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1、第 1 页 共 8 页 函数的极值和最值函数的极值和最值 【考纲要求】【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】【知识网络】 【考点梳理】【考点梳理】 要点一、函数的极值要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数在点及其附近有定义，)(xf 0 xx （1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作 0 x)()( 0 xfxf)( 0 xf)(xf ；)( 0 xfy 极大值 （2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作
2、 0 x)()( 0 xfxf)( 0 xf)(xf .)( 0 xfy 极小值 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： 确定函数的定义域； 求导数；)(x f 求方程的根；0)( x f 检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右( )fx 正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连( )yf x,b
3、a)(xf,ba),(ba 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值 第 2 页 共 8 页 续的函数不一定有最大值与最小值.如.)(xf 1 ( )(0)f xx x 要点诠释：要点诠释： 函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数在闭区间有定义， 在开区间内有导数， 则求函数在上的最( )yf x,ba( , )a b( )yf x,ba 大值和最小值的步骤如下： （1）求函数在内的导数；)(xf),(ba)(x f （2）求方程在内
4、的根；0)( x f),(ba （3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；),(ba0)( x f)(xf)(af)(bf （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数( )yf x,ba 在闭区间上的最小值.( )yf x,ba 【典型例题】【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例 1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求.,33)( 23 Rmxxmxxf1)(xxf在m 在点处的切线方程；)(xf)1 (, 1 (fM 【解析】 2 ( )363,.fxmxxmR 因为处取得极值1)(xxf
5、在 所以( 1)3630fm 所以。3m 又(1)3,(1)12ff 所以在点处的切线方程)(xf)1 (, 1 (fM312(1)yx 即.1290 xy 举一反三：举一反三： 【变式 1】设为实数，函数a 22 , x f xexa xR (1)求的单调区间与极值； f x 第 3 页 共 8 页 (2)求证：当且时，ln2 1a 0 x 2 21 x exax 【解析】 （1）由知( )22 , x f xexa xR( )2, x fxexR 令，得于是当变化时，的变化情况如下表：( )0fxln2x x( ),( )fxf x x(,ln2) ln2 (ln2,) ( )fx0+ (
6、 )f x单调递减2(1ln2)a单调递增 故的单调递减区间是，单调递增区间是，( )f x(,ln2)(ln2,) 处取得极小值，极小值为( )ln2f xx 在 ln 2 (ln2)2ln222(1ln2).feaa (2)证明：设， 2 ( )21 x g xexaxxR 于是，( )22 x g xexaxR 由(1)知当时，最小值为ln2 1a ( )g x(ln2)2(1 ln2)0.ga 于是对任意，都有，所以在 R 内单调递增xR( )0g x( )g x 于是当时，对任意，都有ln2 1a (0,)x( )(0)g xg 而，从而对任意(0)0g(0,), ( )0 xg x
7、 即，故 2 210 x exax 2 21 x exax 【变式 2】函数的定义域为区间（a，b） ，导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数( )f x( )fx( )f x 在（a，b）内的极小值有（） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】由极小值的定义，只有点 B 是函数的极小值点，故选 A。( )f x 类型二：利用导数解决函数的最值问题类型二：利用导数解决函数的最值问题 【高清课堂：函数的极值和最值 394579 典型例题三【高清课堂：函数的极值和最值 394579 典型例题三】 第 4 页 共 8 页 例 2.已知函数 2 ( )(), x f xxmxm e其中mR
8、。 （1）若函数( )f x存在零点，求实数m的取值范围； （2）当0m 时，求函数( )f x的单调区间；并确定此时( )f x是否存在最小值，如果存在，求出最 小值，如果存在，请说明理由。 【解析】 （1）因为函数( )f x存在零点，则有实根， 2 0 xmxm ，即 2 40mm 04mm得 （2）当0m 时，函数定义域为R 2 2 ( )(2)() (2) (2) xx x x fxxm exmxm e xxmx e x xm e 由，则( )0fx02xxm或 由，则( )0fx02xxm或 由，则( )0fx20mx 列表如下： x (,2)m 2m (2,0)m 0 (0,)
9、( )fx +0-0+ ( )f x 增极大值减极小值增 所以在，上单调增，在上单调减。( )f x(,2)m(0,)(2,0)m 又知当时，；时，；2xm 且( )0f x 0 x 且( )0f x 而，所以( )f x存在最小值.(0)0fm(0)fm 举一反三：举一反三： 【变式】已知函数(),. 2 ( )1f xax0a 3 ( )g xxbx (1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;( )yf x( )yg xc, a b (2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值. 2 4ab( )( )f xg x(, 1 【解析】(1)由 1c， 为公共切点可
10、得:, 2 ( )1(0)f xaxa 则, ( )2fxax 1 2ka 第 5 页 共 8 页 ,则, 3 ( )g xxbx 2 ( )=3g xxb 2 3kb 23ab 又,(1)1fa(1)1gb ,即,11ab ab 代入式可得:. 3 3 a b (2), 2 4ab 设 322 1 ( )( )( )1 4 h xf xg xxaxa x 则,令, 22 1 ( )32 4 h xxaxa( )0h x 解得:,; 1 2 a x 2 6 a x , , 0a 26 aa 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 2 a ， 26 aa ， 6 a ， 若,即时,最大值为;
11、 1 2 a 02a 2 ( 1) 4 a ha 若,即时,最大值为 1 26 aa 26a1 2 a h 若时,即时,最大值为. 1 6 a 6a1 2 a h 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. 02a， 2 (1) 4 a ha2 ,a1 2 a h 例 3.设 32 11 ( )2 32 f xxxax （）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；( )f x( , 得a （）当时，在1，4上的最小值为，求在该区间上的最大值02a( )f x 16 3 ( )f x 【解析】 （）由 2 2 11 ( )22 24 fxxxaxa 当时，的最大值为； 2 , 3 x ( )fx
12、22 2 39 fa 令，得， 2 20 9 a 1 9 a 所以，当时，在上存在单调递增区间 1 9 a ( )f x 2 , 3 第 6 页 共 8 页 （）令，得两根，( )0fx 1 11 8 2 a x 2 11 8 2 a x 所以在，上单调递减，在上单调递增( )f x 1 (,)x 2 (,)x 12 ( ,)x x 当时，有，02a 12 14xx 所以在1，4上的最大值为( )f x 2 ()f x 又，即， 27 (4)(1)60 2 ffa (4)(1)ff 所以在1，4上的最小值为，( )f x 4016 (4)8 33 fa 得，从而在1，4上的最大值为1a 2 2
13、x ( )f x 10 (2) 3 f 举一反三：举一反三： 【变式 1】设函数求的最小值; 22 ( )log(1)log (1)(01),f xxxxxx)(xf 【解析】函数 f（x）的定义域为（0，1） 22 ( )( log) (1)log (1)fxxxxx 2222 11 loglog (1)loglog (1) ln2ln2 xxxx 令 1 ( )0 2 fxx得 当时，, 在区间是减函数； 1 0 2 x( )0fx ( )f x 1 (0, ) 2 当时，, 在区间是增函数. 1 1 2 x( )0fx ( )f x 1 ( ,1) 2 在时取得最小值且最小值为.( )f
14、 x 1 2 x 1 ( )1 2 f 【变式 2】已知函数 f（x）x3ax2bxc 在 x与 x1 时都取得极值 2 3 （1）求 a、b 的值与函数 f（x）的单调区间 （2）若对 x1，2 ，不等式 f（x）c2恒成立，求 c 的取值范围。 【解析】（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb 由 f（），f（1）32ab0 得 a，b2 2 3 124 ab0 93 1 2 f（x）3x2x2（3x2） （x1） ， 函数 f（x）的单调区间如下表： x（，） 2 3 2 3 （，1） 2 3 1（1，） f （x） 00 f（x）极大值极小值 第 7 页 共 8 页 所以
15、函数 f（x）的递增区间是（，）与（1，） ，递减区间是（，1） 2 3 2 3 （2）f（x）x3x22xc，x1，2 ， 1 2 当 x时，f（x）c 为极大值，而 f（2）2c，则 f（2）2c 为最大值。 2 3 22 27 要使 f（x）c2（x1，2 ）恒成立，只需 c2f（2）2c， 解得 c1 或 c2。 类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用 例 4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端 均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且假设该容器的建造费用仅与其表面积有 80 3 2
16、lr 关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为千元设该容(3)c c 器的建造费用为千元y (1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；yr (2)求该容器的建造费用最小时的r 【解析】(1)设容器的容积为 V， 由题意知，又， 23 4 3 Vr lr 80 3 V 故 3 222 4 8044 20 3 333 Vr lrr rrr 由于，因此2lr02r 所以建造费用， 22 2 4 20 234234 3 yrlr crrr c r 因此， 2 160 4 (2)ycr r 02r (2)由(1)得， 3 22 1608 (2)20 8 (2) 2 c ycrr rrc
