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1、2.4幂函数与二次函数,-2-,知识梳理,考点自诊,1.幂函数 (1)幂函数的定义 (1)幂函数的定义:形如(R)的函数称为幂函数,其中x是,是. (2)五种幂函数的图像,y=x,自变量,常数,-3-,知识梳理,考点自诊,(3)五种幂函数的性质,R,R,R,0,+),x|xR,且x0,R,0,+),R,0,+),y|yR,且y0,增,x0,+)时,增, x(-,0)时,减,增,增,x(0,+)时,减, x(-,0)时,减,-4-,知识梳理,考点自诊,2.二次函数 (1)二次函数的三种形式 一般式:; 顶点式:,其中为顶点坐标; 零点式:,其中为二次函数的零点.,f(x)=ax2+bx+c(a0
2、),f(x)=a(x-h)2+k(a0),(h,k),f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0),x1,x2,-5-,知识梳理,考点自诊,(2)二次函数的图像和性质,-6-,知识梳理,考点自诊,-7-,知识梳理,考点自诊,-8-,知识梳理,考点自诊,-9-,知识梳理,考点自诊,-10-,知识梳理,考点自诊,2.已知函数y=x2+ax+6在 内是增函数的,则a的取值范围为() A.a-5B.a5 C.a-5D.a5,C,3.如图是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的图像,则a,b,c的大小关系为() A.abcB.abc C.bcaD.acb,D,解析:根据幂函数的性质,可知选D.,-11
3、-,知识梳理,考点自诊,4.(2018湖南长郡中学三模,1)集合yN+|y=-x2+6,xN的真子集的个数是() A.3B.4C.7D.8,C,解析:函数y=-x2+6,xN是偶函数, y=-x2+6在0,+)递减,由-x2+60得0 x ,且xN. 故x=0,1,2,相应地y取6,5,2. 该集合的真子集个数为7,故选C.,5.(2018上海,7)已知 ,若幂函数f(x)=x为奇函数,且在(0,+)上递减,则=.,-1,解析:f(x)为奇函数,=-1,1,3,又在(0,+)上递减,=-1.,-12-,考点1,考点2,考点3,幂函数的图像和性质 例1若幂函数y=f(x)的图像经过点(4,2),
4、则幂函数y=f(x)的图像是(),C,-13-,考点1,考点2,考点3,思考幂函数与指数函数有怎样的区别?幂函数有哪些重要的性质? 解题心得1.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 2.幂函数的主要性质: (1)幂函数在(0,+)上都有定义,幂函数的图像都过定点(1,1). (2)当0时,幂函数的图像经过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增. (3)当1时,曲线下凹;当01时,曲线上;当0时,曲线下凹.,-14-,考点1,考点2,考点3,对点训练1已知幂函数 (nZ)的图像关于y轴对称,且在(0,+)内是减少的,则n的值为() A.-3B.1C
5、.2D.1或2,B,解析:因为f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1, 解得n=1或n=-3. 又幂函数f(x)在(0,+)内是减少的, 所以n2-3n0. 所以舍去n=-3,得n=1.当n=1时,n2-3n=-2,满足题意.故选B.,-15-,考点1,考点2,考点3,求二次函数的解析式 例2已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式.,-16-,考点1,考点2,考点3,-17-,考点1,考点2,考点3,思考求二次函数的解析式时如何选取恰当的表达形式? 解题心得根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: (1)
6、已知三个点的坐标,宜选用一般式. (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等,宜选用顶点式. (3)已知图像与x轴的两个交点坐标,宜选用交点式.,-18-,考点1,考点2,考点3,对点训练2已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a0,xR). (1)若函数f(x)的图像过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x-1,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.,解 (1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a. 因为方程f(x)=0有且只有一个根,所以=b2-4a=0, 所以4a2-4a=
7、0,所以a=1,所以b=2, 所以f(x)=(x+1)2.,即k6或k0,所求实数k的取值范围为(-,06,+).,-19-,考点1,考点2,考点3,二次函数的图像与性质(多考向) 考向1二次函数闭区间上的最值问题 例3设函数f(x)=x2+ax+b(a,bR).当 时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式. 思考如何求二次函数在含参数的闭区间上的最值?,-20-,考点1,考点2,考点3,-21-,考点1,考点2,考点3,考向2与二次函数有关的存在性问题 例4已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0
8、),则实数a的取值范围是.,-22-,考点1,考点2,考点3,思考如何理解本例中对任意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0)?,-23-,考点1,考点2,考点3,考向3与二次函数有关的恒成立问题 例5(1)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)x+k在区间-3,-1上恒成立,则k的取值范围为.,(-,1),-24-,考点1,考点2,考点3,解析:(1)作出二次函数f(x)的草图,对于任意xm,m+1,都有f(x)0,(2)由题意得x2+x+1k在区间-3,-1上恒成立. 设g(x)=x2+x+1,x-3,-1,则g(x)在-3,-1上递减.
9、 g(x)min=g(-1)=1. k1.故k的取值范围为(-,1).,思考由不等式恒成立求参数取值范围的解题思路是什么?,-25-,考点1,考点2,考点3,考向4与二次函数有关的零点分布问题 例6已知方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在1和2之间,则实数k的取值范围是.,思考已知与二次函数有关的零点分布,如何求参数的取值范围?,-26-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了
10、对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.,-27-,考点1,考点2,考点3,3.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键: (1)一般有两种解题思路:一是分离参数,将问题归结为求函数的最值;二是不分离参数,通常结合函数图像寻求使不等式恒成立的条件. (2)两种思路都比较简便,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离. 4.已知与二次函数有关的零点分布求参数的取值范围,主要采取数形结合的方法,通过二次函数的图像的开口方向、对称轴、判别式、特殊点对应的函数值等列出满足题意的不等式,解不等式得参数的取值范围.,-28-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)若函数y=x2-2x
11、+3在区间0,m上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围为;,(3)已知f(x)=x2-2x+4,g(x)=ax(a0,且a0),若对任意的x11,2都存在x2-1,2,使得f(x1)g(x2)成立,则实数a的取值范围是 ; (4)(2018江苏无锡模拟)设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21,则实数a的取值范围为.,1,2,-29-,考点1,考点2,考点3,解析: (1)作出函数y=x2-2x+3的图像如图. 由图像可知,要使函数在0,m上取得最小值2, 则10,m,从而m1, 当x=0时,y=3;当x=2时,y=3,所以要使函数取得最大值
12、3, 则m2, 故所求m的取值范围为1,2.,-30-,考点1,考点2,考点3,(3)由题意知g(x)在-1,2上的最大值大于f(x)在1,2上的最大值. f(x)在1,2上递增,当x=2时,f(x)max=4. 当0a1时,g(x)在-1,2上是减少的,-31-,考点1,考点2,考点3,1.幂函数y=x(R)的图像的特征: 当0时,图像过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图像逐渐上升; 当0时,图像过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图像逐渐下降. 2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)的最小值;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)的最大值.,-32-,考点1,考点2,考点3,1.幂函数的图像一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标轴有交点,那么交点一定是原点. 2.对于函数y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足a0.当题目条件中未说明a0时,就要分a=0和a0两种情况讨论.,
