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1、第三讲整式,1.了解:代数式和整式的概念. 2.理解:单项式、多项式和同类项的概念. 3.掌握:合并同类项的法则、去括号的法则、幂的运算性质以及乘法公式. 4.会:整式的混合运算以及化简求值. 5.能:根据实际问题列代数式.,一、代数式的初步知识 1.代数式的分类: 有理式 代数式 无理式,单项式 _,_ 分式,整式,多项式,2.单项式和多项式: (1)只含有数或字母的_的代数式叫做单项式.单独的一个 _是单项式. 一个单项式中,单项式的系数是指_,单项式的次数 是指所有字母的_. (2)几个单项式的_叫做多项式.一个多项式中,多项式的次 数是指_的次数.,积,字母或数,数字因数,指数和,和,
2、次数最高的项,二、整式的加减运算 1.同类项:所含字母相同,并且_也相同的项. 2.合并同类项的法则:把同类项的_相加,字母和字母的 _不变. 3.去括号的法则:括号前面是“+”,把括号和它前面的“+” 去掉,原括号里各项的符号都_.括号前面是“-”,把 括号和它前面的“-”去掉,原括号里各项的符号都要_. 4.整式加减的步骤:(1)_.(2)_.,相同字母的指数,指数,不改变,改变,去括号,合并同类项,系数,三、整式的乘除运算 1.幂的运算性质: (1)aman=_(m,n都是正整数). (2)aman=_(a0,m,n都是正整数,且mn), 特别规定:a0=_(a0),a-p=_(a0,p
3、是正整数). (3)(am)n=_(m,n都是正整数). (4)(ab)n=_(n是正整数). (5)( )n=_(b0,n是正整数).,am+n,am-n,1,amn,anbn,2.乘法公式: (1)平方差公式 (a+b)(a-b)=_. (2)完全平方公式 (ab)2=_. 四、整式的混合运算 运算顺序:先_,后_,再_,有括号的先算括号 里面的,同时应注意运算律的运用.,a2-b2,a22ab+b2,乘方,乘除,加减,1.在下列代数式: ab, ,ab2+b+1, ,x3+x2-3中,多项式有( ) A.2个B.3个C.4个D.5个 2.下列计算正确的是( ) A.2x33x4=5x7
4、B.3x34x3=12x3 C.2a3+3a3=5a6 D.4a32a2=8a5,B,D,3.下列多项式中是完全平方式的是( ) A.2x2+4x-4 B.16x2-8y2+1 C.9a2-12a+4 D.x2y2+2xy+y2 4.单项式 的系数与次数分别是_，_. 5.多项式x3-x2y2-25中最高次项是_,常数项是_. 6.化简(x+2)2-(x+1)(x-1)的结果为_.,C,3,-x2y2,-25,4x+5,热点考向 一 整式的有关概念及加减运算 【例1】(1)(2013凉山州中考)如果单项式-xa+1y3与 ybx2 是同类项,那么a,b的值分别为() A.a=2,b=3 B.a
5、=1,b=2 C.a=1,b=3 D.a=2,b=2 (2)(2012广州中考)下面的计算正确的是() A.6a-5a=1 B.a+2a2=3a3 C.-(a-b)=-a+b D.2(a+b)=2a+b,【思路点拨】(1)本题考查了同类项的概念,根据相同字母的指数相同即可求出a,b. (2)本题考查了合并同类项法则和去括号法则.在计算时,先判断是否是同类项,若是则系数相加,字母及字母的指数不变. 【自主解答】(1)选C.根据题意得: 解得a=1,b=3. (2)选C.6a-5a=a;a与2a2不是同类项不能合并;-(a-b)= -a+b;2(a+b)=2a+2b,只有选项C正确.,a+1=2,
6、 b=3，,【名师助学】理解整式的有关概念时应注意的问题 1.当单项式的前面有负号时找单项式的系数时要带上它前面的符号;当单项式中含有时,是数字因数而不是字母. 2.同类项与系数无关,与字母的排列顺序无关;几个常数项也是同类项.,热点考向 二 幂的运算与乘法公式 【例2】(1)(2013晋江中考)计算:2x3x2等于() A.2 B.x5 C.2x5 D.2x6 (2)(2012南通中考)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于() A.64 B.48 C.32 D.16 (3)(2013益阳中考)下列运算正确的是() A.2a3a=6 B.(ab2)2=ab4 C.(a+b)(a-b)
7、=a2-b2 D.(a+b)2=a2+b2,【思路点拨】(1)根据同底数幂的乘法公式可得. (2)根据完全平方公式(ab)2=a22ab+b2可求出k的值. (3)综合考查同底数幂的除法,幂的乘方和乘法公式. 【自主解答】(1)选C.2x3x2=2x3+2=2x5. (2)选A.x2+16x+k=x2+2x8+k是完全平方式,所以k=82=64. (3)选C.2a3a应该等于2a2,所以A错,(ab2)2应该等于a2b4,所以B错,(a+b)2应该等于a2+2ab+b2,所以D错.,【互动探究】(2)中的一次项系数若改为未知数,即已知x2+mx+64是完全平方式,则常数m等于多少? 提示:当上
8、式为完全平方和公式时,x2+mx+64=(x+8)2,所以m=16; 当上式为完全平方差公式时,x2+mx+64=(x-8)2,所以m=-16. 所以常数m为16或-16.,【名师助学】幂的运算的四种技巧 1.幂的乘法运算转化为指数的加法运算. 2.幂的乘方运算转化为指数的乘法运算. 3.幂的除法运算转化为指数的减法运算. 4.幂的运算法则既可以正用,也可以逆用.,二、填空题(每小题6分，共24分) 1、 xa=4,xb=3,则xa-2b=_.,如果 2a3 ,2b6 ,2c12, 那么 a，b，c的关系是 .,若48m16m 29 ，则m .,8.已知16x22(m1)xy49y2是一个完全
9、平方式，则m=_ 答案：29或27,【知识拓展】平方差公式的几种变形 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2在整式的运算中应用非常广泛,灵活运用该公式不仅可以提高运算的准确性,还可以提高运算的速度,所以我们要掌握它的各种变化形式: (1)(a+b)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2. (3)(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)2-c2. (4)(a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2.,热点考向 三 整式的化简求值 【例3】(1)已知x2- x=6,则2x2-5x+6的值为() A.9B.12C.18D
10、.24 (2)(2013邵阳中考)先化简,再求值:(a-b)2+a(2b-a).其中a=- ,b=3. 【思路点拨】(1)先把x2- x=6变形,求出2x2-5x的值,然后把2x2-5x看成一个整体代入求值. (2)去括号合并同类项代入求值.,【自主解答】(1)选C.因为x2- x=6,所以2x2-5x=12,所以 2x2-5x+6=12+6=18. (2)(a-b)2+a(2b-a)=a2-2ab+b2+2ab-a2=b2,当a=- ,b=3时, 原式=32=9.,【名师助学】整式的化简求值的两个步骤 1.将所求的整式化为最简. 2.将其中的字母的取值代入,计算数值.但是有时也会利用分解因式
11、或配方法将已知条件或所求代数式变形,再进行整体代入,使运算更为简便.,1.(2013淄博模拟)化简m+n-(m-n)的结果为() A.2m B.-2m C.2n D.-2n 【解析】选C.m+n-(m-n)=m+n-m+n=2n.,2.(2013南通模拟)计算(m3)2的正确结果为() A.m5 B.m9 C.m6 D.9m 【解析】选C.(m3)2=m32=m6.,3.(2013河南模拟)下列运算正确的是() A.(-a+2b)(-2b-a)=a2-4b2 B.a3+a3=2a6 C.(a-3)2=a2-9 D.(-3a3)2=9a9 【解析】选A.(-a+2b)(-2b-a)=(-a+2b
12、)(-a-2b)=a2-4b2; a3+a3=2a3;(a-3)2=a2-6a+9;(-3a3)2=9a6.,4.(2013静安模拟)化简:6a63a3=. 【解析】6a63a3=(63)(a6a3)=2a3. 答案:2a3,5.(2013雅安模拟)多项式与m2+m-2的和是m2-2m. 【解析】(m2-2m)-(m2+m-2)=m2-2m-m2-m+2=-3m+2. 答案:-3m+2,6.(2013石家庄模拟)如果a-3b=-3,那么代数式5-a+3b的值是. 【解析】5-a+3b=5-(a-3b)=5-(-3)=5+3=8. 答案:8,7.(2013湛江模拟)计算:(a+1)(a-1)-a
13、(a-2). 【解析】原式=a2-1-a2+2a=2a-1.,8.(2013昆山模拟)已知x2-4=0,求代数式x(x+1)2-x(x2+x) -x-7的值. 【解析】因为x2-4=0,所以x2=4. 所以原式=x(x2+2x+1)-x3-x2-x-7 =x3+2x2+x-x3-x2-x-7 =x2-7=4-7=-3.,1.(2013衢州中考)下列计算正确的是() A.3a+2b=5ab B.aa4=a4 C.a6a2=a3 D.(-a3b)2=a6b2 【解析】选D.A选项中3a与2b不是同类项不能合并,B选项应 为aa4=a5,C选项应为a6a2=a4,故A,B,C选项错误,而 (-a3b
14、)2=a6b2,故选D.,2.(2013枣庄中考)图(1)是一个长为2a,宽为2b(ab)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是() A.2ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2-b2,【解析】选C.中间空的部分的面积=正方形的面积-长方形的面积, (a+b)2-2a2b=a2+2ab+b2-4ab=a2-2ab+b2=(a-b)2.,3.(2012河源中考)若代数式-4x6y与x2ny是同类项,则常数n的值为. 【解析】由题意得2n=6,n=3. 答案:3,4.(2012凉山州中考
15、)整式A与m2-2mn+n2的和是(m+n)2,则A=. 【解析】A=(m+n)2-(m2-2mn+n2)=m2+2mn+n2-m2+2mn-n2=4mn. 答案:4mn,5.(2013珠海中考)已知实数a,b满足a+b=3,ab=2,则a2+b2=. 【解析】a2+b2=-2ab=9-4=5. 答案:5,6.(2012成都中考)已知当x=1时,2ax2+bx的值为3,则当x=2时,ax2+bx的值为. 【解析】将x=1代入2ax2+bx=3得2a+b=3, 将x=2代入ax2+bx得4a+2b=2(2a+b)=23=6. 答案:6,【变式训练】求代数式的值一般是先化简再代入,代入时,有的是直接将字母的值代入,有的是将含字母的一部分作为整体代入,所以做题时,先观察式子的特点,再选择方法. (2012厦门中考)已知a+b=2,ab=-1,则3a+ab+3b=, a2+b2=. 【解析】a+b=2,ab=-1, 3a+ab+3b=3(a+b)+ab=32-1=5, a2+b2=(a+b)2-2ab=4+2=6. 答案:56,7.(2013晋江中考)先化简,再求值:(x+3)2-x(x-5),其中 x=- . 【解析】原式=x2+6x+9-x2+5x=11x+9, 当x=- 时,原式,(三),(四),
