试卷一填空题（每题4分，共56分）1、对于集合、，定义运算，若，则_。2、若复数满足，（其中为虚数单位），则_。3、关于的不等式（）的解集为_。4、若函数是函数的反函数，则_。25、已知向量与的夹角为,若与垂直，则实数_.16、已知数列为无穷等比数列，且满足，则数列所有项的和为_。7、若为锐角，且，则_。8、二项式展开式中的常数项为_。9、过双曲线的左焦点的弦两点都在左支上，为右焦点，且的周长为30，则 。910、若关于的方程组有唯一的一组实数解,则实数的值为_.11、从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其
2、十位数比个位数大的概率是_。12、（理）设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其中，若，则的值为_。13、对任意，函数满足，设，数列的前项的和为，则 14、（理）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”在这个定义下，给出下列命题： 到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； 到两点的“折线距离”相等的点的集合是一条直线； 到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线； 到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是一个六边形其中正确的命题是_（写出所有正确命题的序号）二、选择题：（每题5分，共20分）15、函数的零点个数为 （ C ） A） B） C） D）16、设、都是
3、非零向量，则下列四个条件：；。 则其中可作为使成立的充分条件的有 （ B ） A）个 B）个 C）个 D）个17、已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线 的左顶点为，若双曲线一条渐近线与直线平行，则实数等于（ A ）AB C D18、已知点若曲线上存在两点，使为正三角形，则称为型曲线给定下列三条曲线： ； ； 其中，型曲线的个数是 ( C ) . . . . 三、解答题：（12+14+14+16+18=74分）19、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题6分，满分12分）已知为等差数列，且，。（1）求数列的通项公式；（2）记的前项和为，若、成等比数列，求正整数的值。解：（1）由，可得：即
4、-2 代入，可得：-4 -6（2）-8 -10 化简可得：解得（舍去）-1220、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）第20题图如图，为一个等腰三角形形状的空地，腰的长为(百米)，底的长为(百米)现决定在该空地内筑一条笔直的小路(宽度不计)，将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为和.(1) 若小路一端为的中点，求此时小路的长度；(2) 求的最小值。解：(1) E为AC中点， AECE. 34， F不在BC上-2分若F在AB上，则AEAF3AE4AF3， AEAF5. AF4.在ABC中，cosA.-4分在AEF中，EF2AE2A
5、F22AEAFcosA2， EF 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为(百米)-6分(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，如图，设CEx，CFy，则xy5，111 (当xy时取等号)；-9分若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，设AEx，AFy，则xy5，11 (当xy时取等号) -12分答：最小值是.-14分21、（本题共2小题，其中第1小题6分，第2小题8分，满分14分）已知圆经过椭圆的右焦点及上顶点。（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆外一点倾斜角为的直线交椭圆于、两点，若点在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围。解：（1）与轴、轴交点为和-2 ，-4 椭圆方程为：-6（
6、2）设直线的方程为：（） 可得：-8 可得：即-9 设，则，-10 -12 化简得：可得：，取值范围为-1422、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）定义非零向量的“相伴函数”为（），向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）。记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为。（1）已知，求证：；（2）求（1）中函数的“相伴向量”模的取值范围；（3）已知点满足条件：且，向量的“相伴函数” 在处取得最大值。当点运动时，求的取值范围。解：（1）-2 函数的相伴向量，-4（2）-6 ，的取值范围为-10（3）的相伴函数，其中-11当即时取得最大值-12-13-14为
7、直线的斜率，由几何意义知-15令，则当时，-1623、（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分，满分18分） (理)已知是函数的图象上的任意两点，点在直线上，且.（1）求+的值及+的值；（2）已知，当时，设，为数列的前项和，若存在正整数，使得不等式成立，求和的值.（3）在（2）的条件下，设，求所有可能的乘积的和（理）解：（1）点在直线上，设.又，即， - - - - -(1分)当时，=， ；-（2分）当时， +=；-（3分）综合得，+. -（4分）（2）由（1）知，当时, .，-（5分）时，+ ， ，得，,则.-（6分）又时，满足上式， .-（7分），=.-（8分），为正整数，-（9分）当时，.-（10分）（3），.将所得的积排成如下矩阵：，设矩阵的各项和为.在矩阵的左下方补上相应的数可得-（12分）矩阵中第一行的各数和，矩阵中第二行的各数和，矩阵中第行的各数和，-（14分）从而矩阵中的所有数之和为.-（16分）所以-（18分）9 / 9
