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1、九年级数学中考第一轮复习 函数华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：中考第一轮复习 函数二. 重点、难点扫描：1. 平面直角坐标系：平面直角坐标系概念，坐标平面内点的坐标特征，不同位置点的坐标特征。2. 函数：函数概念，函数自变量取值范围，函数的表示法（解析法，列表法，图象法），函数的图象。3. 一次函数意义（正比例函数意义），毛一次函数图象，一次函数性质，一次函数应用，待定系数法，两直线的位置关系。4. 反比例函数的意义、性质、图象； 5. 二次函数的意义，二次函数的图象，二次函数的性质（顶点、对称轴、开口方向、增减性）；6. 待定系数法确定二次函数解析式：顶点式：ya（xh）2k（a0
2、），一般式：yax2bxc（a0），两根式：ya（xx1）（xx2）（a0）；抛物线yax2bxc的图象与a、b、c之间的关系；7. 二次函数与一元二次方程的关系。三. 知识梳理：1. 平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴构成了平面直角坐标系。点的坐标：坐标平面内一对有序实数（x，y）所对应的点叫做这个点的坐标，其中x叫做横坐标，y叫做纵坐标。点的坐标特征；各象限点；关于坐标轴对称的点等等。数轴上的点与实数构成一一对应关系，于是坐标平面上的点与实数对P（，）构成一一对应的关系。2. 函数函数的概念，设在一个变化范围内有两个变量，如果对于的每一个值变量都有惟一确
3、定的值与之对应，那么我们就说是函数中的自变量，是自变量的函数，其中的变化范围称自变量的取值范围（也称定义域）函数的变化范围称为在自变量的变化条件下的函数的值（也称值域）。函数的表示法有三种，即图象法，列表法和解析式法。3. 一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数的定义：如果，那么叫做的一次函数；当时，则叫做的正比例函数。一次函数的作图方法，一次函数的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以我们通常在平面直角坐标系中，描出适合函数的两点，然后过这两点画一直线所得的图形就得到一次函数的图象。求一次函数的解析式通常有方程建模法和待定系数法两种。方程建模法：就是说根据条件里所有的相等关系，建立含有
4、变量和的模型（方程）。然后化为一般形式。待定系数法：设为一次函数模型，找两个适合函数的点的坐标代入得方程组，求解系数和。一次函数的图象和性质一次函数的性质：设ykxb（k0），则当k0时，y随x的增大而增大；当k0， y随x的增大而减小。函数与方程及不等式的联系函数反映的是整个变化过程中两个变量之间的关系，方程是某一时刻两个变量之间的关系，而不等式则是某一时段两个变量之间的关系。4. 反比例函数反比例函数的概念：形如的函数叫做反比例函数，自变量的取值范围是。反比例函数的图象是双曲线。反比例函数的性质：当0时，反比例函数的图象在第一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小；当0时，反比例函数的图
5、象在第二、四象限，在每一个象限内，随的增大而增大。5. 二次函数一般式：。图象：函数的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线。性质：设开口方向：当a0时，抛物线开口向上，当a0时，抛物线开口向下；对称轴：直线；顶点坐标（；增减性：当a0时，如果，那么y随x的增大而减小，如果，那么y随x的增大而增大；当a0时，如果，那么y随x的增大而增大，如果，那么y随x的增大而减小。顶点式。图象：函数的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线。性质：设开口方向：当a0时，抛物线开口向上，当a0时，抛物线开口向下；对称轴：直线；顶点坐标；增减性：当a0时，如果，那么y随x的增大而减小，如果，那么y随x的增大而增大；当a0时，
6、如果，那么y随x的增大而增大，如果，那么y随x的增大而减小。【典型例题】例1. 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（2，1）、B（3，1）、C（1，1）。若四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是_。 将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90到点B，则点B的坐标是_。 分析：了解平面直角坐标系的意义，会判断点的位置或求点的坐标。利用数形结合的方法，直观求解。解：D（2，1）； B（1，3）。例2. 放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢?”小丽思考了一会儿说：“我来考考你，图、图分别表示你和我的工作量与工作
7、时间关系，你能算出我加工了多少千克吗?”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了_千克。” 分析：会根据图象获取信息，进行判断。结合已知条件和图象，先求出小明休息前的工作时间和小丽的工作效率，是解决问题的关键。解：小丽现在加工了20千克。例3. 小明根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把家还。”如果用纵轴y表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴x表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ）分析：了解函数的表示方法，理解函数图象的意义。本例主要考查识图能力，对于函数图象信息题，要充分挖掘图象所含信息，通过读图、想图、析图
8、找出解题的突破口。另外，函数图象信息通常是以其他学科为背景，因此熟悉相关学科的有关知识对解题很有帮助。解：选C。例4. 若一次函数y2xm1的图象经过第一、第二、三象限，求m的值。分析：理解一次函数的概念和性质，这是一道一次函数概念和性质的综合题。一次函数的一般式为ykxb（k0）。首先要考虑|m2|1。函数图象经过第一、二、三象限的条件是k0，b0，而k2，只需考虑m10。由便可求出m的值。解：根据已知条件可得：，由|m2|1得m3或m1，再由m10得m1，所以m的值为3。例5. 鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）存在一种换算关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：鞋长16192427鞋码222
9、83844分析上表，“鞋码”与鞋长之间的关系符合你学过的哪种函数？ 设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式； 如果你需要的鞋长为26cm，那么应该买多大码的鞋？分析：用待定系数法确定一次函数表达式及其应用。本题是以生活实际为背景的考题。题目提供了一个与现实生活密切联系的问题情境，以考查学生对有关知识的理解和应用所学知识解决问题的能力，同时为学生构思留下了空间。解：通过描点，观察这些点呈什么形状，从而判断“鞋码”与“鞋长”之间是一次函数关系；设ykxb，则由题意，得 ，y2x10；当x26时，y2261042。答：应该买42码的鞋。例6. 某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与
10、生长时间x（天）之间的关系如折线图所示。这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克。 （1）分别求出x40和x40时y与x之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时，需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？分析：建立函数模型解决实际问题。本题提供了一个与生产实践密切联系的问题情境，要求学生能够从已知条件和函数图象中获取有价值的信息，判断函数类型。建立函数关系。为学生解决实际问题留下了思维空间。解：当x40时，设ykxb。根据题意，得，当x40时，y与x之间的关系式是y50x1500
11、；当x40时，y504015003500。当x40时，根据题意得，y100（x40）3500，即y100x500。当x40时，y与x之间的关系式是y100x500。当y4000时，由y与x之间的关系式y100x500，得不等式100x5004000，解之，得x45，应从第45天开始进行人工灌溉。例7. 若函数y（m21）x为反比例函数，则m_。分析：理解反比例函数的意义。在反比例函数y中，其解析式也可以写为ykx1，故需满足两点，一是m210，二是|m3|31。解：m5。点评：函数y为反比例函数，需满足k0，且x的指数是1，两者缺一不可。例8. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3
12、（x3，y3）是反比例函数y的图象上的三点，且x1x20x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A. y3y2y1 B. y1y2y3 C. y2y1y3 D. y2y3y1分析：会灵活运用反比例函数图象和性质解题。本题解法一是根据反比例函数的性质分析，一是用特殊值法，另一种方法是画草图。解：选C。例9. 如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y图象交于A（2，1），B（1，n）两点。求反比例函数和一次函数的解析式；根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围。分析：求反比例函数解析式需要求出m的值。把A（2，1）代入y中便可求出m2。把B（1，n）代入y中得n2。由待定系数
13、法不难求出一次函数解析式。认真观察图象，结合图象性质，便可求出x的取值范围。解：根据题意，将（2，1）代入y，得m2，即反比例函数的解析式为y。再将（1，n）代入y，得n2。把A（2，1），B（1，2）代入ykxb，得，解之得。所以一次函数的解析式为yx1。观察图象，可知使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围是：x2或0x1。例10. 直线ykxb（k0）的图象如图（1），则方程kxb0的解为x_，不等式kxb0的解集为x_。 （1） （2）如图（2），已知函数yaxb和ykx的图象，则方程组的解为_。分析：利用一次函数图象求方程（组）及不等式（组）的解。抓住直线与x的交点就可迎刃而解
14、。两直线的交点坐标即为方程组的解。解：x2； 不等式的解集为：x2。方程组的解是：例11. 已知二次函数的图像如图所示，则、满足 （ ）A. B. C. D. 分析：因为开口方向向下，所以；因为与轴交于正半轴，所以；因为对称轴且，所以。解：A评注：在二次函数中，开口方向确定的符号；与轴交点的位置确定的符号；对称轴的位置与开口方向确定的符号；与轴交点的个数确定的符号。例12. 如图，用长为18 m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃。设矩形的一边为（m），面积为（m2），求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；当为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？分析：求二次函数的最值有两种方法，一是配方法，二是公式法；但不论哪种方法，都要注意自变量的取值范围。解： 由已知，矩形的另一边长为，
