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1、三角函数综合三角函数综合 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】【学习目标】 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算. 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导 公式，理解周期函数与最小正周期的意义. 3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. 4.会用 “五点法” 画正弦函数、 余弦函数和函数的简图， 理解的物理意义.sin()yAxA、 、 5掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用 6熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩
2、变换的 意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化. 【知识网络】【知识网络】 【要点梳理】【要点梳理】 要点一：终边相同的角要点一：终边相同的角 1终边相同的角1终边相同的角 凡是与终边相同的角，都可以表示成的形式.360k 要点诠释：要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.360 特例： 终边在 x 轴上的角集合，|180kkZ ， 终边在 y 轴上的角集合，|18090kkZ ， 终边在坐标轴上的角的集合.|90kkZ ， 在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角
3、的终边位置，然后再确定大小. 2弧度和角度的换算2弧度和角度的换算 (1)角度制与弧度制的互化：弧度，弧度， 弧度 180 180 1 1 180 ()57 18 (2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.rl| 2 | 2 1 2 1 rrlS 要点诠释：要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数2， 是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中， 是圆心角所对的弧长，是半径. r l lr 要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特
4、殊角的三角函数值、同角三角函数的关 系式、诱导公式： 要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、同角三角函数的关 系式、诱导公式： 1.三角函数定义：1.三角函数定义： 角终边上任意一点为，设则：P),(yxrOP | ,cos,sin r x r y x y tan 要点诠释：要点诠释： 三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离P ,那么, 22 rxy 22 sin y xy 22 cos x xy tan y x 2.三角函数符号规律：2.三角函数符号规律： 一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)； 要点诠释：要点诠释
5、： 口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第 四象限余弦值为正 3.特殊角的三角函数值3.特殊角的三角函数值 0 6 4 3 2 3 2 2 sin0 2 1 2 2 2 3 10-10 cos1 2 3 2 2 2 1 0-101 tan0 3 3 13不存在0不存在0 4.同角三角函数的基本关系：4.同角三角函数的基本关系： 22 sin sincos1;tan cos 要点诠释：要点诠释： (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同” ，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关 系式都成立； (2)是的简写； 2 sin 2 (si
6、n) (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“”的选取 5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):5.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限): sin()=sin，cos()=-cos，tan()=-tan sin()=-sin，cos()=-cos，tan()=tan sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan sin()=-sin，cos()=cos，tan()=-tan222 sin()=sin，cos()=cos，tan()=tan，2k2k2k()kZ sin()=cos，cos()=sin 2 2 sin()=cos，cos()=-si
7、n 2 2 要点诠释：要点诠释： (1)要化的角的形式为(为常整数)； 90kk (2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限” ； (3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角” ； (4)；.sincoscos 444 xxx cossin 44 xx 要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 1.三角函数的图象与性质：1.三角函数的图象与性质：sincos，yxyx y=sinxy=cosx 定 义 域 (-，+)(-，+) 值 域 -1，1-1，1 奇 偶 性 奇函数偶函数 单 调 性 增区间 2,2, 22 kk
8、 kZ 减区间 3 2,2, 22 kk kZ 增区间 22kk kZ ， 减区间 22kk kZ ， 周最小正周期2T最小正周期2T 期 性 最 值 当时，2() 2 xkkZ min 1y 当时，2() 2 xkkZ max 1y 当时，2()xkkZ min 1y 当时，2()xkkZ max 1y 对 称 性 对称轴 () 2 xkkZ 对称中心 0 ()kkZ， 对称轴 ()xkkZ 对称中心 (,0)() 2 kkZ y=cosx 的图象是由 y=sinx 的图象左移得到的. 2 2三角函数的图象与性质：2三角函数的图象与性质：tanyx y=tanx 定义域, 2 xkkZ 值域
9、R 奇偶性奇函数 单调性增区间(,), 22 kkkZ 周期性T 最值无最大值和最小值 对称性对称中心(,0)() 2 k kZ 要点四：函数的图象与性质要点四：函数的图象与性质sin()yAx 1 “五点法”作简图 1 “五点法”作简图 用 “五点法” 作的简图， 主要是通过变量代换， 设， 由z取sin()yAxzx 3 0, ,2 22 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 要点诠释：要点诠释： 用“五点法”作sin()yAx图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为. 4 T 2的性质2的性质sin ()yAxx (1)三角函数的值域问题 三角函数的值域
10、问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函 数的值域或化为关于的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上sin (cos )xx 的值域. (2)三角函数的单调性 函数的单调区间的确定，基本思想是把看作一个整体，比如 ：)0, 0)(sin(AxAyx 由解 出的 范 围 所 得 区 间 即 为 增 区 间 ， 由)( 2 2 2 2Zkkxk x 解出的范围，所得区间即为减区间；)( 2 3 2 2 2Zkkxk x 要点诠释：要点诠释： （1）注意复合函数的解题思想； （2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性在转化为属于同一单
11、调区间上的两个同名函 数值，再利用单调性比较. 3确定的解析式的步骤3确定的解析式的步骤sin ()yAxx 首先确定振幅和周期，从而得到；A， 确定值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点作为突破口，要注意从图象的升降情况(,0) 找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点. 要点五：正弦型函数的图象变换方法要点五：正弦型函数的图象变换方法sin()yAx 先平移后伸缩先平移后伸缩 的图象 向左(0)或向右(0) 平移个单位长度 sinyx 的图象 () 横坐标伸长(0 1) 1 到原来的纵坐标不变 sin()yx 的图象 () AA A 纵坐标伸长(1)或缩短(0 0， 2 84 5 649
12、m m ，m.m0，m. 2 2 41 64925 m m 1 2 1 2 例 2.已知角； 45 (1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；0,720 (2)集合，那么两集合的关系是什 |18045 , 2 k x xkZM |18045 , 4 k Nx xkZ 么？ 【答案】(1) 或(2) MN 675315 【解析】(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，)(36045Zkk 则令 ，036045720k 得 45360765k 解得 ，从而或 360 45 360 765 k2k1k 代回或.675315 (2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集ZkkxxM,4
13、5) 12(| 合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而 ：MN .ZkkxxN,45) 1(| 【总结升华】(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列 出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.kkk 举一反三：举一反三： 【变式 1】集合，则( ), 42 |Zk k xxM , 24 |Zk k xxN A、 B、 C、 D、NM NM NM NM 【答案】C 【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4,kZk (法二)在平面直角坐标系中，数形结合 (法三)集合
14、M 变形， (21)2 , 44 kk xkZ 集合 N 变形， (2)2 , 44 kk xkZ 是的奇数倍，是的整数倍，因此.(21)k(2)kMN 类型二:扇形的弧长和面积公式类型二:扇形的弧长和面积公式 例 3已知一半径为 r 的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度？合 多少度？扇形的面积是多少？ 【答案】 265.44 2 1 (2) 2 r 【解析】设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是radr2.rr 依题意，得2,rrr 2 rad 180 (2) 1.14257.3065.44 , 22 11 (2). 22 Srr 【总结升华】弧长
15、和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当2Cr 2 1 2 2 Sr 用 圆 心 角 的 弧 度 数代 替时 ， 即 得 到 一 般 的 弧 长 公 式 和 扇 形 面 积 公 式 ：2 2 11 ,. 22 lr Slrr 类型三：同角三角函数基本关系式类型三：同角三角函数基本关系式 例 4若 sincos= ，(，)，求 cossin的值 1 84 2 【思路点拨】已知式为 sin、cos的二次式，欲求式为 sin、cos的一次式，为了运用条件， 须将 cossin进行平方 【解析】 (cossin)2=cos2+sin22sincos=1 = 1 4 3 4 ( ，)， cossin 4 2 cossin= 3 2 【总结升华】 sincos，cos+sin，cossin三者关系紧密，由其中之一，可求其余之二 举一反三：举一反三： 【变式 1】已知是的一个内角，且，求AABC 5 tan 4 A sin,cos .AA 【思路点拨】根据可得的范围：再结合同角三角函数的关系式求解.tan0AA 2 A 【答案】 5 41 41 4 41 41 【解析】为钝角， 5 tan0, 4 AA sin0,cos0.AA 由，平方整理得 sin tan, cos A A A 2 22 114 41 cos,cos, 411tan1tan AA
