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1、认识三角形1三角形有关的概念(1) 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点相邻两边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）(2) 三角形的表示 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”。如图7 -4一l，三角形有三个顶点：A、B、C；有三条边：AB、BC、AC;有三个角：、 ABC的三边用表示时，所对的边BC用表示所对的边AC用表示所对的边AB用c表示2三角形的分类 注意：根据角的大小来识别三角形的形状时，一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角
2、是锐角，则三角形是锐角三角形；若最大角是直角，则三角形直角三角形；若最大角是钝角，则三角形钝角三角形3三角形中边的关系（1）三角形的任意两边之和大于第三边；（2）三角形的任意两边之差小于第三边 如图7 -4 -1中，。注意：在任意给定的三条线段中，当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时，才能组成三角形。 例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3 +4 6，所以这三条线段能组成三角形又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 8，所以这三条线段不能组成三角形4三角形的三种主要线段 (1)高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段，叫做三角形的高。如图7 -
3、4 -2，AD是ABC的高，可表示为AD BC或=90或= 90。 (2)中线：在三角形中，连接顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。 如图7 -4 -3，AE是ABC的中线，表示为BE=EC或BE = BC或BC= 2EC. (3)角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，一个角的平分线是一条射线，而三角形的角平分线是一条线段如图7-4-4，AF是的角平分线，可表示为或或.一个三角形中三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在直线交于一点。5三角形的高、角平分线、中线的画法(1)三角形高的画法，如图7-4 -5 注
4、意：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高 锐角三角形的三条高交于三角形内部一点如图7 -4 -5甲， 钝角三角形的三条高交于三角形外部一点如图7 -4 -5乙， 直角三角形的三条高交于直角顶点如图7 -4 -5丙(2) 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来，就得到三角形一边上的中线(3)三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同，可以用量角器。防错档案：画钝角三角形的高容易出错，要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段6面积法解题例如：如图7 -4 -6，在ABC中，AB =AC，AC边上的高BD= 10，求 AB边上的高CE的长 解析：由
5、三角形面积公式有： 因为AB =AC，BD =10，所以CE= BD= 10.名题诠释【例题1】如图7 -4 -7，点D是ABC的边BC上的一点，点E在AD上 (1)图中共有_个三角形； (2)以.AC为边的三角形是_； (3)以BDE为内角的三角形是_.【解析】 (1)的左右两侧各有3个三角形，分别是ABE、ABD、EBD、ACE、.ACD、ECD，左右两侧组合又形成2个以BC为边的三角形，它们是ABC、EBC.故共有8个三角形(2) 以AC为边的三角形有3个，它们是.ACE、ACD、ACB. (3)以BDE为内角的三角形有2个，它们是EBD、ABD【答案】 (1)8 (2)ACE、ACD、
6、ACB (3)EBD、ABD【点评】 数三角形要注意选择恰当的顺序，做到不重不漏，注意最容易漏掉的是最大的三角形【例题2】 下列三角形分别是什么三角形？ （1）已知一个三角形的两个内角分别是50和60； (2) 已知一个三角形的两个内角分别是35和55； (3) 已知一个三角形的两个内角分别是30和45； (4) 已知一个三角形的周长为16cm，有两边的长分别是6cm和4cm.【解析】 确定三角形的形状，应紧扣定义【答案】 (1) 锐角三角形，因为三角形内角和为180，而两个内角分别是50和60，所以第三个内角是70，即这个三角形是锐角三角形 (2) 直角三角形，同理 (3) 钝角三角形，同理
7、 (4) 等腰三角形因为第三条边的长为16 -6 -4 =6(cm)【点评】 应全面考虑三角形的边和角的条件，再根据定义判别【例题3】 下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A. lcm、2cm、3.5cm B.4cm、5cm、9cm C. 5cm、8cm、15cm D.8cm、8cm、9cm【解析】 因为1+23.5，所以lcm、2cm、3.5cm的三条线段不能构成三角形 因为4+5 =9，所以4cm、5cm、9cm的三条线段不能构成三角形； 因为5+89，所以8cm、8cm、9cm的三条线段能构成三角形 【答案】D 【点评】 三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系，即是否满足任
8、意两边之和大于第三边简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边 【例题4】 甲地离学校4km，乙地离学校lkm记甲、乙两地之间的距离为dkm，则d的取值为( ) A.3 B.5 C.3或5 D3d5 【解析】本题应分两种情况讨论：(1)甲、乙两地与学校在一条直线上；(2)甲、乙两地与学校不在同一条直线上，则构成三角形，可利用三角形三边关系解题 【答案】 D 【例题5】 如图7-4 -8，在ABC中，=，G为AD的中点，延长BG交AC于EF为AB上一点，CFAD于H，下面判断正确的有( ) AD是ABE的角平分线；BE是ABD边AD上的中线；CH为ACD边AD上的高；AH是ACF的角平分线和高线
9、 A.l个 B2个 C.3个 D4个【解析】由=知AD平分BAE但AD不是ABE内的线段，故错，AD应是ABC的角平分线；同理，BE经过ABD的边AD的中点G，但BE不是ABD中的线段，故不正确，正确的说法应是BG是ABD边AD上的中线；由于CHAD于H，故CH是ACD边AD上的高，故正确；AH平分FAC并且在ACF内，故AH是ACF的角平分线，同理AH也是ACF的高，故正确【答案】B【点评】 三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段，在三角形的内部，后者是射线，可以无限延伸【例题6】在ABC中，AB =AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边
10、的长，【解析】 中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，要分类讨论：(1)当腰长小于底边时，AB +AD =12，如图7-4 -9；(2)当腰长大于底边时，AB +AD =15，如图7-4 -9 【答案】设AB=，则有：AD= DC= (1)若AB +AD =12，即+ =12，=8 AB =AC =8,DC =4，故BC= 15 -4= 11. 此时AB +AC BC， 所以三角形三边长分别为8cm，8cm，llcm. (2)若AB+ .4D= 15，即+=15，=10 即AB =AC =10，DC =5， 故BC=12 -5 =7显然，此时三角形存在， 所以三角形三边长分别为l
11、0cm，l0cm，7cm 综上所述，此三角形的三边长分别为8cm，8cmllcm或l0cm，l0cm，7cm 【例题7】 如图7-4 -10，是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角ABC的高BE，其中画法错误的是_【解析】 甲图错在把三自形的高线与AC边的垂线定义相混淆，把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征，画出的BE与AC不垂直；丙图错在没有过点B画AC的垂线，故不是高；丁图错在没有向点B的对边画垂线【答案】 甲、乙、丙、丁【例题8】 如图74-11，在ABC中，AB =AC，AC边上高BD=10，P为边BC上任意一点，PMAB，PNAC，垂足分别为M,N求PM+PN的值【解析】
12、 连接AP后，PM、PN就转化为APB和APC的高，从而由面积法可求得PM+ PN的值【答案】 连接AP，由图7-4 -11可知： ，即因为AB =AC，BD =10，所以PM+PN= BD =10.速效基础演练 1如图7 -4 -12，图中三角形的个数共有 ( ) A 1个 B2个 C.3个 D4个 2 三角形两边的长分别为lcm和4cru，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是_，这个三角形是_三角形3如图7 -4 -13( 1 ) ADBC，垂足为D，则AD是_的高，_=_= 90；( 2 ) 若AE平分，交BC于E点，AE叫_的角平分线， =_=_;( 3 ) 若AF= FC，则ABC的
13、中线是_;( 4 ) 若BC= GH= HF则AG是_的中线，AH是_的中线。4 如图7 -4 -14，在ABC中， = 90，D、E为AC上的两点，且AE= DE， =，则下列说法中不正确的是( ) ABC是ABE的高 BBE是ABD的中线 CBD足EBC的角平分线 D5如图7 -4 -15，哪一个图表示AD为ABC的高？( ) 6 如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是( ) A15 B16 C8 D77 下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )A. lcm，2cm，3cmB. 2cm，3cm，6cmC. 4cm，6cm，8cmD. 5cm，6cm，12cm8 如图7 -4 -16，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA =15米，OB =10米，A、B间的距离不可能是( ) A5米 B10米 C15米
