《1217编号余弦定理优秀课件》由会员分享,可在线阅读,更多相关《1217编号余弦定理优秀课件(22页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、余 弦 定 理,用正弦定理解三角形需要已知哪些条件?,两角和一边,两边和其中一边的对角。,正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。,复习回顾,思考:如果在一个斜三角形中,已知两边及这两边的夹角,能否用正弦定理解这个三角形,为什么?,不能,在正弦定理 中,已知两边及这两边的夹角,正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。,那么,怎么解这个三角形呢?,同理,从 出发, 证得 从 出发,证得,证明:,学过向量之后,我们能用向量的方法给予证明余弦定理。,已知AB,AC和它们的夹角A,求CB,即,向量法,解析法,(bcosC,bsinC),(a,0),(0,0),证明:以CB所在的直线为x轴
2、,过C点垂直于CB的直线为y轴,建立如图所示的坐标系,则A、B、C三点的坐标分别为:,同理:,(bcosC,bsinC),(a,0),(0,0),解析法,当角C为锐角时,几何法,当角C为钝角时,余弦定理作为勾股定理的推广,考虑借助勾股定理来证明余弦定理。,在锐角三角形ABC中,已知AB=c,AC=b和A,求a,同理有:,同样,对于钝角三角形及直角三角形,上面三个等式成立的,课后请同学们自己证明。,几何法,用语言描述:三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,余 弦 定 理,例1:若已知b=8,c=3,A= ,能求a吗?,思考:余弦定理还有别的用途吗?
3、若已知a,b,c,可以求什么?,解:,余弦定理的变形:,例2、在三角形ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A,B,C(精确到 ),分析:已知三边,求三个角,可用余弦定理的变形来解决问题,解:,练一练:,1、已知ABC的三边为 、2、1,求它的最大内角。,变一变:,若已知三边的比是 :2:1,又怎么求?,归纳: 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:,(1)已知三边,求三个角,(2)已知两边和它们的夹角,求第三边,进而还可求其它两个角。,解:由余弦定理得:,例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6 (1)试判断角C是什么角? (2)判断ABC的形状,变式训练:,在ABC中,若,则
4、ABC的形状 为(),、钝角三角形、直角三角形 、锐角三角形、不能确定,A,提炼:设a是最长的边,则,ABC是钝角三角形,ABC是锐角三角形,ABC是直角三角形,推论:,判断三角形的形状,练习:一钝角三角形的边长为连续自然数,则这三边长为( ) A、1,2,3 B、2,3,4 C、3,4,5 D、4,5,6,分析: 要看哪一组符合要求,只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角,即该角的余弦值小于0。,B中: ,所以C是钝角,D中: ,所以C是锐角, 因此以4,5,6为三边长的三角形是锐角三角形,A、C显然不满足,B,:在三角形ABC中,已知a=7,b=8,cosC= ,求最大角的余弦值,分析:求最
5、大角的余弦值,最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角,已知两边可求出第三边,找到最大角。,解:,则有:b是最大边,那么B 是最大角,(1)余弦定理适用于任何三角形,(3)由余弦定理可知:,(2)余弦定理的作用:,a、已知三边,求三个角,b、已知两边及这两边的夹角,求第三边,进而可求出其它两个角,c、判断三角形的形状,小结,正余弦定理在解三角形中能解决哪些问题?,角边角 角角边 边边角 边角边 边边边,正弦定理,余弦定理,运用,例2、在三角形ABC中,已知a=2.730,b=3.696,C= , 解这个三角形(边长保留四个有效数字,角度精确到 ),分析:已知两边和两边的夹角,解:,数学运用,思考: (1)还可怎样求角A?,(2)角A会有两解吗?,