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1、北 京 四 中 函数的基本性质 一、基础知识梳理1、函数的单调性：一般地，设函数f（x）的定义域为I：如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1, x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间D上是增函数。如果对于定义域I内某个给定区间D上的任意两个自变量的值x1, x2，当 x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上的减函数。认知：函数的单调性是对区间而言的，它是函数的“局部”性质，不同于函数的奇偶性，函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数“整体”性质；对某一函数y=f（x），它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性；即使是同一个函数它在某区
2、间上可能单调增，而在另外一区间上可能单调减；对某一函数y=f（x），它在区间（a，b）与（c，d）上都是单调增（减）函数，不能说y=f（x）在（a，b）（c，d）上一定是单调增（减）函数；定义均为充要性命题,因此,在函数的单调性之下,自变量的不等关系与相应函数值间的不等关系相互贯通:f(x)在D上为增函数且f( )f( ) ,且 , D;f(x)在D上为减函数且f( ) , , D.单调性的定义,是判断、证明函数的单调性以及寻求函数单调区间的基本依据.应用函数的单调性定义的解题三部曲为()设值定大小:设 , 为给定区间上任意两个自变量值,且 0时， ，求f(x)在R上的完整表达式。分析与解答：
3、首先f(0)=0当x0, 点评：已知函数在某一范围的解析式，利用函数性质，求其在其它区间上的解析式；或已知函数在某一区间上的单调性，研究它在其它区间上的单调性等问题，都要做到“求谁设谁”，即将所求范围内的变量设为x，或(x, y)，再利用对称性等其它性质，利用对称区间的条件，来获得x, y的函数关系。练： 的图象上任一点为(x,y)，则点 在y=g(x)图象上，求y=g(x)的解析式。解：设y=g(x)图象上任一点为 则点P(2x, 3y)在y=f(x)图象上， ， 为所求。例6、求函数的单调区间。(1) (2) y=|x|(1-x)(3) 分析与解答：可以通过引入中间变量u，将复合函数y=f
4、g(x)拆分为 u=g(x)和y=f(u)，复合函数的单调性可以通过u=g(x)和y=f(u)的单调性获得，结果如下表，但实施时要首先考虑函数定义域。u=g(x)y=f(u)y=fg(x)增增增增减减减增减减减增(1) x2-8x+70, x7或x-1当x(-,-1)时，x，u=x2-8x+7, (-,-1)为单增区间；当x(7,+)时，x, u=x2-8x+7, ,(7, +)为单减区间。(2)含绝对值的函数，可分情况讨论，去掉绝对值符号因函数图象易于画出，所以画图（见左），直接读出单调区间单增区间为 ，单减区间为（-，0和 。(3)可先化简函数为 当 ，kZ时，即 时，x ， ， 当 ，k
5、Z时，即 时，x， ， 单增区间为 ，kZ，单减区间为 ，kZ。评注：数形结合利用图象判断函数单调区间；关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关。复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决，内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数。例7、设函数f（x）在定义域R上是单调递减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）， ），求：f（1）及f（ ）.分析：这里的函数f（x）没有给出具体的解析式，要求f（1）的值，就需要对已知条件f（xy）=f（x）+f（y）中的x、y进行恰当的赋值，于是令x= ，y=1，得f（1）=0.解：令x= ，y=1，得f（1）=0.f（ ）=1，f（ ）=2.例8、定义在（-2，2）上的偶函数f(x)，当x0时为减函数，若f(1-a)f(a)恒成立，求实数a的取值范围。分析与解答：f(x)为偶函数， f(x)=f(|x|)由f(1-a)f(a)，有f(|1-a|)0f(x)可视为关于x的
