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1、24.4.1三角形的中位线,1、相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比、周长的比都等于相似比。 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。,复习回顾,性质,1、如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 2、如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 3、如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。,判定,AF是ABC的中线,我们把DE叫做 ABC 的中位线,C,B,A,F,E,D,C,B,A,F,E,D,连接三角形
2、两边中点的线段,叫做 三角形的中位线,三角形中位线的定义,友情提醒：,理解三角形的中位线定义的两层含义:, 如果DE为ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 。, 如果D、E分别为AB、AC的中点， 那么DE为ABC的 ；,C,B,A,E,D,中位线,中点,怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？,？,A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,E,F,四边形BCFD是平行四边形吗？为什么？,三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。,DE是ABC的中位线，猜想DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？为什么？,A,B,C,D,E,F,三角形中位线定理,A、B两
3、点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？,在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN = 20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？,说一说,C,B,A,20,40,如图1：在ABC中，DE是中位线 （1）若ADE=60， 则B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm， 则DE= cm，为什么？,如图2：在ABC中，D、E、F分别 是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则DEF的周长= cm,图1,图2,60,4,12,A,B,C,D,E,B,A,C,D,E,F,5,4,3,例1求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分,已知：
4、如图2443所示，在ABC中，ADDB，BEEC，AFFC,证明连结DE、EF ADDB，BEEC， DEAC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半） 同理EFAB 四边形ADEF是平行四边形 AE、DF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）,求证：AE、DF互相平分,例2如图2444，ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于G 求证：,证明:连结ED，,D、E分别是边BC、AB的中点，,DEAC，,（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半），,ACGDEG，,如图，在四边形ABCD中，E、F、G 、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平
5、行四边形吗？为什么？,变题1、若四边形ABCD从普通形状变成平行四边形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会变化吗？为什么？,变题2、若四边形ABCD从普通的四边形变成矩形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会变化吗？为什么？,变题3、若四边形ABCD从普通的四边形变成菱形，其它条件不变，则四边形EFGH的形状会有变化吗？为什么？,变题4、若四边形ABCD从普通四边形变成正方形，其它的条件不变，则四边形EFGH的形状会有变化吗？为什么？,练 习,2 .顺次连接对角线相等的任意四边形的各 边中点所得的四边形是_ 3.顺次连接对角线互相垂直的任意四边形的各边中点所得的四边形是_,1.顺次连接任
6、意四边形的各边中点所得的四边形是_,平行四边形,菱 形,矩 形,拓展,如果在图2444中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G，如图24.4.5，那么我们 同理有 ，所以 有 ，即两图中的点G与G是重合的,三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线 的长是对应中线长的,1已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，求三条中位线长。 2如图所示，中，中线BD、CE相交于O，F、G分别为OB、OC的中点。 (1) 求证：四边形DEFG为平行四边形。 (2)若OD=3,CG=2,求BF及EG的长度。,知识回顾：,中点三角形,概念：顺次连结三角形的各
7、边中点所组成的三角形叫做中点三角形,结论1：,结论2：,结论3：,结论4：,如图,任意作一个四边形,并将其四边的中点依次连接起来,得到一个新的四边形,这个新四边形会是什么四边形?你能证明它吗？,中点四边形,概念：顺次连结四边形的各边中点所组成的四边形叫做中点四边形。,结论1：,结论3：,结论2：,结论4：,【例题】求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。,已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。,AH=HD，CG=GD,HG/AC，HG= AC,（三角形中位线定理）,且EF=HG,所以四边形EFGH是平行
8、四边形, EF/HG，,例题的推广,求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。,AH=HD，CG=GD,HG= AC,HE= GF= BD,HG= EF=HE=GF,四边形EFGH是菱形,AC=BD,已知：在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。 求证：四边形EFGH是菱形。,例题的推广,求证：顺次连结矩形四条边中点，所得的四边形是菱形。,EH= BD,AC=BD,HG= EH,实际问题： A、B两点被岛屿隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？,A,B,（1）在A、B外选一点C，连结A C和BC ;,（2）并分别找出A C和BC的中点M、N 。,（3）连结MN ，并测量MN的长度。,解决方案,（4）因此MN是 ABC的中位线，根据三角形中位线定理AB=2MN。,（1） 如图，AF=FD=DB， FGDEBC，PE=1.5。 则DP= ，BC= 。,3,4.5,9,1.5,（2）已知:ABC三边长分别为a，b，c，它的三条中位线组成DEF,DEF的三条中位线又组成HPN,则 HPN的周长等于,为 ABC周长的, 面积为ABC面积的,提高练习：,说一说你学到了什么,？,布置作业,1、练习 第1题 2、习题24.4 第1题,3、证明线段倍分关系的方法常有三种：,作业：课本184页第4小题，188页第8小题,
