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1、2.3(2).1双曲线及其标准方程,普通高中课程标准实验教科书选修 2(1)1,生活中的双曲线,1. 椭圆的定义,2. 引入问题：,复习,双曲线图象,拉链双曲线,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0),问题2：如果把上述定义改为:到两定点 距离之差为常数,那么点的轨迹会发生怎样的变化？,实验探究,如图(A)，,|MF1|-|MF2|=|F2F1|=2a,如图(B)，,上面 两条合起来叫做双曲线,由可得：,| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）,|MF2|-|MF1|=|F1F2|=2a, 两个定点F1、F2双曲线的焦点;, |F1F2|=2c 焦距.,（1）2a
2、2c ；,平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.,（2）2a 0 ；,双曲线定义,思考：,（1）若2a=2c,则轨迹是什么？,（2）若2a2c,则轨迹是什么？,说明,（3）若2a=0,则轨迹是什么？,| |MF1| - |MF2| | = 2a,(1)两条射线,(2)不表示任何轨迹,(3)线段F1F2的垂直平分线,求曲线方程的步骤：,双曲线的标准方程,1. 建系.,以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系,2.设点,设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0),3.列式,|MF1| - |MF2|=2a,
3、4.化简,此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程,若建系时,焦点在y轴上呢?,看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上,2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?,1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？,问题,F（c，0）,F（c，0）,a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2,ab0，a2=b2+c2,双曲线与椭圆之间的区别与联系,|MF1|MF2|=2a,|MF1|+|MF2|=2a,F（0，c）,F（0，c）,练习1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量 a,b,c 的值,（1）,（2）,（3）,（4）,练习2.写出以下双曲线的焦点坐标,F(5,0),F(0,5),例题
4、讲解,变式2答案,写出适合下列条件的双曲线的标准方程,练习3,1.a=4,b=3,焦点在x轴上;,3.焦点在x轴上，经过点,4.a=4,过点(1, ),2.焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5),例2:如果方程 表示双曲线，求m的取值范围.,解:,使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合,解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.,例3.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点
5、的轨迹方程.,如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则,即 2a=680，a=340,因此炮弹爆炸点的轨迹方程为,答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.,设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0).直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ,试求点M的轨迹方程.与2.2例3比较,你有什么发现?,探究1,分析:设点M的坐标为(x,y),那么直线AM,BM的斜率就可以用含x,y的式子表示,由于直线AM,BM的斜率之积是 ,因此,
6、可以建立x,y之间的关系式,得出点M的轨迹方程,x,o,M,y,A,B,解:设点M的坐标为(x,y),因为点A的坐标是(-5,0),所以直线AM的斜率是 同理,直线BM的斜率是 由已知有 化简,得点M的轨迹方程为,进一步分析,可以发现:,一个动点M与两个定点A、B连线的斜率之积是一个正常数n.则动点M的轨迹为双曲线（扣除这两个定点）,当斜率之积是一个负常数n(n0)时呢？,当n=-1时,动点M的轨迹为圆（扣除这两个点）.,当n0且n -1时,动点M的轨迹为椭圆（扣除这两个定点）.,以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法.,几何画板演示轨迹,探究2,解:由已知得,根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点，2a=r的双曲线,2.证明椭圆 与双曲线x2-15y2=15的焦点相同. 若此椭圆与双曲线的一个交点 为P，F为焦点，求|PF|,练习,P,F2,P,F1,A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限,D,1.,| |MF1|-|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|）,F ( c, 0) F(0, c),小结,函数值？什么函数？,下 课,选做练习,1,C,P,A,解: 在ABC中,|BC|=10，,故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支,又因c=5，a=3，则b=4,则顶点A的轨迹方程为,
