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1、2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 高考一轮高考一轮考点扫描考点扫描 真题剖析真题剖析逐一击破逐一击破 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 考点考点 7 7 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 【考点剖析考点剖析】 1.1.最新考试说明：最新考试说明： 1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题. 【2020 年高考全国卷文数 10】设，则（ ） 35 2 log 2,log 3, 3 abc A B C Dacbabcbcacab 【2020 年高考全国卷理数 12】若，则（ ） 24 2log42log ab ab ABCD 2ab2ab
2、2 ab 2 ab 【2020 年高考全国卷文数 12 理数 11】若，则（ ） yxyx 3322 ABCD ln10yx ln(1)0yx 0ln yx0ln yx 2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化 运算中的作用 【2020 年高考全国卷理数 12】已知设，则（ 5445 58 ,138 5813 log 3,log 5,log 8abc ） A B C Dabcbacbcacab 【2020 年高考全国卷文数 8】设，则（ ） 3 log 42a4 a A B C D 1 16 1 9 1 8 1 6 3.理解对数函数的概念，
3、能解决与对数函数性质有关的问题. 【2020 年高考全国卷文理数 4】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根 据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（ 的单位：天）的 Logisic 模型： I tt ，其中为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制疫情，则 0.2353 1e t K I t K 0.95I tK 约为（）（ ）tln193 A B C D60636669 2.2.命题方向预测：命题方向预测： 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点 2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数
4、的图象与性质解决一些实际问题是重点，也 是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想 3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、 函数与方程思想 4.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.3.课本结论总结：课本结论总结： 指数与指数函数 1分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN N*，且n1)；正数的负分数指数幂的意a m nm n a 义是 (a0，m，nN N*，且n1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义 1 a m n nm a (2)有理指数幂的运算
5、性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ Q. 2指数函数的图象与性质 对数与对数函数 1对数的概念 如果axN(a0 且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中_a_叫做对数的底 数，_N_叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0 且a1，M0，N0，那么 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN； M N logaMnnlogaM (nR R)；logamMnlogaM. n m (2)对数的性质 alogaN_N_；logaaN_N
6、_(a0 且a1) (3)对数的重要公式 换底公式：logbN (a，b均大于零且不等于 1)； a a log N log b logab，推广 logablogbclogcdlogad. 1 b log a 3对数函数的图象与性质 4.4.名师二级结论：名师二级结论： （1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根 式的化简运算 （2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0a1 和a1 进行分 类讨论 （3）换元时注意换元后“新元”的范围 （4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对
7、数式与指数式的互 化进行证明 （5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围 （6）对数值的大小比较方法 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0 或 1)、化同真数后利用图象比较 5.5.课本经典习题：课本经典习题： (1)新课标 A 版第 70 页，B 组第 2 题 指数函数的图象如图所示，求二次函数的顶点的横坐标的取值范围 x b y a 2 yaxbx o y x 1 【解析】由图可知指数函数是减函数，所以而二次函数的顶点的横坐 x b y a 01 b a 2 yaxbx 标为，所以，
8、即二次函数的顶点的横坐标的取值范围是 1 22 bb aa 1 0 22 b a 2 yaxbx 1 0 2 ， 【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标 A 版第 60 页，B 组第 4 题 设其中确定为何值时，有： 312 12 , xx yaya 0,1.aa且x 12; (1)yy 12 (2).yy 【解析】 （1）3x+1=-2x时，得x=-; 1 5 (2)时，单调递增，由于，得 3x+1-2x得x-, ，单调递减，由1a x ya 12 yy 1 5 01a x ya 于，得 3x+1-2x解得x- 12 yy 1 5 【经典理由】根据 a 的取值进行分类讨论
9、(3)新课标 A 版第 72 页，例 8 比较下列各组数中两个数的大小： 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 （1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 (且)0a 1a 【解析】 （1） y = log 2 x 在 ( 0 , + ) 上是增函数且 3 . 48 . 5， log 2 3 . 4 log 2 8 . 5 ； （2） y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + )上是减函数且 1 . 82 . 7， log 0 .
10、 3 1 . 8log 0 . 3 2 . 7； （3）解：当时， y = log a x在( 0 , + ) 上是增函数且 5 . 15 . 9，1a log a 5 . 1log a 5 . 9， 当 0a1 时， y = log a x在 ( 0 , + ) 上是减函数且 5 . 15 . 9， log a 5 . 1log a 5 . 9 【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 6.6.考点交汇展示：考点交汇展示： (1)(1)指数（对数）函数与集合交汇指数（对数）函数与集合交汇 例 1 （2020云南省云南师大附中高三其他（理） ）已知集合 2 | (
11、1)0,|log (1)Ax x xBx yx ，则 AB （ ） A | 1x x B | 0 x x C |0 1xx D 例 2（2020黑龙江省哈师大附中高三其他（文） ）若全集U R，集合 |lg 6Ax yx ， |21 x Bx ，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A 2,3 B 1,0 C 0,6 D ,0 (2)(2)指数（对数）函数与不等式交汇指数（对数）函数与不等式交汇 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 例 3 （2020福建省高三）已知函数 ,0 ( ) ln ,0 x ex f x x x ，则不等式 1 ( ) 2 f x 的解集是（ ） A( ,ln2(
12、0,e B( ,ln2) C(0, e D( ,ln2)(0,)e 例 4 （2020上海高三专题练习）函数 log31,(0 a yxa 且 1)a 的图象恒过定点 A，若点 A 在直 线 10mxny 上（其中 m，n0） ，则 12 mn 的最小值等于_. (3)(3)指数（对数）函数与函数零点交汇指数（对数）函数与函数零点交汇 例 5 （2020辉县市第二高级中学高三）函数 3 ( )logsinf xxx 在区间 2,3 上零点的个数为（ ） A5B6C7D8 例 6 （2020河北省高三二模）已知方程 2 2log0 x x 的两根分别为 1 x ， 2 x ，则（ ） A 12
13、12x x B 12 2x x C 12 1x x D 12 01x x (4)(4)指数（对数）函数与数列交汇指数（对数）函数与数列交汇 例 7 （2020陕西省高三二模）等比数列 n a ， 0 n a 且 5638 54a aa a ，则 3132310 logloglogaaa （ ） A12B15C8D 3 2log 5 (5)(5)指数（对数）函数与函数性质交汇指数（对数）函数与函数性质交汇 例 8 （2020迁西县第一中学高三）已知定义在R上的函数 f x 在区间 0, 上单调递增，且 1yf x 的图象关于 1x 对称，若实数a满足 1 2 log2faf ，则a的取值范围是（
14、 ） A 1 0, 4 B 1 , 4 C 1 ,4 4 D 4, 例 9 （2020天津一中高三）已知定义在R的函数 yf x 对任意的x满足 2f xf x ，当 2021 年高考考点扫描 一轮复习备战高考 11x ， 3 f xx ，函数 log,0 1 ,0 a x x g x x x ，若函数 h xf xg x 在 6, 上有 6 个零点，则实数a的取值范围是（ ） A 1 0,7, 7 B 1 1 ,7,9 9 7 C 1 1 ,7,9 9 7 D 1 ,11,9 9 (6)(6)指数（对数）函数与充分必要条件交汇指数（对数）函数与充分必要条件交汇 例 10 （2020浙江省高三
15、其他）已知 0a ， 0b ，则“ln ln0ab ”是“ ln0ab ”的（ ）. A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【考点分类考点分类】 热点热点 1 1 指数函数、对数函数指数函数、对数函数 1 （2020山东省高三二模）若log 0 ab （ 0a 且 1a ） ， 2 21 bb ，则（ ） A 1a ， 1b B0 1a ， 1b C 1a ，0 1b D0 1a ，0 1b 2.（2020哈尔滨市第一中学校高三一模）已知 1f x 是定义在R上的奇函数， 22f ，且对任意 1 1x ， 2 1x ， 12 xx ， 12 12 f xf x xx 0 恒成立，则使不等式 2 2log2fx 成立的x的取值范 围是（ ） A 0,1 B 0,2 C 4, D 1,4 3 （2020黑龙江省哈尔滨三中高三）中国的 5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农 公式： 2 log1 S CW N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W ， 信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 S N 叫做信噪比.当信噪
