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1、高中物理竞赛经典方法大全 递推法第 1 页（共 18 页） 六、递推法 方法简介 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联 系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归 类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据 多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用 递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。 塞题精析 例例 1：质点以加速度 a 从静止出发做直线运动，在某时刻 t，加速度变为 2a；在时刻 2t，加速度变为 3a；在 nt 时刻，加速度变为(n + 1) a，求： （1）nt
2、时刻质点的速度； （2）nt 时间内通过的总路程。 解析解析：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解。 （1）物质在某时刻 t 末的速度为 vt = at 2t 末的速度为 v2t = vt + 2at 即 v2t = at + 2at 3t 末的速度为 v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at 则 nt 末的速度为 vnt = v(n)t + nat = at + 2at + 3at + + nat = at (1 + 2 + 3 + + n) = at 1 2 (n + 1)n = 1 2 n (n + 1)at （2）同理：可推得 nt 内通过的总路程
3、s = 1 12 n (n + 1)(2n + 1)at2 例例 2：小球从高 h0 = 180m 处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相 碰一次，速度减小 1 n （n = 2） ，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总 路程。 （g 取 10m/s2） 解析：解析：小球从 h0高处落地时，速率 v0 = 0 2gh= 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率 v1 = 0 v 2 第二次跳起时和又落地时的速率 v2 = 0 2 v 2 第 m 次跳起时和又落地时的速率 vm = 0 m v 2 高中物理竞赛经典方法大全 递推法第 2 页（共 18 页） 每次跳起的高度依次为 h1 =
4、2 1 v 2g = 0 2 h n ，h2 = 2 2 v 2g = 0 4 h n ， 通过的总路程 s = h0 + 2h1 + 2h2 + + 2hm + = h0 + 0 2 2h n (1 + 2 1 n + 4 1 n + + 2m 2 1 n + ) =h0 + 0 2 2h n1 = h0 2 2 n1 n1 = 5 3 h0 = 300m 经过的总时间为 t = t0 + t1 + t2 + + tm + = 0 v g + 1 2v g + + m 2v g + = 0 v g 1 + 2 1 n + + 2( 1 n )m + = 0 v g n1 n1 = 0 3v
5、g =18s 例例 3：A 、B 、C 三只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的正三角形，每 只猎犬追捕猎物的速度均为 v，A 犬想追捕 B 犬，B 犬想追捕 C 犬，C 犬想追捕 A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们 同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？ 解析解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任 一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的 边长不断减小，如图 61 所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将 等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。 设经时间 t 可捕捉猎物，再把 t 分为 n
6、个微小时间间隔 t，在每一个 t 内 每只猎犬的运动可视为直线运动， 每隔 t， 正三角形的边长分别为 a1、 a2、 a3、 、 an，显然当 an0 时三只猎犬相遇。 a1 = aAA1BB1cos60= a 3 2 vt a2 = a1 3 2 vt = a2 3 2 vt a3 = a2 3 2 vt = a3 3 2 vt an = an 3 2 vt 因为 an 3 2 vt= 0 ，即 nt= t 所以：t = 2a 3v （此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。 ） 高中物理竞赛经典方法大全 递推法第 3 页（共 18 页） 例例 4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质
7、量相等，均为 m ，若 一次直接起动，车头的牵引力能带动 30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车 头能起动多少节同样质量的车厢？ 解析：解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动 能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但 各节车厢起动的动能则不同。 原来挂钩之间是张紧的， 倒退后挂钩间存在 s 的宽松距离， 设火车的牵引 力为 F ，则有： 车头起动时，有：(Fmg)s = 1 2 m 2 1 v 拉第一节车厢时：(m + m) 1 v = mv1 故有： 2 1 v = 1 4 2 1 v= 1 2 ( F m g)s (F2mg)s = 1
8、 2 2m 2 2 v 1 2 2m 2 1 v 拉第二节车厢时：(m + 2m) 2 v = 2mv2 故同样可得： 2 v = 4 9 2 2 v= 2 3 ( F m 5 3 g)s 推理可得： 2 n v = n n1 ( F m 2n 1 3 g)s 由 2 n v 0 可得：F 2n 1 3 mg 另由题意知 F = 31mg，得：n46 因此该车头倒退起动时， 能起动 45 节相同质量的车厢。 例例 5 有 n 块质量均为 m，厚度为 d 的相同砖块，平放 在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图 62 所示，人至少做多少功？ 解析解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起
9、来， 每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出 通式计算。 将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功 为 W2 = mgd 将第 3 、4 、n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别 为： W3 = mg2d 高中物理竞赛经典方法大全 递推法第 4 页（共 18 页） W4 = mg3d W5 = mg4d Wn = mg (n1)d 所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为 W=W1+W2+W3+Wn = mgd + mg2d + mg3d + + mg (n1)d n(n 1) 2 mgd 例例 6：如图 63 所示，有六个完全相同的长 条薄片 AiBi（i
10、= 2 、4 、）依次架在水平碗口 上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中 位置（不计薄片的质量） 。将质量为 m 的质点置 于 A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对 A6B6的压 力。 解析解析： 本题共有六个物体， 通过观察会发现， A1B1、A2B2、A5B5的受力情况完全相同，因 此将 A1B1、A2B2、A5B5作为一类，对其中一个 进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解。 以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图 63 甲所示，第 i 个薄片受到前一个薄片向上的支持力 Ni、碗边向上的支持力 和后一个薄片向下的压力 Ni+1。选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有： N
11、iL = Ni+1 L 2 ，得：Ni = 1 2 Ni+1 所以：N1 = 1 2 N2 = 1 2 1 2 N3 = = ( 1 2 )5N6 再以A6B6为研究对象， 受力情况如图63乙所示， A6B6受到薄片 A5B5向上的支持力 N6、碗向上的支持力 和后一个薄片A1B1向下的压力N1、 质点向下的压力mg 。 选 B6点为轴，根据力矩平衡有： N1 L 2 + mg 3L 4 = N6L 由、联立，解得：N1 = mg 42 所以，A1B1薄片对 A6B6的压力为 mg 42 。 例例 7：用 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一 块地搭成单孔桥，已知每一积
12、木块长度为 L ，横截面是边长为 h（h = L 4 ）的正 高中物理竞赛经典方法大全 递推法第 5 页（共 18 页） 方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值。 解析解析：为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下 计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有 最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大 跨度与桥孔高度存在一比值。 将从上到下的积木块依次计为 1 、2 、n，显然第 1 块相对第 2 块的 最大伸出量为：x1 = L 2 第 2 块相对第 3 块的最大伸出量为 x2（如图 64
13、所示） ，则： Gx2 = ( L 2 x2)G 得：x2 = L 4 = L 2 2 同理可得第 3 块的最大伸出量： x3 = L 2 3 最后归纳得出：xn = L 2 n 所以总跨度：k = 2 9 n n 1 x = 11.32h 跨度与桥孔高的比值为： k H =11.32h 9h =1.258 例例 8：如图 65 所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁，原点 O 两侧的人 的序号都记为 n（n = 1 、2 、3 、） 。每人只有一个沙袋，x0 一侧的每个 沙袋质量为m=14kg， x0一侧的每个沙袋质量m= 10kg 。 一质量为M=48kg 的小车以某初速度 v0从原点出发
14、向正 x 轴方向滑行。不计轨道阻力。当车每经 过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车 上， v 的大小等于扔此袋之前的 瞬间车速大小的 2n 倍。（n 是此 人的序号数） （1）空车出发后，车上堆积了 几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？ 解析：解析：当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时， 由动量守恒定律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到 车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还 能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔。 小车以初速 v0沿正 x 轴方向
15、运动，经过第 1 个（n = 1）人的身旁时，此人 高中物理竞赛经典方法大全 递推法第 6 页（共 18 页） 将沙袋以 u = 2nv0 = 2v0的水平速度扔到车上， 由动量守恒得： Mv0m2v0 = (M + m)v1，当小车运动到第 2 人身旁时，此人将沙袋以速度 u= 2nv1 = 4v1的水 平速度扔到车上，同理有：(M + m)v1m2nv1 = (M + 2m)v2，所以，当第 n 个沙袋抛上车后的车速为 vn，根据动量守恒有： M + (n1)mvn12nmvn 1 = (M + nm)vn，即：vn = M(n 1)m Mnm vn1。 同理有：vn+1 = M(n2)m M(n 1)m vn 若抛上（n + 1）包沙袋后车反向运动，则应有 vn0 ，vn+10 即：M(n + 1)m0 ，M(n + 2)m0 由此两式解得：n 38 14 ，n 20 14 。因 n 为整数，故取 3 。 当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第 n 个人身旁， 抛上第 n 包沙袋后由动量守恒定律有： M + 3m + (n1)m n 1 v 2nmvn1 = (M + 3m + nm) n v 解得： n v = M3m(n 1)m M3mnm n 1 v 同理有： n 1 v = M3m(n2)m M3m(n 1)m
