《2021年数学中考一轮单元复习达标精准突破：专题22 二次函数（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年数学中考一轮单元复习达标精准突破：专题22 二次函数（教师版）（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 专题专题 2222 二次函数二次函数 知识点一：二次函数的基本概念与特征知识点一：二次函数的基本概念与特征 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a ）的函数，叫做 二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ，而bc，可以为零二 次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 知识点二：二次函数的基本形式及其性质知识点二：二次函数的基本形式及其性质 1. 2 yax的性质： （a 的绝对
2、值越大，抛物线的开口越小） 2. 2 yaxc的性质： （上加下减） a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 2 3. 2 ya xh的性质： （左加右减） 4. 2 ya xhk的性质： 知识点三：二次函数图象的平移知识点三：二次函数图象的平移 1. 平移步骤： a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随
3、 x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随 x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值0 0a 向下0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随 x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh
4、时，y随 x的增大而增大；xh时，y有最大值k 3 方法 1： 将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk，确定其顶点坐标hk，； 保持抛物线 2 yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律:在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右 减，上加下减” 方法 2： cbxaxy 2 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 mcbxaxy 2 （或mcbxaxy 2 ） cbxaxy 2 沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy 2 变成 cmxbmxay)()( 2 （或cmxbmxay)()(
5、 2 ） 知识点四：二次函数知识点四：二次函数 2 ya xhk与与 2 yaxbxc的比较的比较 从解析式上看， 2 ya xhk与 2 yaxbxc是两种不同的表达形式， 后者通过配方可以得到前者， 即 2 2 4 24 bacb ya x aa ，其中 2 4 24 bacb hk aa ， 知识点五一：二次函数知识点五一：二次函数 2 yaxbxc图象的画法图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 2 yaxbxc化为顶点式 2 ()ya xhk，确定其开口方向、对称轴 及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为： 顶点、 与y轴的交点0c，、 4
6、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点 1 0 x ， 2 0 x ，（若与x轴没有交点，则取两组关 于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 知识点六：二次函数知识点六：二次函数 2 yaxbxc的性质的性质 1. 当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 当 2 b x a 时，y随x的增大而增大； 当 2 b x a 时，y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a
7、 ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的增大而增大； 当 2 b x a 时，y随x的增大而减小； 当 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 acb a 知识点七：二次函数解析式的表示方法知识点七：二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数，0a ） ； 3. 两根式： 12 ()()ya xxxx（0a ， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写 成交
8、点式， 5 只有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函 数解析式的这三种形式可以互化. 知识点八：二次函数的图象与各项系数之间的关系知识点八：二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数 2 yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a 当0a 时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； 当0a 时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物
9、线的对称轴 在0a 的前提下， 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的右侧 在0a 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线的对称轴就是y轴； 当0b 时，0 2 b a ，即抛物线对称轴在y轴的左侧 总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置 6 ab的符号的判定：对称轴 a b x 2 在y轴左边，则0ab，在y轴的右侧，则0ab，概括的说就是“左 同右异”
10、 。 3. 常数项c 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； 当0c 时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； 当0c 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置 总之，只要abc， ，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 知识点九：二次函数图象的对称知识点九：二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc ； 2 ya xhk关于x轴对称后，得到的解析
11、式是 2 ya xhk ； 2. 关于y轴对称 2 yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc； 2 ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是 2 ya xhk； 3. 关于原点对称 2 yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是 2 yaxbxc ； 2 ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk ； 4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180） 7 2 yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是 2 2 2 b yaxbxc a ； 2 ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是 2 ya xhk 5. 关于点mn，对称 2 ya xhk关于点mn
12、，对称后，得到的解析式是 2 22ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物 线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物 线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式 知识点十：二次函数与一元二次方程知识点十：二次函数与一元二次方程 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）： 一元二次方程 2 0axbxc是二次函数 2 yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
13、 （1）当 2 40bac 时，图象与x轴交于两点 12 00A xB x， ， 12 ()xx，其中的 12 xx，是一元二次方 程 2 00axbxca的两根这两点间的距离 2 21 4bac ABxx a . （2）当0 时，图象与x轴只有一个交点； （3）当0 时，图象与x轴没有交点. 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y ； 当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2. 抛物线 2 yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c； 8 一、二次函数解析式的确定一、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式，常利用待定系数法用
14、待定系数法求二次函数解析式必须根据题 目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 二、二次函数考查重点与常见题类型总结二、二次函数考查重点与常见题类型总结 类型 1.考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中； 类型 2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两 个函数的图像，试题类型为选择题； 类型
15、 3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔 性的综合题； 类型 4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题； 类型 5.考查代数与几何的综合能力，常见的中考题作为专项压轴题。 三、二次函数常用解题方法总结三、二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 2 yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判 断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对
16、称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个 交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 9 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 2 (0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下 面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 【例题 1】 （2020枣庄）如图，已知抛物线 yax2+bx+c 的对称轴为直线 x1给出下列结论： ac0；b24ac0；2ab0；ab+c0 其中，正确的结论有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【答案】C 0 抛物线与x轴有 两个交点 二次三项式的值可正、 可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只 有一个交点 二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无 交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 10 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与 x 轴、y 轴的交点，综合进行判断即可 【解析】抛物线开口向下，
