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1、相似三角形知识点整理 重点、难点分析 1、相似三角形的判定性质是本节的重点也是难点 2、利用相似三角形性质判定解决实际应用的问题是难点。 内容提要 一、本章的两套定理 第一套比例的有关性质 涉及概念第四比例项比例中项 比的前项、后项比的内项、外项黄金分割等。 第二套 二、有关知识点 1.相似三角形定义 对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形。 2.相似三角形的表示方法用符号“”表示读作“相似于” 。 3.相似三角形的相似比 相似三角形的对应边的比叫做相似比。 4.相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交所截成的三角形与原三 角形相似。 5.相似三角形的判定
2、定理 (1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下 反比性质 c d a b 更比性质 d b c a a c b d 或 合比性质 d dc b ba bcad d c b a 比例基本定理 b a ndb mca ndb n m d c b a :)0(等比性质 相似基本 定理 推论 (骨干定理) 平行线分线段 成 比 例 定 理 (基本定理) 应用于中 相 似 三 角 形 定理 1 定理 2 定理 3 Rt 推论 推 论 的 逆定理 推论 类型 斜三角形 直角三角形 全等三角形的判定 SAS SSS AASASA HL 相似三角形 的判定 两边对应成 比例夹角相 等 三边对应
3、成 比例 两角对应相 等 一 条 直 角 边 与 斜 边 对 应 成比例 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边 成比例”就可得到相似三角形的判定定理这就是我们数学中的用类比的方法在旧知识的 基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。 6.直角三角形相似 (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边 对应成比例那么这两个直角三角形相似。 7.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比对
4、应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。 8. 相似三角形的传递性 如果ABCA1B1C1A1B1C1A2B2C2那么ABCA2B2C2 9、三角形三条中线的交点叫做重心三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边 中点距离的的两倍。 10、向量、 1、实数与向量相乘法则设 nm, 为实数则 1 amnanm )()( 2 amamanm )( 3 bnambam )( 2.平行向量定理如果向量b 与非零向量a 平行那么存在唯一的实数 ,m 使 amb 3.单位向量 我们把长度为 1 的向量叫做单位向量。设e 为单
5、位向量则 1e 。对于任意非零向量 a 与它同方向的单位向量记作 0 a ,则 a a aaaa 1 , 00 4.线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算。如 ba23 ba2 、 )5(3ba 等都是向量的线性运算。 5.线性组合 如果 .,ba 是两个不平行的向量x、y是实数 那么 byax 叫做 .,ba 线性组合。 如 .,ba 两个不平行的向量向量 ,23baOE 这时就说OE是 .,ba 的线性组合。 6.线性分解 如果 .,ba 是两个不平行的向量x、y是实数那么对于任意一个向量c都可由 .,ba 的 线性组合表示c byax 也叫线性分解。
6、 ax 是在a方向上的分向量 by 是在b方向 上的分向量。 三、注意 1、相似三角形的基本定理它是相似三角形的一个判定定理也是后面学习的相似三 角形的判定定理的基础这个定理确定了相似三角形的两个基本图形“A”型和“ 8 ”型。 在利用定理证明时要注意 A 型图的比例 AD AB DE BC AE AC 每个比的前项是同一个三 角形的三条边而比的后项是另一个三角形的三条对应边它们的位置不能写错尤其是要 防止写成 AD DB DE BC AE EC 的错误。 2、 相似三角形的基本图形 .平行线型即 A 型和 8 型。 .相交线型 A.具有一个公共角 在ABC 与ADE 中A 是它们的公共 角且
7、ADE=C B.具有一条公共边和一个公共角 在ABC 与BDC 中 CB 是它们的公共边 且CBD=AC 是它们的公共角。 C E D B A C A D B. C.有对顶角在ABC 中1 与2 是对顶角 C B D E A 3、掌握相似三角形的判定定理并且运用相似三角形定理证明 三角形相似及比例式或等积式。 4、添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。 5、对比例问题常用处理方法是将“一份”看着 k;对于等比问题常用处理办法是设“公 比”为 k。 6、对于复杂的几何图形采用将部分需要的图形或基本图形 “抽”出来的办法处理。 实用工具:常用数学公式 公式分类 公式表达式 乘法与因
8、式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b-bab |a-b|a|-|b| -|a|a|a| 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注韦达定理判别式 b2-4ac=0 注方程有两个相等的实根 b2-4ac0 注方程有两个不等的实根 b2-4ac0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h 正棱台侧面积 S=1/2(c+c)h 圆台侧面积 S=1/2(c+c)l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r0 扇形公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=SL 注其中,S是直截面面积 L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
