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1、学 海 无 涯 专题一数列,【知识框架】,数列基础知识,定义,项，通项,数列表示法,数列分类,等差数列,等比数列,定义,通项公式,前n项和公式,性质,特殊数列,其他特殊数列求和,数列,【知识要点 1】 一、数列的概念 数列是按一定顺序排列的一列数，记作 a1,a2,a3an,简记an. 数列an的第 n 项 an 与项数 n 的关系若用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。 如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项 an 与它的前一项 an-1（或前几项）间的关系可以用一个 式子来表示，即 an =f（an-1）或 an =f（an-1，an-2），那么这个式子
2、叫做数列an的递推公式. 数列可以看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图 像是一群孤立的点。 二、数列的表示方法： 列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。 三、数列的分类 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。 从函数角度考虑分：（考点） 递增数列：对于任何 n N+，均有 an+1 an 递减数列：对于任何 n N+，均有 an+1 M 四、an 与 Sn 的关系：（考点）,n,1. Sn = a1+a2+a3+an= i 1,i,a,2. an=,【
3、例题 1】已知数列an是递增数列,其通项公式为 an=n2+n（n=1，2，3） ,则实数 的取值范围 。,S1,n n-1,(n=1) S -S(n2),1,-,学 海 无 涯,数列是递增数列,解析： 数列an的通项公式为 an=n2+n（n=1，2，3） an+1-an=(n+1)2+(n+1)- n2-n,=2n+1+0恒成立 2n+1+ 的最小值是 3+3+0-3 实数 的取值范围是（-3，+） 【例题 2】数列an的通项公式为 an=3n2-28n,则数列各项中最小项是（B） A第项B第项C第项D第项,解析 1：an=f(n)= 3n2-28n，f(n)是一元二次函数，其图像开口向上
4、，有最低点，最低点是 28 6 由于 n N+，故取 n=4 和n=5 代入，得到 a4=-64，a5=-65，故选择 B 解析 2：,设 an 为数列的最小项，则有,代入化简得到,31 6,6,25,解得： n ,【练习 1】在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55 中，x 的值为（ ）,A10B11C12D13 【练习 2】数列an的前 n 项和 Sn=n2-4n+1，则an an=,【知识要点 2 等差数列】,定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这 个常数叫等差数列的公差。即 an-an-1=d（nN+，且n2），或者
5、an+1-an=d（nN+） 通项公式： an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d(公式的变形) an=an+b其中a=d，b= a1-d 前n 项和公式：,S,n,22,n1, n(a1 an ) n(n - 1) d,S na,(公式的变形) Sn=An2+Bn,2,其中 A= dB= a 21,d,4. 性质： 公式变形 如果 A= a b ,那么A 叫做 a 和 b 的等差中项.,2 若 an 为等差数列，且有 k+l=m+n, 则ak al am an 若an ,bn 为等差数列则 pan qbn 是等差数列，其中 p,q 均为常数,（5）若 a 为等差数列，则a , a,n
6、kkmk2 m, a,.（k,m N *）组成公差为 md 的等差数列.,（6）若 Sm, S2 m, S3m 分别为 an 的前n 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 Sm , S2 m Sm , S3m S2 m 成等差数列.,Sn,nnn,（7）若 a 设等差数列，则是等差数列，其首项与 a 首项相同，公差是 a 公差的 1 n2,（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质,若项数为 2n,则S -S,an,an 1,S奇,n奇n,若项数为 2n-1,则 S 偶=(n-1)a ，S =na ，,n,S奇n - 1,S偶S偶 偶奇=nd，, an 为等差数列。,5. 判断： 定义法：an+
7、1-an=d（nN+） 中项法： 2an+1=an+ an+2 通项公式法：an=an+b（a,b 为常数） 前 n 项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B 为常数）,【例题 1】已知an 是公差为 1 的等差数列， Sn 为an 的前n 项和，若 S8 4S4 ，则a10 （B）,anan-1 anan+1 故n=5,3n2-28n3(n-1)2-28(n-1) 3n2-28n3(n+1)2-28(n+1),-2(n=1) 2n-5(n2),2,-,（A） 17 2,（B） 19 2,学 海 无 涯 （C）10（D）12,2, n(n - 1) d,解析： Sn na1,d=1,S8=8a1
8、+28S4=4a1+6,S8=4 S4 a1=0.5an=a1+(n-1)da10=,19 2,【例题 2】在等差数列an 中，若a3 a4 a5 a6 a7 25 ，则a2 a8 = 10. 解析：因为an 是等差数列，所以 a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 ， a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即 a5 5 ，所以a2 a8 2a5 10 ，故应填入10 ,【知识要点 3 等比数列】,定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做 等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示，及 an1 q(n N * )
9、an 通项公式：,如果等比数列a 的公比为 q，那么它的通项公式为 a a qn1 .,nn1 3. 前n 项和公式：,nn,设等比数列 a 的公比为 q，其前 n 项和 S =,4. 性质： （1）,等比数列 an 满足,或,时， an 是递增数列；,满足或,时， an 是递减数列.,当 q=1 时， an 为常数数列； 当 q0 时， an 为摆动数列，且所有奇数项与 a1同号，所有偶数项与 a1异号. （2）对于正整数 m,n,p,q,若 m+n=p+q,则在等比数列 an 中， am, an, ap, aq 的关系为: am an ap aq,（3）若,a , b 为等比数列（项数相同
10、），则,nnn,a,a ( 0), a,2,nn n,1a,n,nn, a b ,仍是等比数列. b,（4）如果a,G,b 成等比数列，那么G 叫做 a 与 b 的等比中项，且 G=ab。不是任何两数都有等比中项，只 有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项。 【例题 1】已知数列a 是递增的等比数列， a a 9, a a 8 ，则数列a 的前n 项和等于 2n 1 . n142 3n,解析：由题意解得：a1=1，a4=8，,n,a (1 qn )1 2n,q=2，那么 Sn 1 2 1,1 q1 2,【例题 2】数列an 中a1 2, an1 2an , Sn 为an 的前 n 项和，若
11、 Sn 126 ，则n 6. 解析：an+1=2an 数列an 是等比数列，q=2,Sn= 1,1 q,a (1 qn ),=126其中 a1=2n=6,【知识要点 4】（大题）,一、考点 1：求 an：,na1,(q=1),a (1 qn ),1或 1n 1 q1 q,a a q,(q1),3,-,学 海 无 涯 归纳法（由特殊到一般即找规律） 由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见，较少出现在大题中。 利用 Sn 与 an 的关系求通项公式 由 Sn 求 an 时，要分n=1 和 n2 两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表 示. 由递推关系求数列的通项公
12、式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、 倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通 项的分式表达式）、特征根法】 1.累加法：若已知 a1且 an an1 f (n)(n 2)则 (an an1 ) (an1 an2 ) . (a3 a2 ) (a2 a1 ) an a1 f (n) f (n 1) . f (3) f (2)，即 an a1 f (2) f (3) . f (n 1) f (n).,1,2.累乘法：若已知 a 且,n,n1,an1,n1n2,aa a,32,aaaa2 a1, f (n)(n
13、2), 则 an. f (n)f (n 1).f (3)f (2) ,即,an a1a2 f (2)f (3).f (n 1) f (n) 3.换元法：若已知 a1且 an pan1 b(n 2,且 p p 0, p 1）则令bn an ,可得 bn （其中bn pbn1）为,等比数列，其中 ,b,p 1,可用待定系数法求出.,【例题 1】已知数列an 满足an1 an 2n 1，a1 1，求数列an 的通项公式。（累加法） 解：由an1 an 2n 1得an1 an 2n 1 则,an (an an1 ) (an1 an2 ) 2(n 1) 1 2(n 2) 1 , (a3 a2 ) (a2
14、 a1 ) a1 (2 2 1) (2 11) 1, 2(n 1) (n 2) 2 1 (n 1) 1, 2 (n 1)n (n 1) 1,2 (n 1)(n 1) 1 n2,所以数列a 的通项公式为a n2 。 nn 【例题 2】已知数列a 满足a 2(n 1)5n a ，a 3 ，求数列a 的通项公式。（累乘法） nn1n1n,n,n1n1n,n,a,a,n1n,解：因为a 2(n 1)5 a ，a 3 ，所以a 0 ，则 2(n 1)5 ，故,1,2,n,aa,aa,n1n221,n(n1),a an an1 , a3 a2 a, 2(n 11)5n1 2(n 2 1)5n2 2(2 1
15、) 52 2(11) 51 3, 2n1n(n 1) , 3 2 5(n1)(n2) 21 3, 3 2n1 5 n!,2,4,-,n(n1),所以数列a 的通项公式为a 3 2n1 5 n!.,nn 二、考点 2：求 Sn：,公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解 倒序相加法：在数列 an 中，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加 法求此数列的前 n 项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前 n 项和公式推导）,学 海 无 涯 错位相减法：在数列 anbn 中， an 是等差数列， bn 是等比数列，可用错位相减法求此数列的前 n 项和. 裂
16、项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的. 分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分 别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。,n,6.并项求和法：一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如a (1)n f (n)类型，可采,用两项合并求解.,【例题 1】设数列a 满足a,n1n 1n, 3 22n1, 2, a a,n,，（1）求数列a 的通项公式；（2）令,bn nan ，求数列的前 n 项和Sn 。（错位相减法） 解析：（1）由已知，当 n1 时， an1 (an1 an ) (an an1 ) (a2 a1 ) a1, 3(22n1 22n3 , 2) 2, 22(n1)1 。 而,
