初中数学开放题选编(一)

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1、初中数学开放题、探索题选编（一）1.写一个一次函数，使它的图象经过点（3，4）.2.写出一个关于 的一次函数，使得当 时 ，当 时 .yx, 1x0y3x0y3.写出经过点（0，3）的一条抛物线方程.4.写出经过两点（0，3）和（3，0）的二次函数解析式.5.求出一个二次函数，使得当 时 ，当 时 ，当 时 .5以上诸题解法很多，主要有：（1）再添加条件或将条件特殊化转化为常规题.如第 1题可以再取一点如（0，0）等；第 2题可以取符合条件的两点，如（1，1） （3，3）等；第 3题可以添加两个点；第 4题可以添加一个点，第 5题可以取三个特殊点；（2）利用数形结合的思想，画出符合题意的草图即

2、可写出其解析式。 （3）可以拼凑出来，当然要会及时调整.6.写出一个形如“ ”的方程，使它的解为 ；dcxbax7.写出一个只含字母 的代数式,要求(1)要使此代数式有意义,字母 必须取全体正数,(2)此代数式的值恒为负数.8.已知数 3，6，请再写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项；（中任选一个数即可）12,注意：若将此题改为：已知数 3，6，若还有数 x，能使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，求 x. 此题应该有三种可能，四个解.9.若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为 3和 4，则此正方形边长为 ；（此题的答案应有两个 ）

3、.712;36010. 已知 A，B 两点（如图） （1）求作一个圆，使它经过 A，B 两点（2）在所作的圆中，作一个圆内接等腰三角形 ABC；. .11. 四边形 ABCD中,如果 那么对角线 AC和 BD互相垂直(只填出使结果成立的一种情况即可)12. 同学们知道:只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定相等.你如何处理和安排这三个条件,使这两个三角形全等,请你依照方案(1),写出方案(2)、(3)、(4).解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等；13. 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含 30 的直角三角形组成 ,利

4、用这副三角板0A B构成一个含有 15 角的方法较多 ,请你画出其中两种不同构成的示意图 ,并在图上标出必0要的标柱,不写作法.14. 在四边形 ABCD中,M,N,P,Q 分别是四边形各边 AB、BC、CD、DA 的中点，当四边形ABCD满足条件 时，四边形 MNPQ为矩形；15. 在面积为 4的菱形 ABCD中,画一个面积为 1的 ABP,使点 P在菱形 ABCD的 边上(不写作法,保留作图痕迹)(取 BC或 AD中点 P,或过对角线的交点,作 AB的平行线交 BC或 AD于点 P).16. 某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要求设计的图案由圆和正方形组成(圆和正

5、方形的个数不限)并且使整个矩形场地成轴对称图形,请在矩形中画出你设计的方案.(北京考题)17. 关于 的方程 ，是否存在负数 ，使方程的两个实数根x02)12(kxk的倒数和为 ？若存在，求出满足条件的负数 值，若不存在，请说明理由？1k18. 研究下列各式，你会发现什么规律？， ， ，243123924165251请将你找出的规律用公式表示出来 ；19. 1.判断下列各式是否成立,你认为成立的,请在括号内打“” ，不成立的请在括号内打“”（1） （ ） （2） （ ）3283（3） （ ） （4） （ ）1542452.你判断完以上各题之后，发现什么规律？请用含有 n的式子将规律表示出来，并

6、注明 n的取值范围；( )122nn20. 下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有 n(n1)盆花,每个图案的花盆的总数是 SABCD n=2 ,S=3 n=3, S=6 n=4, S=9按此规律推断,S 与 n的关系式为 ; (3n-3)21. 如图,AB 是O 的直径,把线段 AB分成几条相等的线段,以每条线段为直径分别画小圆,设 AB= ,那么O 的周长为 ,试计算aal(1)把 AB分成两条相等的线段,每个小圆的周长 lal212(2)把 AB分成三条相等的线段,每个小圆的周长 ;3(3)把 AB分成四条相等的线段,每个小圆的周长 = ;4l(4)把 A

7、B分成 n条相等的线段,每个小圆的周长 = ;n结论:把大圆的直径分成 n条线段,以每条线段为直径画小,那么每个小圆周长是 大圆周长的 ;请仿照上面的探索方法和步骤,计算推导出每个小圆面积和大圆面积的关系. (答案: ( 分别为 n等分直径的小圆面积和大圆面积)Sln21,n,22. 已知一个半径为 20cm的圆，作该圆内接钝角三角形，求这个钝角三角形面积的取值范围。 （0S400）23. 有一个三角形 ABC，现要用一个圆形纸片来覆盖它，尽可能使纸片最小，请说明圆形纸片如何确定。24点 P是ABC 中 AB边上的一点，过点 P作直线（不与直线 AB重合）截ABC，使截得的三角形与原三角形相似

8、，满足这样条件的直线最多有( )(A)2条 (B)3条 (C)4条 (D)5条25有一个二次函数图象，三位学生分别说出了它的一些特点A AA BBBO O O甲：对称轴是直线 x=4乙：:与 x轴交点的横坐标也是整数，丙：与 y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式 26阅读材料，解答问题阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母联欢会取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化。例如：由抛物线 y=x2-2mx+m2+2m-1,有 y=(x-m)2+2m-1,抛物线的顶点坐标为（m,2m-1）即 x=m y=2

9、m-1 当 m的值变化时，x、y 的值也随之变化，因而 y值也随 x值的变化而变化将代入，得 y=2x-1可见，不论 m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标 y和横坐标 x都满足关系式y=2x-1解答问题：（1）在上述过程中，由到所用的数学方法是 ，其中运用了 公式。由、得到所用的数学方法是 ；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线 y=x2-2mx+2m2-3m+1顶点的纵坐标 y与横坐标 x之间的关系式27、把100元存入银行，存期一年，计划选择下列种方案之一：活期储蓄（年利率0.72%）；整存整取储蓄（一年期年利率1.98%），对此估计、比较后，将较高收益的方案的序号写在横线上28、某种肥皂

10、零售价每块2元，凡购买二块以上（含二块），商场推出两中优惠销售办法，第一种：“一块按原价，其余按原价的七折优惠”；第二种：“全部按原价的八折优惠”。你在购买相同数量的情况下，要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少需要购买肥皂（）A、5块B、4块C、3块D、2块29、（本题8分）A工人的5次操作技能测试成绩（单位：分）是7，6，8，6，8；B工人这5次操作技能测试成绩的平分 7，方差S 2B2。x求A工人操作技能测试成绩的平均分 和方差S 2A；Ax提出一个有关“比较A、B两工人的操作技能测试成绩”的问题，再作出解答。30、（本题10分）这是一位学生编制的初中数学练习题：“x1、x 2是方

11、程x 22x+2=0的两个实数根，求x 12+x22的值”。另一位初三学生的解答是：“x 1x 2x 1x22，x 12+x22(x 1+x2)22x 1x22 222=0”（1）针对练习题和解答的正误作出判决，再简要说明理由；（2）只对原练习题的方程进行变式，其它条件不变，改求 的值21x31、（本题10分）某衡器厂的RGZ120型体重秤，最大称重120千克，你在体检时可看到如图显示盘。已知，指针顺时针旋转角x（度）与体重y（千克）有如下关系：根据表格的数据在平面直角坐标系中描出相应的点，顺次连结各点后，你发现这些点在哪一种图象上？合情猜想符合这个图形的函数解析式；验证这些点的坐标是否满足函

12、数解析式，归纳你的结论（写出自变量x的取值范围）；当指针旋转到158.4度的位置时，显示盘上的体重读数模糊不清，用解析式求出此时的体重。32.已知：正方形的边长为1如图，可以算出正方形的对角线为，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？根据图，求证BCEBED；由图，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，BECBDE45；BECBED45；BECDFE45注意：你完成整张试卷全部试题的解答后，如果还有时间在图中发现新的结论（不准添加辅助线和其它字母）并加以证明，将酌情加13.33.代数式ax 2+bx+c=0（a0）当x取1和3时，代数式的值为0。求b、c分别与

13、a的关系式；当代数式的值等于a和3a时，求x；用y表示上述代数式的值，把所得到的任意一对有序实数对（x,y）作为直角坐标平面内的点的坐标。请在3a3的范围内，对a取一个合适的值，画出此时点（x,y）所成图形的示意图，然后观察并写出点（x,y）的位置随x的增大而变化的规律。34.图 10表示一骑自行车和一骑摩托车沿相同路由甲地到乙地行驶过程的函数图像（分别为正比例函数和一次函数）.两地间的距离是 80千米.请你根据图像回答或解决下面的问题:（1） 谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2） 两人在途中行驶的速度分别是多少？（3） 请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解

14、析式（不要求写出自变量的取植范围）;（4） 指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）;在这一时间段内,请你分别按下列条件列出关于时间 x的方程或不等式（不要化简,也不要求解）:自行车行驶在摩托车前面;自行车与摩托车相遇;自行车行驶在摩托车后面. 35.图形的操做过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为 a,竖直方向的边长均为 b）: 在图 11-1中,将线段 A1A2向右平移 1个单位到 B1B2,得到封闭图形 A1A2B1B2（即阴影部分）; 在图 11-2中, 将折线 A1A2A3向右平移 1个单位到 B1B2B3,得到封闭图形A1A2A3B1B2B3（即阴影部分）; （1） 在图

15、 11-3中,请你类似地画一条有两个折点的折线,同样向右平移 1个单位,从而得到一个封闭图形,并用斜线画出阴影;（2） 请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积:S 1=,S2=S3=(3)联想与探索 如图 11-4,在一块矩形草地上,有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是 1个单位）,请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的. 36、如图，弦 DC，的延长线交于圆外点 P割线 PAB经过圆心 O。请你结合现有图形添加一个适当的条件：使1=237.某一次函数的图象经过点（1，2） ，且函数 y的值随自变量 x的增大而减少，请你写出一个符合上述条件的函数关系式： 。38. 已知等边ABC 和点 P，设点 P到ABC 三边