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1、2.2函数的单调性与最值,-2-,知识梳理,考点自诊,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),上升的,下降的,-3-,知识梳理,考点自诊,(2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做函数y=f(x)的单调区间.,增加的 减少的,区间D,-4-,知识梳理,考点自诊,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,-5-,知识梳理,考点自诊,1.函数单调性的常用结论:,-6-,知识梳理,考点自诊,-7-,知识梳理,考点自诊,2.下列函数中,在区间(-1,1)
2、上是减少的是 () A.B.y=cos x C.y=ln(x+1)D.y=2-x,D,-8-,知识梳理,考点自诊,3.(2017全国2,文8)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的递增区间是() A.(-,-2)B.(-,1) C.(1,+)D.(4,+),D,解析:由题意可知x2-2x-80,解得x4.故定义域为(-,-2) (4,+),易知t=x2-2x-8在(-,-2)内是减少的,在(4,+)内是增加的.因为y=ln t在t(0,+)内递增,依据复合函数单调性的同增异减原则,可得函数f(x)的递增区间为(4,+).故选D.,-9-,知识梳理,考点自诊,4.(2018北京,理13改编)能说
3、明“若f(x)f(0)对任意的x(0,2都成立,则f(x)在0,2上是增加的”为假命题的一个函数是.,-10-,考点1,考点2,考点3,证明或判断函数的单调性 例1讨论函数f(x)=x+ (a0)在(0,+)内的单调性.,-11-,考点1,考点2,考点3,-12-,考点1,考点2,考点3,思考判断函数单调性的基本方法有哪些? 解题心得1.判断函数单调性的四种方法: (1)定义法;(2)图像法;(3)利用已知函数的单调性;(4)导数法. 2.证明函数在某区间上的单调性有两种方法: (1)定义法:基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断. (2)可导函数可以利用导数证明. 3.复合函数单调性的判断方
4、法: 复合函数y=f(g(x)的单调性,应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.,-13-,考点1,考点2,考点3,因为-10,x1-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2), 即函数f(x)在(-1,1)内是减函数; 当a0时,f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2), 即函数f(x)在(-1,1)内是增函数.,-14-,考点1,考点2,考点3,求函数的单调区间 例2求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y= (x2-3x+2); (3)f(x)=(3-x2)ex.,画出函数图像如图所示,由图知
5、函数的单调递增区间为(-,-1和0,1,单调递减区间为-1,0和1,+).,-15-,考点1,考点2,考点3,-16-,考点1,考点2,考点3,思考求函数的单调区间有哪些方法? 解题心得求函数的单调区间与确定函数单调性的方法一致,常用以下方法: (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义. (3)图像法:如果f(x)是以图像形式给出的,或者f(x)的图像易作出,可由图像的直观性写出它的单调区间. (4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.,-17-,考点1,考点2,考点3,B,C,B,-18-,考点1,考
6、点2,考点3,(2)f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x(0,2).令g(x)=-x2+2x,当x(0,1)时,g(x)单调递增,y=ln x单调递增,所以f(x)单调递增;当x(1,2)时,g(x)单调递减,y=ln x单调递增,所以f(x)单调递减.故f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,2)内单调递减,排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln2-(2-x)=ln(2-x)+ln x=f(x),所以y=f(x)的图像关于直线x=1对称,故排除选项D,选C.,-19-,考点1,考点2,考点3,-20-,考点1,考点2,考点3,函数单调性的应用(多考向)
7、 考向1利用函数的单调性求函数的值域或最值,A,-21-,考点1,考点2,考点3,思考函数最值的几何意义是什么?如何利用函数的单调性求函数的值域或最值?,-22-,考点1,考点2,考点3,考向2利用函数的单调性比较大小 例4(2018河北衡水中学金卷一模,7)已知偶函数f(x)在区间(0,+)上是增加的,且a=log52,b=ln 2,c=-20.1,则f(a),f(b),f(c)满足() A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(a)f(b) C.f(c)f(b)f(a)D.f(a)f(b)f(c) 思考如何利用函数的单调性比较大小?,D,故f(a)f(1),故f(a)f(b)f(c),故
8、选D.,-23-,考点1,考点2,考点3,考向3利用函数的单调性解不等式,思考如何解与函数有关的不等式?,A,-24-,考点1,考点2,考点3,当f(x)0时,x0,f(x)递增,当f(x)f(x+3)等价于|2x|x+3|,将不等式两边平方, 得3x2-6x-90, 解得x3或x-1,故答案为A.,-25-,考点1,考点2,考点3,考向4利用函数的单调性求参数的值(或范围) 例6(2018湖南长郡中学仿真,11)定义在(0,+)上的单调函数f(x)对任意的x(0,+)都有f(f(x)-log3x)=4,则不等式f(a2+2a)4的解集为() A.a|a1B.a|a1 C.a|-3a1D.a|
9、a-3,A,解析:令f(x)-log3x=x0,则f(x0)=4, f(x)=log3x+x0. 又f(x0)=4,log3x0+x0=4, 解得x0=3,可得f(x)=log3x+3, y=f(x)是增函数,由f(a2+2a)4, 则f(a2+2a)f(3),a2+2a3, 解得a1.故选A.,-26-,考点1,考点2,考点3,思考如何利用函数的单调性求参数的值(或范围)? 解题心得1.函数最值的几何意义:函数的最大值对应图像最高点的纵坐标,函数的最小值对应图像最低点的纵坐标.利用单调性求解最值问题,应先确定函数的单调性,再由单调性求解. 2.比较函数值的大小,应先将自变量转化到同一个单调区
10、间内,再利用函数的单调性解决. 3.求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)f(n)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,应注意m,n应在定义域内取值. 4.利用单调性求参数时,应根据问题的具体情况,确定函数的单调区间,列出与参数有关的不等式,或把参数分离出来求解.,-27-,考点1,考点2,考点3,B,C,D,D,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,(3)f(x+2)关于x=-2对称f(x)为偶函数, f(x-2)1f(x-2)f(-2)f(|x-2|)f(|-2|), f(x)在(0,+)递增, f(|x-2|)f(|-2|)|x-2|2,即0 x4
11、.选D.,-30-,考点1,考点2,考点3,1.函数单调性判定的常用方法:图像法、定义法、导数法、利用已知函数的单调性. 2.求函数值域或最值的常用方法: (1)先确定函数的单调性,再由单调性求值域或最值. (2)图像法:先作出函数在给定区间上的图像,再观察其最高点、最低点,求出值域或最值. (3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求解. (4)换元法:对比较复杂的函数,可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求值域或最值. (5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正、二定、三相等”的条件后,再用基本不等式求出值域或最值.,-31-,考点1,考点2,考点3,(6)导数法:首先求导,然后求在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出值域或最值. 3.复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解. 4.解决分段函数的单调性问题时,要高度关注: (1)抓住对变量所在区间的讨论. (2)保证各段上同增(减)时,要注意上段、下段的端点值之间的大小关系. (3)弄清最终结果取并还是取交.,-32-,考点1,考点2,考点3,1.求函数的单调区间,应先确定函数的定义域,脱离定义域研究函数的单调性是常见的错误. 2.不同的单调区间之间不能用符号“”连接.,
