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1、,第十一章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间 平面区域空间区域,曲线积分,曲线段,曲面区域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.例子: 曲线形构件的质量,采用,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的
2、任意分割,局部的任意取点,2.定义,若“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,3. 性质,（k 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑
3、曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,点,设各分点对应参数为,对应参数为,则,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因此,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例3. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,例4. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,例5. 计算,其中为
4、球面,解:,化为参数方程,则,例6. 计算半径为 R ,中心角为,的圆弧 L 对于它的对,称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).,解: 建立坐标系如图,则,例7. 有一半圆弧,其线密度,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,练习题,练习题答案,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,
5、在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,1) “大化小”.,2) “常代变”,把L分成 n 个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,则,用有向线段,3) “近似和”,4) “取极限”,(其中 为 n 个小弧段的最大长度),2. 定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲
6、线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,若 为空间曲线弧 , 记,称为对坐标 x 的曲线积分;,称为对坐标 y 的曲线积分.,若记, 对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3. 性质,(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,证明: 下面先证,存在, 且有,对应参数,设分点,根据定义,由于,对应参数,因为L 为光滑弧 ,同理可证,特别是, 如果
7、L 的方程为,则,对空间光滑曲线弧 :,类似有,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3) 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,例4. 设在力场,作用下, 质点由,沿移动到,解: (1),(2) 的参数方程为,
8、试求力场对质点所作的功.,其中为,例5. 求,其中,从 z 轴正向看为顺时针方向.,解: 取 的参数方程,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 的起点为A，终点为B，其参数方程为,其起点A对应的参数为，终点B对应的参数为(不妨设)。则,由于,曲线弧的切向量,所以,而,类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是,令,二者夹角为 ,例6. 设,曲线段 L 的长度为s, 证明,续,证:,设,说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.,在L上连,例7.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示
9、 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,思考题 1. 已知,为折线 ABCOA(如图), 计算,提示:,2. 设曲线C为曲面,与曲面,从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;,(2) 计算曲线积分,解: (1),(2) 原式 =,令,利用“偶倍奇零”,练 习 题,练习题答案,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,格林公式及其应用,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D
10、边界L 的正向: 域的内部靠左。,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式(Green),证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,即,同理可证,、两式相加得:,2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割,为有限个上述形式的区域 , 如图,证毕,格林公式:,说明： 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算，若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线！,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,例如, 椭圆,所围面积,例1.,设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
11、,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,例3. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,例4. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例5 计算 其中L为抛物线 上对应于x由1增加到1的那一
12、段。,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),证明 (2) (3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,证明
13、(3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,证明 (4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,例6. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到,点B(3, 4),到原点的距离,解: 由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为,例
14、7. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,例8. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .,*三、全微分方程,则称,为全微分方程.,例9. 求解,解: 因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,法1
15、（全微分）,法2(偏积分法) 此全微分方程的通解为, 则有,两边对 y 求导得,由得,与比较得,因此方程的通解为,例10. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,思考: 如何解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成例10 的方程 .,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,注:若存在连续可微函数,积分因子.,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,2.观察法:,积分因子不一定唯一 .,例如, 对,可取,凭观察凑微分得到,常选用的积分因子有,解,例11,则原方程为,原方程的通解为,(公式法),可积组合法,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例12 求微分方程,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,全微分方程,1.设,提示:,思考与练习,2. 设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原式 =,到点,3.设f(t)具有一阶连续导数，且满足f(0)=2， f(0)=1，又积
