高中物理竞赛经典方法_7对称法

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1、高中物理竞赛经典方法大全 对称法第 1 页（共 13 页） 七、对称法 方法简介 由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从 而使对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。应用这种对称性它不仅 能帮助我们认识和探索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助我们去求解某 些具体的物理问题，这种思维方法在物理学中称为对称法。利用对称法分析解 决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制 胜，快速简便地求解问题。 赛题精析 例例 1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球 A ，抛出点离 水平地面的高度为 h，距离墙壁的水平距离为 s，小球与墙壁发生

2、弹性碰撞后， 落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为 2s，如图 71 所示。求小球抛 出时的初速度。 解析解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞，故与墙壁碰撞前后入射速度与反射速 度具有对称性，碰撞后小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的轨迹相 对称，如图 71甲所示，所以小球的运动可以转换为平抛运动处理，效果上 相当于小球从 A点水平抛出所做的运动。 根据平抛运动的规律： 0 2 xv t 1 ygt 2 因为抛出点到落地点的距离为 3s，抛出点的高度为 h，代入后可解得： v0 = x g 2y = 3s g 2h 例例 2：如图 72 所示，在水平面上，有两个竖直光滑墙壁 A 和 B ，

3、间距 高中物理竞赛经典方法大全 对称法第 2 页（共 13 页） 为 d， 一个小球以初速度 v0从两墙正中间的 O 点斜向上抛出， 与 A 和 B 各发生 一次碰撞后正好落回抛出点 O ，求小球的抛射角 。 解析解析：小球的运动是斜上抛和斜下抛等三段运动组成，若按顺序求解则相 当复杂，如果视墙为一平面镜，将球与墙的弹性碰撞等效为对平面镜的物、像 移动，可利用物像对称的规律及斜抛规律求解。 物体跟墙 A 碰撞前后的运动相当于从 O点开始的斜上抛运动，与 B 墙碰 后落于 O 点相当于落到 O点，其中 O 、O关于 A 墙对称，O 、O对于 B 墙对称，如图 72甲所示，于是有： 0 2 0 x

4、v cost 1 yv sintgt 2 ，落地时 x2d y0 代入可解得：sin2 = 2 0 2gd v 所以，抛射角 = 1 2 arcsin 2 0 2gd v 例例 3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个 边长为 a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均 为 v ，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想 追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速 度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？ 解析解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据 对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位 置构

5、成三角形的形状不变， 以绕点旋转的参考系来描述， 可认为三角形不转动， 而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。 由题意作图 73 ，设顶点到中心的距离为 s，则由已知条件得：s = 3 3 a 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度 为： v= vcos30= 3 2 v 高中物理竞赛经典方法大全 对称法第 3 页（共 13 页） 由此可知三角形收缩到中心的时间为：t = s v = 2a 3v （此题也可以用递推法求解，读者可自己试解。 ） 例例 4：如图 74 所示，两个同心圆代表一个圆形槽，质量为 m，内外半 径几乎同为 R 。槽内 A

6、、B 两处分别放有一个质量也为 m 的小球，AB 间的距 离为槽的直径。不计一切摩擦。现将系统置于光滑水平面上，开始时槽静止， 两小球具有垂直于 AB 方向的速度 v ，试求两小球第一次相距 R 时，槽中心的 速度 v0。 解析解析：在水平面参考系中建立水平方向的 x 轴和 y 轴。 由系统的对称性可知中心或者说槽整体将仅在 x 轴 方向上运动。设槽中心沿 x 轴正方向运动的速度变为 v0，两小球相对槽心做角速度大小为 的圆周运动，A 球处于如图 74甲所示的位置时，相对水平面的两 个分速度为： vx = Rsin + v0 vy =Rcos B 球的运动与 A 球的运动是对称的。 因系统在

7、x 轴方向上动量守恒、机械能也守恒，因此： mv0 + 2mvx = 2mv 21 2 m ( 2 x v+ 2 y v) + 1 2 m 2 0 v= 21 2 mv2 将、式代入、式得：3v0 = 2v2Rsin 2R2 + 2Rv0sin + 2 0 v+ 1 2 2 0 v= v2 由此解得：v0 = 2 3 (1 2 sin 3 2sin )v 当两球间距离为 R 时， = 30，代入可解得槽 中心运动的速度为： v0 = 2 3 (1 1 10 )v 例例 5： 用一轻质弹簧把两块质量各为 M 和 m的木板连接起来， 放在水平上， 如图 75 所示， 问必须在上面木板上施加多大的压

8、力 F ， 才能使撤去此力后， 上板跳起来恰好使下板离地？ 解析解析：此题可用能量守恒的观点求解，但过程较繁， 而用弹簧形变的“对称性”求解就显得简洁明了。若用拉 力 F 作用在 m 上，欲使 M 离地，拉力 F 至少应为： F= (M+m)g 根据弹簧的拉伸和压缩过程具有的对称性，故要产生 上述效果，作用在 m 上的向下的压力应为 F = (M+m)g。 高中物理竞赛经典方法大全 对称法第 4 页（共 13 页） 例例 6：如图 76 所示，长为 l 的两块相同的均匀长方形砖块 A 和 B 叠放在 一起，A 砖相对于 B 砖伸出 l 5 ，B 砖放在水平桌面上，砖的端面与桌面平行。 为保持两

9、砖不翻倒，B 砖伸出桌面的最大长度是多少？ 解析解析：此题可用力矩平衡求解，但用对称法求解，会直观简洁。把 A 砖右 端伸出 B 端的 l 5 截去，补在 B 砖的右端，则变成图 76甲所示的对称形状。 伸出最多时对称轴应恰好通过桌边。 所以：lx = x + l 5 解得 B 砖右端伸出桌面的最大长度为：x = 2 5 l 。 例例 7：如图 77 所示，OABC 是一张水平放 置的桌球台面。取 OA 为 x 轴，OC 为 y 轴，P 是 红球，坐标为（x，y） ，Q 是白球，坐标为（x1， y1） （图中未画出 Q 球在台面上的位置） 。已知 OA = BC = 25dm，AB = OC=

10、 12dm。若 P 球的坐 标为：x = 10dm ，y = 8dm 处，问 Q 球的位置 在什么范围内时，可使击出的 Q 球顺次与 AB、 BC、CO 和 OA 四壁碰撞反弹，最后击中 P 球？ 解析解析：由于弹性碰撞反弹服从的规律与光线的反射定律相同，所以作 P 点 对 OA 壁的镜像 P1，P1对 CO 壁的镜像 P2，P2对 BC 壁的镜像 P3和 P3对 AB 壁 的镜像 P4，则只需瞄准 P4点击出 Q 球，Q 球在 AB 壁上 D 点反弹后射向 P3， 又在 BC 壁上 E 点反弹后射向 P2，依次类推，最后再经 F ，G 二点的反弹击中 P 点，如图 77甲所示。 高中物理竞赛

11、经典方法大全 对称法第 5 页（共 13 页） 但是，若反弹点 E 离 B 点太近， Q 球从 E 点反弹后 EP2线与 CO 的交 点， 可能不在CO壁的范围内而在 CO 的延长线上，这时 Q 球就无法击中 CO 壁（而击到 OA 壁上） ，不符合题 目要求，所以，Q 球能够最后按题目 要求击中 P 球的条件是： 反弹点 D 、 E 、F 、和 G 一定要在相应的台壁 范围之内。 已知 P 点的坐标为（10 ，8） ， 由此可知，各个镜像点的坐标分别为： P1（10，8） ，P2（10，8） ，P3（10，32） ，P4（60，32） 设 Q 点的坐标为（x，y） ；直线 QP4的方程为：

12、Yy= 32y 60 x (Xx) D 点在此直线上，XD = 25 ，由上式得： YD = 1 60 x (80032x+ 35y) 直线 DP3的方程为： YYD = 32y 60 x (XxD) E 点在此直线上，YE = 12 ，由此式及式得： xE = 25 1 32 y (180 + 20 x35y) 直线 EP2的方程为：YYE = 32y 60 x (XxE) F 点在此直线上，XF = 0 ，所以：YF = 12 10 60 x (882x+ y) 最后，直线 FP1的方程为：YYF = 32y 60 x (XxF) G 点在此直线上，YG = 0 ，所以：XG = 1 32

13、 y (160 + 8x10y) 反弹点位于相应台壁上的条件为： D E F G 0Y12 0X25 0Y12 0X25 将、和式代入，除肯定满 高中物理竞赛经典方法大全 对称法第 6 页（共 13 页） 足无需讨论的不等式外，Q 球按题目要求击中 P 球的条件成为： D E Y 35y20 x80 X 35y20 x80 ： ： F G Y 5y4x80 X 5y4x80 ： ： 上面共两个条件，作直线 l1：35Y = 20X80 及 l2：5Y = 4X80 如图 77乙所示，若 Q 球位于 l2下方的三角形 D0AH0内， 即可同时满足 、两式的条件，瞄准 P4击出，可按题目要求次序反

14、弹后击中 P 球，三角形 D0AH0三个顶点的坐标如图 77乙所示。 例例 8：一无限长均匀带电细线弯成如图 78 所示的平面图形，其中 AB 是 半径为 R 的半圆孤，AA平行于 BB，试求圆心 O 处的电场强度。 解析解析：如图 78 甲所示，左上 1/4 圆弧内的线元 L1与右下直线上的线元 L3具有角元 对称关系。 L1电荷与 L3电荷在 O 点的场强 E1与 E3方向 相反，若它们的大小也相等，则左上与右下线元电场强度成对抵消，可得圆心 处场强为零。 设电荷线密度为常量 ，因 很小，L1电荷与 L3电荷可看做点电荷， 其带电量： q1 = R，q2 = L3 当 很小时，有：q2 =

15、 R coscos 又因为 E1 = K 1 2 q R ，E2 = K 2 2 q r = K 2 R cos 2 2 cos R = K 2 R R ，与 E1的大小相 同，且 E1与 E2方向相反。 所以圆心 O 处的电场强度为零。 例例 9：如图 79 所示，半径为 R 的半圆形绝缘线上、下 1/4 圆弧上分别均匀带电+q 和q，求圆心处 O 的场强。 解析解析：因圆弧均匀带电，在圆弧上任取一个微小线元，由 于带电线元很小，可以看成点电荷。用点电荷场强公式表示它 在圆心处的分场强，再应用叠加原理计算出合场强。由对称性 分别求出合场强的方向再求出其值。 高中物理竞赛经典方法大全 对称法第 7 页（共 13 页） 在带正电的圆孤上取一微小线元，由于圆弧均匀 带电，因而线密度 = 2q R 。 在带负电的圆弧上必定存在着一个与之对称的线 元，两者产生的场强如图 79 甲所示。显然，两者 大小相等，其方向分别与 x 轴的正、负方向成 角， 且在 x 轴方向上分量相等。由于很小，可以认为是点 电荷，两线元在 O 点的场强为 E = 2 2 KR R sin = 2 2Kh R ，方向沿 y 轴的负方向，所以 O 点的合场强应 对 E 求和。 即：E = E = 2 2Kh R = 2 2K R h = 2 2K R R = 2 4K