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1、一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习（ab0）的图象、性质与应用21 定理：函数（ab0）表示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的双曲线首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax的值与的值比较，当很大很大的时候， 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax的值；当的值很小很小，几乎为0的时候，ax的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是的值从而，函数（ab0）表示的图象是以y=ax和x
2、=0（y轴）的直线为渐近线的曲线另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论OxyAA1例1图例1若函数是双曲线，求实半轴a，虚半轴b，半焦距c，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义 分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=x就是实轴了，得出顶点为A（，3），A1（-，-3）； a=, 由渐近线与实轴的夹角是30，则有=tan30, 得b=2 , c=4, F1(2,)F2(-2,-)为了验证函数的图象是双曲线，在曲
3、线上任意取一点P（x, ）满足即可；所以，函数表示的曲线是双曲线（在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的）22五种表现形式表现 1：函数 （a0,b0）的双曲线大概图象如下：OxyAA1y=ax表现1图渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在和上函数分别是单调递增的，在和上函数分别是单调递减的；在x=处有极大值，在x=处有极小值；值域是表现 2：函数 （a0,b0,b0，所以，函数在和上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R表现 4：函数 （a0）的双曲线图象如右：OxyAA1y=ax表现4图此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，y0 , xy=1 ,求的最
4、小值及此时x、y的值解：xy0 ，x-y0, 又 xy=1，=；解混合式得：所以当： 时候，取得最小值为例3求y= (x0)解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 由 x0得t2,而在上是减函数的，所以y-5,值域为例11已知（1）若a0，求的单调区间（2）若当时，恒有0，求实数a的取值范围解：= 当0时，的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）（i）当时，显然0成立，此时，（ii）当时，由0，可得，令 则0，在要求区间内是单调递增，可知0，在要求区间内是单调递减，可知此时的范围是（1，3）综合i、ii得：的范围是（1，3）从上面几个例子可以看出，形如 或（m0,a0）函数值域不但可以用二次
5、方程的判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了重点推广：到此我们来看看函数 （adbc，a0）究竟是什么样的图象与性质呢？xyO它可以通过变形化为，继续化为，因此，函数（adbc，a0）的图象是可以从的图象通过平移而来的，从而（adbc，a0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是，的两条直线，在和两个区间上都具有相同的单调性，0时都是单调递减，0,b0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，例4已知正项数列满足a1=a (0a1)且an+1,求证 分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i）n=1时 a1=a，符合求证结论 ii设n=k时 结论成立 则n=k+1时候， ak+1,而，因此，考虑函数f(x)=1- 在区间和区间都是递增函数，（0，1），所以f(x)=在0，1）也是递增函数，从而，ak+1，所以 n=k+1时,不等式也成立综上所述，对任意n是正的自然数都成立这样，（adbc，a0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是，的两条直线，在和两个区间上都具有相同的单调性的应用要得到巩固，它是函数（ab0）的图象、性质的知识系统的重要组成部分
