《2021年高考【数学】一轮复习考点18 平面向量的数量积（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考【数学】一轮复习考点18 平面向量的数量积（解析版）（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 高考一轮高考一轮考点扫描考点扫描 真题剖析真题剖析逐一击破逐一击破 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 考点考点 18 平面向量的数量积平面向量的数量积 【考点剖析】 1.最新考试说明：最新考试说明： （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 【2020 年高考全国卷文数 5】已知单位向量的夹角为 60，则在下列向量中，与垂直的是 ,a b b （ ） ABCD ba2ba 2ba2ba 2 【答案】D 【思路导引】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断 即可 【解析】由已知可得：A： 11 co
2、s601 1 22 a ba b ，本选项不符合题意；B： 2 15 (2 )22 10 22 abba bb ，本选项不符合题意； 2 1 (2)22120 2 abba bb C：，本选项不符合题意； 2 13 (2 )22 10 22 abba bb D：，本选项符合题意故选 D 2 1 (2)2210 2 bbba bb 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量 数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查数学运算学科素养解题关键是熟记向量垂直的充 要条件 （2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 【2020 年高考全国卷理数
3、 14】设为单位向量，且，则 ,a b 1abab 【答案】 3 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 【思路导引】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对 2 abab , a b 21 a b 变形可得：，问题得解 ab 22 2abaa bb 【解析】为单位向量， ,a b ，解得：， 1ab 222 2221 bbaaaabbba 21 a b ，故答案为： 222 23 bbbabaaa 3 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了考查了平面向量模长的计算，考查平面向量积的应用， 考查转化与化归思想，考查数学运算、数学建模等学科素养解题关键是向量模的计算公式及转化能力
4、（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 【2020 年高考山东卷 7】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP AB 的取值范围是（ ） A( 2, 6) B( 6, 2) C( 2, 4) D( 4, 6) 【答案】A 【思路导引】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围 是( 1,3) ，利用向量数量积的定义式，求得结果 【解析】解法一：AB 的模为 2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是 ( 1,3) ，结合向量数量积的定义式，可知AP AB 等于AB 的模与AP 在AB 方向上
5、的投影的乘积，所以 AP AB 的取值范围是( )2,6 ，故选：A 解法二：如图，建立平面直角坐标系 Axy ，由题意知 (0,0)A ， (2,0)B ， (3, 3)C ， ( 1, 3)F ，设 ( , )P x y ，则 13x ， ( , ) (2,0)2AP ABx yx ， 226x ，AP AB 的取值范围是 ( 2,6) 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 【专家解读】本题的特点是注重向量的应用，本题考查了平面向量数量积运算，考查平面向量数量积的几 何意义，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养解题关键是理解平面向量数量积的定义 （4）能运用数量积表示两个向量的
6、夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 【2020 年高考全国卷理数 6】已知向量满足，则（ ） ,a b 5,6,6 aba bcos,a ab A B C D 35 31 35 19 35 17 35 19 【答案】D 【思路导引】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值 aab ab cos, a ab 【解析】， 5a 6b 6a b 2 2 5619aabaa b ，因此 2 22 2252 6367ababaa bb 故选 D 1919 cos, 5 735 aab a ab aab 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量
7、数 量积的计算以及向量模的计算，考查数学运算、数学建模等学科素养解题关键是熟记夹角公式 【2020 年高考全国卷文数 14】设向量，若，则 ,111 24mmab abm 【答案】5 【思路导引】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果 【解析】由可得，又 ab rr 0a b ，即。 (1, 1),(1,24)abmm 1 (1)( 1) (24)0a bmm 5m 【专家解读】本题的特点是注重基础，本题考查了考查了平面向量垂直充要条件的坐标形式，考查平面向 量积的应用，考查数学运算、数学建模等学科素养解题关键是熟记平面向量垂直充要条件的坐标形式 2.命题方向
8、预测：命题方向预测： 向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目平面向量数量积、夹角模的计算、向 量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与三角函数、解析几何等交汇命题，重 视数形结合与转化化归思想的考查 3.课本结论总结：课本结论总结： 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 （1）两个向量的夹角 定义：已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，则AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角 范围：向量夹角 的范围是 0180,a 与 b 同向时，夹角 0；a 与 b 反向时，夹角 180. 向量垂直：如果向量 a 与 b 的夹角是 90，则 a 与
9、b 垂直，记作 ab. （2）平面向量数量积 已知两个非零向量 a 与 b，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab，即 ab|a|b|cos ，其中 是 a 与 b 的夹角 规定 0a0. 向量的投影：|b|cos叫向量b在向量a方向上的投影 当 ab 时，90，这时 ab0. ab 的几何意义： 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 （3）向量数量积的性质 如果 e 是单位向量，则 aeea. abab0. aa|a|2， |a |=a a . cos a b |a |b| .( 为 a 与 b 的夹角) |ab|a|
10、b|. （4）数量积的运算律 交换律：abba. 分配律：(ab)cacbc. 对 R，(ab)(a)ba(b) （5）数量积的坐标运算 设 a(a1，a2)，b(b1，b2)，则： aba1b1a2b2. 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 aba1b1a2b20. |a|. a2 1a2 2 cos a b |a |b| 1 122 2222 1212 aba b aabb .( 为 a 与 b 的夹角) 4.名师二级结论：名师二级结论： (1)向量 b 在 a 的方向上的投影为|b|cos = | a b a . （2）若向量 ab，且，且 b= 11 ( ,)x y ，则可设
11、a= 11 (,)xy . 5.课本经典习题：课本经典习题： (1)新课标 A 版第 108 页，习题 2.4A 组第 3 题 已知|a |=2，|b |=5，a b =-3，求|a +b |,|a -b |. 【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量模的典型题. (2) 新课标 A 版第 108 页，习题 2.4A 组第 7 题 已知|a |=4，|b |=3，(2a -3b )(2a +b )=61，求a 与b 的夹角. 【经典理由】本题中是利用向量数量积求向量夹角的典型题. 6.考点交汇展示：考点交汇展示： （1）与解三角形交汇）与解三角形交汇 1 【2020 年高考江苏卷 13】在中，
12、在边上，延长 ABC4AB 3AC 90BACDBC 到，使得，若（为常数） ，则的长度是 ADP9AP 3 () 2 PAmPBm PC mCD 【答案】 18 5 【解析】由向量系数为常数，结合等和线性质可知，故， 33 () 22 mm 3 2 1 PA PD 2 6 3 PDPA 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 ，故，故在中，；在 3ADPAPDACCCDA 2CADCABC 3 cos 5 AC C BC 中，由正弦定理得，即 ADCsinsin CDAD CADC sin(2 )sin2318 2cos23 sinsin55 CC CDADADC AD CC 【专家解读
13、】本题的特点是注重向量的应用，本题考查了平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的 定义与坐标运算，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象、数学建模等学科素养解题关键是理解 平面向量数量积的定义 (2)与平面几何交汇与平面几何交汇 1已知直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，O 为坐标原点，若 3 2 AO AB ，则实数 m=（ ） A 1 B 3 2 C 2 2 D 1 2 【答案】C 【解析】联立 22 1 yxm xy ，得 2x2+2mx+m21=0，直线 y=x+m 和圆 x2+y2=1 交于 A、B 两点，O 为坐标 原点，=-2m2+80，解得 22x
14、，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2=m， 2 1 2 21 m xx ， y1y2=（x1+m） （x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，AO =（-x1，-y1） ，AB =（x2-x1，y2-y1） ， 2 112 3 , 2 AO ABAO ABxx x +y12-y1y2=1 22 11 22 mm +m2-m2=2-m2=2 3 ，解得 m= 2 2 【名师点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系、向量的数量积的应用，考查了运算能力，是中档 题 2 （2020湖北东西湖华中师大一附中高三）设A，B为双曲线 22 22 0 xy ab 同一条渐近线上的
15、两 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 个不同的点，若向量 0,2n ， 3AB 且 1 AB n n ，则双曲线的离心率为（ ） A2 或 3 2 4 B3 或 3 2 4 C 2 5 3 D3 【答案】B 【解析】由题意得 11 cos, 3 AB nAB n AB n nAB nAB ， 2 2 sin, 3 AB n 当双曲线的焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 b yx a ，即 0bxay ，点（0,2）到渐近线的距离 为 22 24 2 sin, 3 a dnAB n ab ，整理得 2 2 1 8 b a ， 2 2 13 2 11 84 cb e aa 当双曲线的焦点在 y 轴上时，其渐近线方程为 0axby ，点（0,2）到渐近线的距离为 22 24 2 sin, 3 b dnAB n ab ，整理得 2 2 8 b a ， 2 2 11 83 cb e aa 综上双曲线的离心率为 3 2 4 或 3选 B 3【2020 年高考上海卷 12】已知 * 1212 , k a
