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1、24.4.1三角形的中位线,1、相似三角形的对应边成比例,对应角相等。 2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比都等于相似比。 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。,复习回顾,性质,1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。 2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。 3、如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。,判定,AF是ABC的中线,我们把DE叫做 ABC 的中位线,C,B,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,连接三角形
2、两边中点的线段,叫做 三角形的中位线,三角形中位线的定义,友情提醒:,理解三角形的中位线定义的两层含义:, 如果DE为ABC的中位线,那么 D、E分别为AB、AC的 。, 如果D、E分别为AB、AC的中点, 那么DE为ABC的 ;,C,B,A,E,D,中位线,中点,怎样将一张三角形纸片剪成两部分,使分成的两部分能拼成一个平行四边形?,?,A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,E,F,四边形BCFD是平行四边形吗?为什么?,三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。,DE是ABC的中位线,猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系?为什么?,A,B,C,D,E,F,三角形中位线定理,A、B两
3、点被池塘隔开,如何才能知道它们之间的距离呢?,在AB外选一点C,连结AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M、N,如果测得MN = 20m,那么A、B两点的距离是多少?为什么?,说一说,C,B,A,20,40,如图1:在ABC中,DE是中位线 (1)若ADE=60, 则B= 度,为什么? (2)若BC=8cm, 则DE= cm,为什么?,如图2:在ABC中,D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm, 则DEF的周长= cm,图1,图2,60,4,12,A,B,C,D,E,B,A,C,D,E,F,5,4,3,例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分,已知:
4、如图2443所示,在ABC中,ADDB,BEEC,AFFC,证明连结DE、EF ADDB,BEEC, DEAC(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半) 同理EFAB 四边形ADEF是平行四边形 AE、DF互相平分(平行四边形的对角线互相平分),求证:AE、DF互相平分,例2如图2444,ABC中,D、E分别是边BC、AB的中点,AD、CE相交于G 求证:,证明:连结ED,,D、E分别是边BC、AB的中点,,DEAC,,(三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半),,ACGDEG,,如图,在四边形ABCD中,E、F、G 、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平
5、行四边形吗?为什么?,变题1、若四边形ABCD从普通形状变成平行四边形,其它条件不变,则四边形EFGH的形状会变化吗?为什么?,变题2、若四边形ABCD从普通的四边形变成矩形,其它条件不变,则四边形EFGH的形状会变化吗?为什么?,变题3、若四边形ABCD从普通的四边形变成菱形,其它条件不变,则四边形EFGH的形状会有变化吗?为什么?,变题4、若四边形ABCD从普通四边形变成正方形,其它的条件不变,则四边形EFGH的形状会有变化吗?为什么?,练 习,2 .顺次连接对角线相等的任意四边形的各 边中点所得的四边形是_ 3.顺次连接对角线互相垂直的任意四边形的各边中点所得的四边形是_,1.顺次连接任
6、意四边形的各边中点所得的四边形是_,平行四边形,菱 形,矩 形,拓展,如果在图2444中,取AC的中点F,假设BF与AD交于G,如图24.4.5,那么我们 同理有 ,所以 有 ,即两图中的点G与G是重合的,三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心,重心与一边中点的连线 的长是对应中线长的,1已知三角形三条中位线的比为3:5:6,三角形的周长是112cm,求三条中位线长。 2如图所示,中,中线BD、CE相交于O,F、G分别为OB、OC的中点。 (1) 求证:四边形DEFG为平行四边形。 (2)若OD=3,CG=2,求BF及EG的长度。,知识回顾:,中点三角形,概念:顺次连结三角形的各
7、边中点所组成的三角形叫做中点三角形,结论1:,结论2:,结论3:,结论4:,如图,任意作一个四边形,并将其四边的中点依次连接起来,得到一个新的四边形,这个新四边形会是什么四边形?你能证明它吗?,中点四边形,概念:顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。,结论1:,结论3:,结论2:,结论4:,【例题】求证:顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形。,已知:在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证:四边形EFGH是平行四边形。,AH=HD,CG=GD,HG/AC,HG= AC,(三角形中位线定理),且EF=HG,所以四边形EFGH是平行
8、四边形, EF/HG,,例题的推广,求证:顺次连结矩形四条边中点,所得的四边形是菱形。,AH=HD,CG=GD,HG= AC,HE= GF= BD,HG= EF=HE=GF,四边形EFGH是菱形,AC=BD,已知:在矩形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 求证:四边形EFGH是菱形。,例题的推广,求证:顺次连结矩形四条边中点,所得的四边形是菱形。,EH= BD,AC=BD,HG= EH,实际问题: A、B两点被岛屿隔开,如何才能知道它们之间的距离呢?,A,B,(1)在A、B外选一点C,连结A C和BC ;,(2)并分别找出A C和BC的中点M、N 。,(3)连结MN ,并测量MN的长度。,解决方案,(4)因此MN是 ABC的中位线,根据三角形中位线定理AB=2MN。,(1) 如图,AF=FD=DB, FGDEBC,PE=1.5。 则DP= ,BC= 。,3,4.5,9,1.5,(2)已知:ABC三边长分别为a,b,c,它的三条中位线组成DEF,DEF的三条中位线又组成HPN,则 HPN的周长等于,为 ABC周长的, 面积为ABC面积的,提高练习:,说一说你学到了什么,?,布置作业,1、练习 第1题 2、习题24.4 第1题,3、证明线段倍分关系的方法常有三种:,作业:课本184页第4小题,188页第8小题,