135编号大一高数复习资料

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1、高等数学期末复习资料 第 1 页（共 9 页） 高等数学（本科少学时类型） 第一章函数与极限第一章函数与极限 第一节函数第一节函数 函数基础（高中函数部分相关知识） （） 邻域（去心邻域） （） ,|U ax xa ,|0U axxa 第二节数列的极限第二节数列的极限 数列极限的证明（） 【题型示例】已知数列，证明 n x lim n x xa 【证明示例】语言N 1由化简得， n xa gn Ng 2即对，当时，始终0 Ng Nn 有不等式成立， n xa axn x lim 第三节函数的极限第三节函数的极限 时函数极限的证明（） 0 xx 【题型示例】已知函数，证明 xf Axf xx 0

2、 lim 【证明示例】语言 1由化简得， f xA 0 0 xxg g 2即对，当时，0 g 0 0 xx 始终有不等式成立， f xA Axf xx 0 lim 时函数极限的证明（）x 【题型示例】已知函数，证明 xf Axf x lim 【证明示例】语言X 1由化简得， f xA xg gX 2即对，当时，始终有0 gX Xx 不等式成立， f xA Axf x lim 第四节无穷小与无穷大第四节无穷小与无穷大 无穷小与无穷大的本质（） 函数无穷小 xf 0limxf 函数无穷大 xf xflim 无穷小与无穷大的相关定理与推论（） （定理三）假设为有界函数，为无穷小， xf xg 则 l

3、im0f xg x （定理四）在自变量的某个变化过程中，若 xf 为无穷大，则为无穷小；反之，若为 1 fx xf 无穷小，且，则为无穷大 0f x xf 1 【题型示例】计算：（或） 0 lim xx f xg x x 1函数在的任一去心 f xM f x 0 xx 邻域内是有界的；, 0 xU （，函数在上有界；） f xM f xDx 2即函数是时的无穷小； 0lim 0 xg xx xg 0 xx （即函数是时的无穷小；） 0lim xg x xgx 3由定理可知 0 lim0 xx f xg x （） lim0 x f xg x 第五节极限运算法则第五节极限运算法则 极限的四则运算法

4、则（） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则 关于多项式、商式的极限运算 p x xq 设： n nn m mm bxbxbxq axaxaxp 1 10 1 10 则有 0 lim 0 0 b a xq xp x mn mn mn 0 0 0 lim 0 0 xx f x g x f x g x 0 00 00 0 0,0 0 g x g xf x g xf x （特别地，当（不定型）时，通常分 0 0 lim 0 xx f x g x 子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解） 【题型示例】求值 2 3 3 lim 9 x x x 高等数学期末复习资料

5、第 2 页（共 9 页） 【求解示例】解：因为，从而可得，所以原3x3x 式 2 333 3311 limlimlim 93336 xxx xx xxxx 其中为函数的可去间断点3x 2 3 9 x f x x 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）： 解： 0 0 2 333 2 3311 limlimlim 926 9 xL xx xx xx x 连续函数穿越定理 （复合函数的极限求解） （） （定理五）若函数是定义域上的连续函数，那 xf 么， 00 limlim xxxx fxfx 【题型示例】求值： 9 3 lim 2 3 x x x 【求解示例】 22 33 3316 liml

6、im 9966 xx xx xx 第六节极限存在准则及两个重要极限第六节极限存在准则及两个重要极限 夹迫准则（P53） （） 第一个重要极限：1 sin lim 0 x x x ， 2 , 0 xxxxtansin1 sin lim 0 x x x 0 00 0 lim1 1 limlim1 sinsin sin lim x xx x x xx x xx （特别地，） 0 0 0 sin() lim1 xx xx xx 单调有界收敛准则（P57） （） 第二个重要极限：e x x x 1 1lim （一般地，其中 lim limlim g xg x f xf x ） 0limxf 【题型示例】

7、求值： 1 12 32 lim x x x x 【求解示例】 2 111 21 2 1 21221 21 1 2212 2121 lim 21 2 21 232122 limlimlim1 212121 22 lim1lim1 2121 2 lim1 21 xxx xxx x xx x x x xx x x xx xxx xx x 解： 1 2 lim1 21 21 21 2 1 21 22 lim 121 x x x x x x x x x e eee 第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）第七节无穷小量的阶（无穷小的比较） 等价无穷小（） 1 sin tan arcsin arctan ln(

8、1) 1 U UUUUUU e 2UUcos1 2 1 2 （乘除可替，加减不行） 【题型示例】求值： xx xxx x 3 1ln1ln lim 2 0 【求解示例】 3 1 3 1 lim 3 1 lim 3 1ln1 lim 3 1ln1ln lim, 0, 0 000 2 0 x x xx xx xx xx xx xxx xx xxx x 所以原式即解：因为 第八节函数的连续性第八节函数的连续性 函数连续的定义（） 00 0 limlim xxxx f xf xf x 间断点的分类（P67） （） ）无穷间断点（极限为 第二类间断点 可去间断点（相等） 跳越间断点（不等） 限存在）第一

9、类间断点（左右极 （特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式） 【题型示例】设函数 ，应该怎样选 xa e xf x2 0 0 x x 择数，使得成为在上的连续函数？a xfR 【求解示例】 1 2 01 0 00 0 feee faa fa 2由连续函数定义 efxfxf xx 0limlim 00 ea 高等数学期末复习资料 第 3 页（共 9 页） 第九节闭区间上连续函数的性质第九节闭区间上连续函数的性质 零点定理（） 【题型示例】证明 ： 方程至少有一个根 f xg xC 介于与之间ab 【证明示例】 1 （建立辅助函数）函数在 xf xg xC 闭区间上连续；, a b 2（端点异

10、号） 0ab 3由零点定理，在开区间内至少有一点，使ba, 得， 即（） 0 0fgC10 4这等式说明方程在开区间 f xg xCba, 内至少有一个根 第二章导数与微分第二章导数与微分 第一节导数概念第一节导数概念 高等数学中导数的定义及几何意义（P83） （） 【题型示例】已知函数 ，在 bax e xf x 1 0 0 x x 处可导，求，0 xab 【求解示例】 1， 0 01 0 fe fa 00 0 0112 0 012 fee fb fe 2由函数可导定义 001 0002 ffa fffb 1,2ab 【题型示例】求在处的切线与法线方程 xfy ax （或：过图像上点处的切线

11、与法线 xfy , a f a 方程） 【求解示例】 1， xfy afy ax | 2切线方程： yf afaxa 法线方程： 1 yf axa fa 第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则第二节函数的和（差） 、积与商的求导法则 函数和（差） 、积与商的求导法则（） 1线性组合（定理一）：()uvuv 特别地，当时，有1()uvuv 2函数积的求导法则（定理二）：()uvu vuv 3函数商的求导法则（定理三） ： 2 uu vuv vv 第三节反函数和复合函数的求导法则第三节反函数和复合函数的求导法则 反函数的求导法则（） 【题型示例】求函数的导数 xf 1 【求解示例】由题可得为直接

12、函数，其在定于域 xfD 上单调、可导，且； 0 x f 1 1 fx fx 复合函数的求导法则（） 【题型示例】设，求 2 arcsin122 ln x yexa y 【求解示例】 2 2 2 2 2 2 2 arcsin122 arcsin122 2 22 arcsin1 22 2arcsin122 2 arcsin1 222 arcsin122 arcsi arcsin122 1 1 1 211 2 12 21 22 1 x x x x x x x yexa exa x xa e xax exa x x x e xxa exa e exa 解： 2 n1 2222 12 x xx xxx

13、a 第四节高阶导数第四节高阶导数 （或） （） 1nn fxfx 1 1 nn nn d ydy dxdx 【题型示例】求函数的阶导数xy1lnn 【求解示例】， 11 1 1 yx x ， 12 111yxx 23 11121yxx 1 ( 1)(1) (1) nnn ynx ！ 第五节隐函数及参数方程型函数的导数第五节隐函数及参数方程型函数的导数 隐函数的求导（等式两边对求导） （）x 【题型示例】试求：方程所给定的曲线： y exyC 在点的切线方程与法线方程 xyy 1 ,1e 【求解示例】由两边对求导 y exyx 即化简得 y yxe 1 y yey ee y 1 1 1 1 1

14、切线方程：ex e y 1 1 1 1 高等数学期末复习资料 第 4 页（共 9 页） 法线方程：exey111 参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程，求 ty tx 2 2 dx yd 【求解示例】1.2. t t dx dy 2 2 dy d ydx dxt 第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节函数的微分第七节函数的微分 基本初等函数微分公式与微分运算法则（） dxxfdy 第三章中值定理与导数的应用第三章中值定理与导数的应用 第一节中值定理第一节中值定理 引理（费马引理） （） 罗尔定理（） 【题型示例】 现假设函数在上连续， 在 f x0,0, 上可导，试证明：，0, 使得成立 cossin0ff 【证明示例】 1 （建立辅助函数）令 sinxf xx 显然函数在闭区间上连续，在开区间 x0, 上可导；0, 2又 00 sin00f sin0f 即 00 3由罗尔定理知 ，使得成立0, cossin0ff 拉格朗日中值定理（） 【题型示例】证明不等式：当时，1x x ee x 【证明示例】 1 （建立辅助函数）令函