动态规划-例题众多-详细讲解课件

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1、动态规划,参与竞赛的同学应由竞争关系和独立关系（你做你的，我干我的，程序和算法互相保密，彼此津津乐道于对方的失败和自己的成功）转向合作学习的关系（通过研讨算法、集中编程、互测数据等互相合作的方式完成学习任务）,2,斐波纳契数列F(n),3,递归 vs 动态规划,递归版本: F(n) 1if n=0 or n=1 then 2return 1 3else 4return F(n-1) + F(n-2),动态规划: F(n) 1A0 = A1 1 2for i 2 to n do 3Ai Ai-1 + Ai-2 4return An,太慢!,有效率! 算法复杂度是 O(n),4,方法概要,构造一个

2、公式，它表示一个问题的解是与它的子问题的 解相关的公式.E.g. F(n) = F(n-1) + F(n-2). 为这些子问题做索引 ，以便它们能够在表中更好的存储与检索 (i.e., 数组array【】) 以自底向上的方法来填写这表格; 首先填写最小子问题的解. 这就保证了当我们解决一个特殊的子问题时, 可以利用比它更小的所有可利用的 子问题的解.,由于历史原因, 我们称这种方法为： 动态规划. 在上世纪40年代末 (计算机普及很少时),这些规划设计是与”列表“方法相关的.,5,动态规划算法,算法思想 将待求解的问题分解成若干个子问题，并存储子问题的解而避免计算重复的子问题，并由子问题的解得

3、到原问题的解。 动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。 动态规划算法的基本要素： 最优子结构性质和重叠子问题。,原理,6,最优子结构性质：问题的最优解包含着它的子问题的最优解。即不管前面的策略如何，此后的决策必须是基于当前状态（由上一次决策产生）的最优决策。 重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些问题被反复计算多次。对每个子问题只解一次，然后将其解保存起来，以后再遇到同样的问题时就可以直接引用，不必重新求解。,原理,7,动态规划,解决问题的基本特征,1. 动态规划一般解决最值（最优，最大，最小，最长）问题；,2. 动态规划解决的问题一般是离散的

4、，可以分解（划分阶段）的；,3. 动态规划解决的问题必须包含最优子结构，即可以由（n1）的最优推导出n的最优,原理,8,动态规划算法的4个步骤： 1. 刻画最优解的结构特性. （一维，二维，三维数组） 2. 递归的定义最优解. （状态转移方程） 3. 以自底向上的方法来计算最优解. 4. 从计算得到的解来构造一个最优解.,解决问题的基本步骤,原理,9,实例,例题一. 斐波纳契数列F(n),步骤1：用F（n）表示在斐波纳契数列中第n个数的值；,步骤2：状态转移方程：,步骤3：以自底向上的方法来计算最优解,步骤4：在数组中分析构造出问题的解；,10,例题二. 输入n，求出n！,步骤1：用F（n）表

5、示n！的值；,步骤2：状态转移方程：,步骤3：以自底向上的方法来计算最优解,实例,11,例题三：排队买票问题,一场演唱会即将举行。现有n个歌迷排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1in），队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如RjTj+Tj+1，这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间，加快整个售票的进程。现给出n, Tj和Rj，求使每个人都买到票的最短时间和方法。,实例,12,1,2,3,4,5,i,i,步骤1：用F（i）表示前i个

6、人买票的最优方式，即所需最短时间；现在要决定F(i)需要考虑两种情况： （1）第i个人的票自己买 （2）第i个人的票由第i-1个人买,步骤2：状态转移方程：,min,步骤3：以自底向上的方法来计算最优解,13,程序的实现,BuyTicks(T, R) 1 n lengthT 2 f0 0 3 f1 T1 4 for i 2 to n do 5 fi fi-2+Ri-1 6 if fi fi-1+Ti then 7 fi fi-1+Ti 8 return f,14,实例,例题四：求最长不降子序列,1问题描述 设有一个正整数的序列：b1,b2,，bn，对于下标i1i2im，若有bi1bi2bim

7、则称存在一个长度为m的不下降序列。 例如，下列数列 13 7 9 16 38 24 37 18 44 19 21 22 63 15 对于下标i1=1，i2=4，i3=5，i4=9，i5=13，满足1316384463,则存在长度为5的不下降序列。 但是，我们看到还存在其他的不下降序列: i1=2，i2=3，i3=4，i4=8，i510，i6=11，i7=12，i8=13，满足：79161819212263，则存在长度为8的不下降序列。 问题为：当b1,b2,，bn给出之后，求出最长的不下降序列。,步骤1：用F（i）表示第i项到最后一项最长不下降序列的长度的值；,步骤2：状态转移方程；,di表示

8、数列中第i项的值；,步骤3：以自底向上的方法来计算最优解,15,拓展1： 拦截导弹 （vijos1303）,某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。 输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹，如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。 样例： INPUT OUTPUT 389 207 155 300

9、 299 170 158 65 6（最多能拦截的导弹数） 2（要拦截所有导弹最少要配备的系统数）,16,拓展2：低价购买,“低价购买”这条建议是在奶牛股票市场取得成功的一半规则。要想被认为是伟大的投资者，你必须遵循以下的问题建议:“低价购买；再低价购买”。每次你购买一支股票,你必须用低于你上次购买它的价格购买它。买的次数越多越好!你的目标是在遵循以上建议的前提下，求你最多能购买股票的次数。你将被给出一段时间内一支股票每天的出售价(216范围内的正整数)，你可以选择在哪些天购买这支股票。每次购买都必须遵循“低价购买；再低价购买”的原则。写一个程序计算最大购买次数。 这里是某支股票的价格清单： 日

10、期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 价格 68 69 54 64 68 64 70 67 78 62 98 87 最优秀的投资者可以购买最多4次股票，可行方案中的一种是： 日期 2 5 6 10 价格 69 68 64 62 输入 第1行: N (1 = N = 5000)，股票发行天数 第2行: N个数，是每天的股票价格。 输出 输出文件仅一行包含两个数:最大购买次数和拥有最大购买次数的方案数(=231)当二种方案“看起来一样”时（就是说它们构成的价格队列一样的时候）,这2种方案被认为是相同的。,17,拓展3：合唱队形 （vijis1098）,N位同学站成一排，音乐老师

11、要请其中的(N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右依次编号为1，2，K，他们的身高分别为T1，T2，TK， 则他们的身高满足T1Ti+1TK(1=i=K)。你的任务是，已知所有N位同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得剩下的同学排成合唱队形。,输入的第一行是一个整数N(2=N=100)，表示同学的总数。第一行有n个整数，用空格分隔，第i个整数Ti(130=Ti=230)是第i位同学的身高(厘米)。,输出包括一行，这一行只包含一个整数，就是最少需要几位同学出列。,样例输入 8 186 186 150 200 160 130 1

12、97 220,样例输出： 4,18,例题五. 马拦过河卒,实例,问题描述:如图，A 点有一个过河卒，需要走到目标 B 点。卒行走规则：可以向下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如上图的C点），该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点。例如上图 C 点上的马可以控制 9 个点（图中的P1，P2 P8 和 C）。卒不能通过对方马的控制点。,棋盘用坐标表示，A 点（0，0）、B 点（n,m）(n,m 为不超过 20 的整数，并由键盘输入)，同样马的位置坐标是需要给出的（约定: CA，同时CB）。现在要求你计算出卒从 A 点能够到达 B 点的路径的条数。 输入:键盘输入B点的

13、坐标（n,m）以及对方马的坐标（X,Y）不用盘错 输出:屏幕输出一个整数（路径的条数）。 输入输出样例:输入：6 6 3 2输出：17,19,步骤1：用F（X,Y）表示到棋盘上每个阶段(X,Y)的路径条数；,步骤2：状态转移方程：,步骤3：以自底向上的方法来计算最优解,分析：阶段：棋盘上的每个可走的点； 每个阶段的求解；,F（X,Y）= F (X-1,Y)+ F(X, Y-1) 其中，F（0,0 )=1 F (0,Y)=1 F (X,0)=1,20,例题六：数字三角形问题,1问题描述 设有一个三角形的数塔，顶点结点称为根结点，每个结点有一个整数数值。从顶点出发，可以向左走，也可以向右走。如图1

14、0一1所示。,问题：当三角形数塔给出之后，找出一条从第一层到达底层的路径，使路径的值最大。若这样的路径存在多条，任意给出一条即可。,21,步骤1,二维数组 D(X,y)描述问题，D(X,y)表示从顶层到达第X层第y个位置的最小路径得分。,步骤2：状态转移方程,阶段分析：D(1,1)=13 到第x层的第y个位置有两种可能，要么走右分支 得到，要么走左分支得到。,D(X,y)minD(X-1,y)，D(X-1,y-1+a(X,y) D(1,1)a(1,1),22,拓展：栈（vijos 1122）,【问题背景】栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。 栈有两种

15、最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。,宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。 现在可以进行两种操作， 1.将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作） 2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）,23,使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。（原始状态如上图所示）,24,你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，n经过操作可能得到的输出序列的总数。 【输入格

16、式】 输入文件只含一个整数n（1n18） 【输出格式】 输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目 【输入样例】 3 【输出样例】 5,25,例题七：最长公共子序列,一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。 给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。 最长公共子序列:公共子序列中长度最长的子序列。 最长公共子序列问题 给定两个序列X=x1,x2,xm和Y=y1,y2, yn，找出X和Y的一个最长公共子序列。 例如: X = (A, B, C, B, D, A, B) X的子序列: 所有X的子集(集合中元素按原来在X中的顺序排列) (A, B, D), (B, C, D, B), 等等.,26,例子,X = (A, B, C, B, D, A, B) X = (A, B, C, B, D, A, B) Y = (B, D, C