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1、高等教育自学考试中英合作数量方法,齐明 教授 理想国际教育,第0章 课程概要,一、课程性质 本课程是中英合作商务管理、金融管理专业的基础课程之一。是一门数学课程，属于概率论与 数理统计分支。 二、课程特征 本课程强调和注重应用数理统计的基本方法，处理和计算数据的能力。对于理论基本不考，掌握方法并能灵活应用即可。考卷全部都是选择题和应用题。 三、学习要求 1、具备中学数学知识； 2、善于思考，勤于练习。,第一章 数据的整理和描述,目的和要求： 掌握对数据进行整理、分组、制表、和画 图，能计算数据的各种指标并解释其意义。 第一节 数据的类型 一、按照描述事物的方式不同可分为,二、按照描述事物的对象
2、与时间关系的不同可分为,第二节 数据的整理与显示 一、数据的分组与频率直方图 （一）分类型数据 P4 【例1.1】 （二）数量型数据 1. 单变量值分组法 P5 【例1.2】 2. 组距（多变量值）分组法 （重点）P6表1.4,二、数据的图形显示 （一）饼形图 P9图1.2 (二) 条形图和柱形图 P10图1.3 、1.4 （三）折线图 P11图1.5 （四）曲线图 P12图1.6 （五）散点图 P13图1.7 （六）茎叶图 P13【例1.6、7】,第三节 数据集中趋势的度量 (数据集的中心位置) 一、平均数 （一）算术平均数 强调：此式是针对原始数据的。P16【例1.9】 缺点：对极端值非常
3、敏感。P17【例1.10】,（二）加权平均数 其中： 分别为各组频数和组中值。 强调：此式是针对分组数据的。 P22【例1.15、16】,二、中位数 将全部数据按上升顺序排列，位于数列中间的数值为该数据集的中位数。 如果： （一） n为奇数 则 中位数 = （二） n为偶数 则 中位数 = P18【例1.11、12】,三、众数 数据集中出现次数最多的数值。 P18【例1.13】 优点：不仅适合于数量型数据，也适合于分类型数据 P19【例1.14】,四、平均数、中位数、众数的关系 对同一数据集，一般情况下，三者之间没有必然关系。但在一些特定情况下，存在如下关系： （一）（直方图）单峰对称 三者相
4、等。P20 图1.16 （二）（直方图）单峰左偏 众数中位数平均数 P21图1.17 （三）（直方图）单峰右偏 和左偏相反 P21图1.18,第四节 数据离散趋势的度量 (数据集的分散程度) 一、极差 R = 最大值 - 最小值 P25 【例1.18】 缺点：对极端值非常敏感。为此又引入了四分位极差。 二、四分位极差 将数据集等分为四部分的那些数值分别记为 Q1、Q2、Q3，四分位极差 = Q3 - Q1。 P26 【例1.19】 缺点: 信息没有充分利用。,三、方差和标准差 （一）方差 （二）标准差 P27【P24原例1.17】 强调：此二式是针对原始数据的。,四、 变异系数 （数据相对于平
5、均数的离散程度） （没有单位） 应用： （一）用于不同平均数的两组数据集的比较。 P29【例1.21】 （二）用于不同属性的两组数据集的比较。 P30【例1.22】,第二章 随机事件及其概率（难点非重点）,目的和要求： 掌握事件之间的关系和基本运算，并能计算简单的概率。 第一节 随机试验及随机事件 几个名词： 1.随机试验 2.随机事件 3.基本事件（样本点） 4.样本空间,第二节 事件的关系和运算 一、三种运算 并（ AB ）：至少发生一个的事件。 交（ AB） ：两个同时发生的事件。 差（ A - B ） ：A发生，但B不发生的事件 P40 【例2.4、5】 二、三种关系 包含：若A发生，
6、则B一定发生，称B包含A。 互斥：若 AB 不可能发生，称A与B互斥。 对立：若A与B互斥且AB一定发生，称A与B对立。记 B =,第三节 古典概率 一、事件的频率 在相同条件下，进行N次试验，事件A发生了NA次。其比值 NA/N 称A发生的频率。显然，随着N的增大，频率将趋于稳定。 二、事件的概率 频率的稳定值称A发生的概率，记 P（A）= p（0p1）。 P43 【例2.7】,三、常用概率公式 加法公式 P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB) 减法公式 P(A-B) = P(A) - P(AB) 归一律 P(A) + P（ ）=1 如果 : 1. A包含 B，则 P(AB)
7、 = P(B); 2. A与B互斥,则 P(AB) = 0； 3. A与B相互独立，则 P(AB) = P(A) P(B) P44【例2.8、9】,四、古典概率 P(A) = 其中：N为样本空间中样本点总数， NA为A所包含的样本点数。 P45【例2.10、11、12】,第三章 随机变量及其分布（难点非重点）,目的和要求： 了解随机变量的概念及分类，重点掌握二项分布和正态分布。 以及随机变量的期望和方差（标准差）。 第一节随机变量及其分类 由试验结果确定取值的变量称随机变量。记 X Y Z。 随机变量分类,第二节 离散型随机变量三个关键概念 一、分布律 :描述随机变量取不同值的概率。P( X
8、= k) = pk P64 【例3.4、5】 二、数学期望 :随机变量的“中心”位置的度量。 P66 【例3.6、7、8、9】 三、方差:随机变量取值的“离散程度”的度量。 标准差 : P69【例3.10、11】,四、二项分布 引例 1：一名射手命中率为0.8。独立、重复射击10枪，命中6枪的概率是多少？ 抽象：事件A在一次试验中发生的概率为p。独立、重复进行n次试验，A发生k次的概率是多少？ 设发生的次数为 X，则 称 X 为服从参数为n、p的二项分布。 记号为：X B (n、p)。 对于引例1而言，命中次数 X B(10、0.8)。即 X 服从参数为n=10、p=0.8的二项分布。,二项分
9、布三个关键概念的结果： （一）分布律 （二）数学期望 E(X) = np （三）方差和标准差 D(X) = np(1-p),对于上述引例1而言，由于 X B(10、0.8)， 所以： E(X) = np = 100.8 = 8(枪)， D(X) = np(1-p) = 100.8（1- 0.8 ）=1.6（枪）。,五、两点分布（随机变量 X 只能取0、1两个值） 记号为：X B (1 , P) （一）分布律 （二）数学期望 E(X) = p （三）方差和标准差 D(X) = P (1-P)， 显然，是二项分布中 n = 1 时的特例。,引例 2： 一批产品的次品率为0.95，从中任取一个。其中
10、的次品数 X 就服从参数 p = 0.8的两点分布。即：X B （1，0.8）。 X 的分布律为,数学期望 E(X) = 0.8 方差和标准差 D(X) = 0.16，,第三节 连续型随机变量（也是三个关键概念） 一、密度函数（对应于离散型的分布律，很少涉及） 二、数学期望 三、方差 我们基本只涉及其中的正态分布，记住结论既可。,X,用面积表示概率,四、正态分布 记号为：X N( 、 )，其中 、 为参数。 E(X) = ，D(X) = ,引例3： 人的身高为随机变量 X，经统计：X N(170、 6)， 根据数学期望的意义，人的平均身高 ：E(X) = =170(cm)， 根据方差的意义，人
11、的身高“偏离 值（ 170cm）的程度”为 D(X) = = 6 = 36（cm）。 同理，人的寿命 Y 也是如此：Y N(80、 5)， E(Y) = = 80(年)，D(Y) = = 5 = 25(年)，,五、关于正态分布的概率（重点） （一）标准正态分布：X N(0、1)。 E(X) = 0， D(X) = 1, P(X1) = 0（1）= 0.8413。,概率： P(Xz) = 0（ z ）= 1- 见P84 图3.9 必须记住2个特例： = 0.025时，z0.025 = 1.96 即：P(X1.96) = 0（1.96）= 0.975 = 0.05时， z0.05 = 1.645
12、即：P(X1.645) = 0（1.645）= 0.95 。,（二） 一般正态分布和标准正态分布的关系 经证明：若 X N ( 、 )，则 这一关系告诉我们，任何一个正态分布都可以转化为标准 正态分布。然后，就可以通过查表来解决其概率问题。,六、引例3（续）：人的身高为随机变量 X，求身高在180（cm） 以下人的概率。 解：已知 X N(170、 6)，由五、（一）和（二）可得 P(X180) = P( ) = P（ ） = 0（1.65） 0（1.645）= 0.95。,同理，设人的寿命为Y，求寿命在90岁以下的概率。 已知 Y N(80、 5) P(Y90) = P( ) = P（ ）
13、= 0（2） 0（1.96）= 0.975。,七、数学期望与方差的性质 （一） E(a+bX) = a + bE(X) D(a+bX) = bD(X) P649【例3.11】 （二） E(aX+bY) = a E(X) + bE(Y) D(aX+bY) = a D(X) + b D(Y) P91【例3.19】,第四章 抽样方法与抽样分布,目的和要求： 了解抽样目的和抽样方法，及每种方法的应用。掌握两个重要的抽样分布和应用。 第一节 抽样那个作用与抽样方法 一、几个名词： 1. 总体（是随机变量 X） 2.个体（具体数据） 3. 样本（总体的一部分，n个个体） 二、四种抽样方法及特点（可以自学）
14、P106-111。,第二节 总体与样本的关系 一、假设 设总体为 X，共有N个个体（数据）。多数情况下是正态分 布，即 X N ( 、 )。样本：x1、x2、xn，容量为 n 。 二、关系 样本的n个数据其实就是总体X的n次取值，所以，样本也是 随机变量。显然，这个随机变量应该相似于X。统计学已证明： 当 n 足够大时，样本分布逼近总体分布。这就有可能通过样本来 揭示总体的某些特征（如 或 ）。,三、样本均值 它的值显然和样本一一对应，所以它也是随机变量。中心极 限定理：当 n 30 时，无论总体分布如何， 。 几点解释： 1. 的分布称“均值的抽样分布”： 2. n 30 为大样本， n 3
15、0 为小样本； 3. 、 和总体一致；,四、引例 4 北京人身高为 X（总体 ），人口1200万（N），随机抽取 100人的身高为样本，由引例3知：X N(170、 6) 。根据中心极 限定理： 其中：=170 ， =6和总体一致。 P125【例4.13】,第五章 参数估计（难点）,目的和要求： 通过样本计算来估计总体的或的值。以及给出一个给 定置信度的置信区间。根据给定的条件，确定样本容量 n 。 第一节 参数估计的概念 总体分布已知（多为正态分布），其中参数（ 或 ）未 知。根据样本提供的信息（数据）： x1、x2、xn ，对未知的 总体参数进行估计。,第二节 点估计 根据数理统计的原理，点估计结果如下： 一、 评价：无偏、有效、一致。 二、 评价：无偏。S 称为样本方差,第三
