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1、20092010学年复变函数第二学期末考试试题卷一、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 题号12345678910答案1设z=0为函数的m级极点,则m=( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 22设则=( )A 0 B. 1 C. i D.不存在3下列级数中,条件收敛的级数为( )A. B. C. D. 4下列命题中,正确的是( )A.设在区域D内均为的共轭调和函数,则必有.B.解析函数的实部是虚部的共轭调和函数.C.若在区域D内解析,则为D内调和函数.D.以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数.5下列数中,为实数的是( )A. B. C. D. 6当时,的值等于( )A.
2、 B. - C. 1 D. -17使得成立的复数z是( )A.不存在 B.唯一的 C.纯虚数 D.实数.8设z为复数,则方程的解( )A. B. C. D.9.函数在点可导是在点解析的( )条件A.充分不必要 B. 必要不充分 C.充要 D. 非充分非必要10.若幂级数在处收敛,则该级数在处的敛散性为( ).A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.不能确定二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)11._.12.不等式表示的区域为_.13.=_.14.幂级数的收敛半径为 .15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,v(x,y)=y,则=_ _.16.z=0是函数z-s
3、inz的_阶零点.三、判断题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)正确的打“”,错的打“”.题号171819202122答案17函数sin z在区域内为有界函数. 18.若与都在区域D内解析,则在D内必为常数.19. 对于任意自然数n1,方程的n个解之和为零. 20.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散. 21.函数在点可微等价于在点解析.22 是函数的孤立奇点.四、计算题(每小题6分,共18分)23(6分)设C为从原点沿至的弧段,求.24(6分)求函数在有限奇点处的留数25(6分)求,其中C:的正向.五、解下列各题(每小题8分,共32分)26(8分)将函数在区域内展开为罗朗级数 27(8分)
4、计算积分,从而证明.28(8分)利用留数计算积分 29(8分)证明为调和函数,并求解析函数使得 一、单项选择题题号12345678910答案CCCCBBDBAA二、填空题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)11.12.不等式表示的区域为.(注:区域的表示形式也可为图形或文字描述,正确即可.)13.=.14.幂级数的收敛半径为.15.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,v(x,y)=y,则=_1_.16.z=0是函数z-sinz的_3_阶零点.三、判断题(本大题共6小题,每小题2分,共12分)正确的在打“”,错的打“”.题号171819202122答案四、计算题(每小题6分,
5、共18分)23(6分)设C为从原点沿至的弧段,求.解:曲线的参数方程为,所以 . 6分24(6分)求函数在有限奇点处的留数解:设函数,则的所有有限孤立奇点有:,且它们都是一阶极点,所以,. 6分25(6分)求,其中C:的正向.解:设,则在所围的区域内只有唯一的奇点,且在及其内部是解析的,所以由柯西积分公式有:= 6分五、解下列各题(每小题7分,共28分)26(7分)将函数在区域内展开为罗朗级数 解:在区域内,于是所以 5分从而,. 7分(注:级数表达形式不惟一,正确即可.)27(7分)计算积分,从而证明 .解及证:因为在圆盘内解析,故由柯西积分定理可得:. 3分而,的参数方程为所以 所以,而所以 7分28(7分)利用留数计算积分 解:在内部的孤立奇点有:,其中为三阶极点,,为一阶极点.由留数定理 4分又而,所以=0 7分29(7分)证明为调和函数,并求解析函数使得 证及解:,故,具有连续的二阶偏导数,且所以,在整个复平面上为调和函数. 3分因为,所以又所以从而,于是,(c为常数), 6分又,故,所以. 7分6