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1、高中物理竞赛经典方法大全 微元法第 1 页（共 14 页） 三、微元法 方法简介 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方 法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单 化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程” ，而且每个“元过程” 所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程” ，然后再将“元过程”进行 必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的 再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。 赛题精讲 例例 1：如图 31 所示，一个身高为 h 的人在灯
2、以悟空速度 v 沿水平直线行走。设灯距 地面高为 H ，求证人影的顶端 C 点是做匀速直线运动。 解析解析： 该题不能用速度分解求解， 考虑采用 “微元法” 。 设某一时间人经过 AB 处，再经过一微小过程 t（t 0） ，则人由 AB 到达 AB，人影顶端 C 点到达 C 点，由于 SAA= vt 则人影顶端的移动速度： vC = CC t0 S lim t = AA t0 H S Hh lim t = H Hh v 可见 vc与所取时间 t 的长短无关，所以人影的顶端 C 点做匀速直线运动。 例例 2：如图 32 所示，一个半径为 R 的四分之一光滑球面放在水平桌面上，球面上 放置一光滑均
3、匀铁链，其 A 端固定在球面的顶点，B 端恰与桌面不接触，铁链单位长度的 质量为 。试求铁链 A 端受的拉力 T 。 解析解析：以铁链为研究对象，由由于整条铁链的长度不能忽略不计，所以整条铁链不能 看成质点，要分析铁链的受力情况，须考虑将铁链分割，使每一小段铁链可以看成质点， 分析每一小段铁边的受力，根据物体的平衡条件得出整条铁链的受力情况。在铁链上任取 长为 L 的一小段（微元）为研究对象，其受力分析如图 32甲所示。由于该元处于静 止状态，所以受力平衡，在切线方向上应满足： 高中物理竞赛经典方法大全 微元法第 2 页（共 14 页） T + T = Gcos + T ，T = Gcos =
4、 gLcos 由于每段铁链沿切线向上的拉力比沿切线向下的拉力大 T ，所以整个铁链对 A 端 的拉力是各段上 T的和，即： T = T = gLcos = gLcos 观察 Lcos 的意义， 见图 32乙， 由于 很小， 所以 CDOC ， OCE = Lcos 表示 L 在竖直方向上的投影 R ，所以 Lcos = R ，可得铁链 A 端受的拉力： T = gLcos = gR 例例 3：某行星围绕太阳 C 沿圆弧轨道运行，它的近日点 A 离太阳的距离为 a ，行星经 过近日点 A 时的速度为 vA ，行星的远日点 B 离开太阳的距离为 b ，如图 33 所示，求 它经过远日点 B 时的速
5、度 vB的大小。 解析：解析： 此题可根据万有引力提供行星的向心力求解。 也可根据开普勒第二定律，用微元法求解。设行星在近 日点 A 时又向前运动了极短的时间 t ， 由于时间极短可 以认为行星在 t 时间内做匀速圆周运动， 线速度为 vA ， 半径为 a ，可以得到行星在 t 时间内扫过的面积： Sa = 1 2 vAta 同理，设行星在经过远日点 B 时也运动了相同的极短时间 t ，则也有： Sb = 1 2 vBtb 由开普勒第二定律可知：Sa = Sb 。即得：vB = a b vA （此题也可用对称法求解。 ） 例例 4：如图 34 所示，长为 L 的船静止在平静的水 面上，立于船头
6、的人质量为 m ，船的质量为 M ，不计 水的阻力，人从船头走到船尾的过程中，问：船的位移为 多大？ 解析：解析：取人和船整体作为研究系统，人在走动过程中，系统所受合外力为零，可知系 统动量守恒。设人在走动过程中的 t 时间内为匀速运动，则可计算出船的位移。设 v1 、 v2分别是人和船在任何一时刻的速率，则有：mv1 = Mv2 两边同时乘以一个极短的时间 t ， 有：mv1t = Mv2t 由于时间极短，可以认为在这极短的时间内人和船的速率是不变的，所以人和船位移 大小分别为 s1 = v1t ，s2 = v2t 由此将式化为：ms1 = Ms2 把所有的元位移分别相加有：ms1 = Ms
7、2 即：ms1 = Ms2 此式即为质心不变原理。 其中 s1 、 s2分别为全过程中人和船对地位移的大小， 又因为： L = s1 + s2 高中物理竞赛经典方法大全 微元法第 3 页（共 14 页） 由、两式得船的位移：s2 = m Mm L 例例 5：半径为 R 的光滑球固定在水平桌面上，有一质量为 M 的圆环状均匀弹性绳圈，原长为 R ，且弹性绳圈的劲度系 数为 k ，将弹性绳圈从球的正上方轻放到球上，使弹性绳圈水 平停留在平衡位置上，如图 35 所示，若平衡时弹性绳圈长为 2R ，求弹性绳圈的劲度系数 k 。 解析：解析：由于整个弹性绳圈的大小不能忽略不计，弹性绳圈 不能看成质点，所
8、以应将弹性绳圈分割成许多小段，其中每一 小段 m 两端受的拉力就是弹性绳圈内部的弹力 F 。在弹性绳圈上任取一小段质量为 m 作为研究对象，进行受力分析。但是 m 受的力不在同一平面内，可以从一个合适的角度 观察。选取一个合适的平面进行受力分析，这样可以看清楚各个力之间的关系。从正面和 上面观察，分别画出正视图的俯视图，如图 35甲和 235乙。 先看俯视图 35甲，设在弹性绳圈的平面上，m 所对的圆心角是 ，则每一小 段的质量：m = 2 M m 在该平面上受拉力 F 的作用，合力为： T = 2Fcos 2 = 2Fsin 2 因为当 很小时，sin ，所以：T = 2F 2 = F 再看
9、正视图 35乙，m 受重力 mg ，支持力 N ，二力 的合力与 T 平衡。即：T = mgtan 现在弹性绳圈的半径为：r = 2 R 2 = 2 2 R 所以：sin = r R = 2 2 ， = 45，tan = 1 因此：T = mg = 2 Mg 将、联立，有： 2 Mg = F ，解得弹性绳圈的张力 为：F = Mg 2 设弹性绳圈的伸长量为 x ，则：x =2RR = (21) R 所以绳圈的劲度系数为：k = F x = 2 Mg 2( 21)R = 2 ( 21)Mg 2R 例例 6：一质量为 M 、均匀分布的圆环，其半径为 r ，几何轴与水平面垂直，若它能 高中物理竞赛经
10、典方法大全 微元法第 4 页（共 14 页） 经受的最大张力为 T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度。 解析解析：因为向心力 F = mr2 ，当 一定时，r 越大，向 心力越大，所以要想求最大张力 T 所对应的角速度 ，r 应 取最大值。 如图 36 所示， 在圆环上取一小段 L ， 对应的圆心角 为 ，其质量可表示为 m = 2 M ，受圆环对它的张力为 T ，则同上例分析可得： 2Tsin 2 = mr2 因为 很小，所以：sin 2 2 ，即：2T 2 = 2 M r2 解得最大角速度： = 2 T Mr 例例 7：一根质量为 M ，长度为 L 的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端
11、刚好与水 平接触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图 37 所示，求链条下落了长度 x 时，链条对地面的压力为多大？ 解析：解析：在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地 面的“冲力”加上落在地面上那部分链条的重力。根据牛顿第三定 律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反作用力，这个力的 冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化。由于各质元原来的高 度不同，落到地面的速度不同，动量改变也不相同。我们取某一时 刻一小段链条（微元）作为研究对象，就可以将变速冲击变为恒速 冲击。 设开始下落的时刻 t = 0 ，在 t 时刻落在地面上的链条长为 x ， 未到达地面部分链条的速度为 v
12、，并设链条的线密度为 。由题意可知，链条落至地面 后，速度立即变为零。从 t 时刻起取很小一段时间 t ，在 t 内又有 M = x 落到地面 上静止。地面对 M 作用的冲量为： (FMg) t = I 因为 Mgt0 ，所以：Ft = Mv0 = vx ，解得冲力： F = v x t ，其中 x t 就是 t 时刻链条的速度 v ，故 F = v2 ，链条在 t 时刻的速度 v 即为链条下落长为 x 时的即时速度，即：v2 = 2gx 代入 F 的表达式中，得：F = 2gx 此即 t 时刻链对地面的作用力，也就是 t 时刻链条对地面的冲力。 所以在 t 时刻链条对地面的总压力为：N =
13、2gx + gx = 3gx = 3Mgx L 例例 8：一根均匀柔软的绳长为 L ，质量为 m ，对折后两端固定在一个钉子上，其中 高中物理竞赛经典方法大全 微元法第 5 页（共 14 页） 一端突然从钉子上滑落，试求滑落的绳端点离钉子的距离为 x 时，钉子对绳子另一端的作 用力是多大？ 解析：解析： 钉子对绳子另一端的作用力随滑落绳的长短而变化， 由此可用微元法求解。 如图 38 所示， 当左边绳端离钉子的距 离为 x 时，左边绳长为 1 2 (lx) ，速度 v =2gx，右边绳长为 1 2 (l+x) 又经过一段很短的时间 t 以后，左边绳子又有长度 1 2 vt 的一小段转移到右边去
14、了，我们就分析这一小段绳子，这一小段绳子受到两力：上面绳子 对它的拉力 T 和它本身的重力 1 2 vtg（ = m l 为绳子的线密度） 根据动量定理，设向上方向为正，有：(T 1 2 vtg ) t = 0( 1 2 vtv) 由于 t 取得很小，因此这一小段绳子的重力相对于 T 来说是很小的，可以忽略，所 以有：T = 1 2 v2 = gx 因此钉子对右边绳端的作用力为： F = 1 2 (l + x)g + T = 1 2 mg(1 + 3x l ) 例例 9：图 39 中，半径为 R 的圆盘固定不可转动，细绳不可伸长 但质量可忽略，绳下悬挂的两物体质量分别为 M 、m 。设圆盘与绳
15、间 光滑接触，试求盘对绳的法向支持力线密度。 解析：解析： 求盘对绳的法向支持力线密度也就是求盘对绳的法向单位长 度所受的支持力。因为盘与绳间光滑接触，则任取一小段绳，其两端受 的张力大小相等， 又因为绳上各点受的支持力方向不同， 故不能以整条 绳为研究对象， 只能以一小段绳为研究对象分析求解。 在与圆盘接触的 半圆形中取一小段绳元 L ，L 所对应的圆心角为 ，如图 39 甲所示， 绳元L两端的张力均为 T ， 绳元所受圆盘法向支持力为N ， 因细绳质量可忽略，法向合力为零，则由平衡条件得： N = Tsin 2 + Tsin 2 = 2T 2 当 很小时， sin 2 2 ， 故 N = T 。 又因为 L = R ， 则绳所受法向支持力线密度为： n = N L = T R = T R 以 M 、m 分别为研究对象，根据牛顿定律有： 高中物理竞赛经典方法大全 微元法第 6 页（共 14 页） MgT = Ma Tmg = ma 由、解得：T = 2Mmg Mm 将式代入式得：n = 2Mmg (
