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1、习题分析,求函数的极值 1.对函数极值、极值点的理解 (1)极值点不是点，而是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数. (2)极值点是函数定义域内的点，但定义域端点绝不是极值点.,(3)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧很小的范围而言的. (4)函数在某区间内有极值，那么它在该区间内不是单调函数，即在区间上单调的函数无极值.,2.函数极值与其导数的关系 连续函数的某点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号，可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0.,在求函数极值时，往往认为只要f(x0)= 0,x0就是函数的极值点，而导致问题出错.,【例1】求下列函数的极值. 分析：按照求极值
2、的基本方法，首先从方程f(x)= 0求出函数f(x)在定义域内所有可能的极值点，然后按照 函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.,解：(1)因为 所以f(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 由f(x)=0,得:x1=2,x2=-2. 因此x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：,因此，当x=-2时，f(x)有极大值， 并且极大值为 当x=2时，f(x)有极小值， 并且极小值为,(2)函数的定义域为R. 令f(x)=0，得x=1. 当x-1或x1时，f(x)0， 当-1x1时，f(x)0， 因此x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表：,当x=-1时，函数取得极小值f(-1)=-3
3、， 当x=1时，函数取得极大值f(1)=-1.,【变式训练】求函数yx4-8x2+2的极值. 解：y4x3-16x， 令y0，解得x10，x22，x32. 当x变化时，y，y的变化情况如表：,当x0时，y有极大值，y极大值2； 当x2时，y有极小值，y极小值-14.,已知函数极值求参数的值 1.有关极值的逆向问题： 已知函数的极值，反过来确定函数的系数问题，这类问题为逆向思维的问题.解决这类问题的方法是根据求函数极值的步骤，利用极值点与导数的关系，建立字母系数的方程，通过解方程或方程组确定字母系数，从而解决问题.,2.注意知识交汇点： 已知极值点即已知f(x)=0的根的情况，所以此类问题易与二
4、次方程根与系数关系相联系.,f(x)=0求得的根不一定就是极值点，需要判断在该点两侧的导数异号后才能称为“极值点”.,【例2】已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2-10 x的一个极值点. (1)求实数a的值. (2)求函数f(x)的单调区间. (3)若直线y=b与函数y=f(x)的图像有3个交点，求b的取值范围.,分析：(1)由已知，可利用x=3是f(x)=0的解求a. (2)求单调区间可解不等式f(x)0与f(x)0注意定义域. (3)利用(2)可得f(x)的单调情况及极值，结合图像可得b的范围.,解：(1) a=16. (2)由(1)知f(x)=16ln(1+x)+x2-10
5、x, 当x(-1,1)(3,+)时,f(x)0, 当x(1,3)时,f(x)0, f(x)的单调增区间是(-1,1)和(3,+),单调减区间是(1,3).,(3)由(2)知，f(x)的极大值为f(1)=16ln2-9， 极小值为f(3)=32ln2-21. 又x-1时，f(x)-. x+时，f(x)+. 结合函数f(x)的图像可得， 当直线y=b与y=f(x)的图像有3个交点时，f(3)bf(1)，即b(32ln2-21，16ln2-9).,【变式训练】已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2,当x=-1时，有 极值0，求a,b的值. 解：f(x)=3x2+6ax+b, 由题意得 解得 当
6、a=1,b=3时， f(x)=3x2+6x+3=3(x+1)20, f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去.,当a=2,b=9时， f(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3)， 当x(-3,-1)时，f(x)为减函数，当x(-1，+)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x=-1处取得极小值.a=2,b=9.,【警示】本题易忽视验证x=-1两侧函数的单调 性而导致增解.,讨论极值、极值点问题 1.含参函数极值问题类型： (1)已知极值点或极值，求参数取值. (2)根据参数讨论极值或极值点的取值情况. (3)根据极值或极值点的取值情况求参数的取值范围.,2.含参函数极值问题讨论的依据：
7、函数极值的概念、函数极值与单调性的关系、函数极值与导数的关系. 3.讨论的关键点及对应策略： (1)某区间上是否有极值：看此区间上导数的符号，若导数恒等于0，则函数不单调，无极值,若导数恒大于0或恒小于0，函数单调无极值，若导数既有大于0又有小于0，则函数不单调有极值.,(2)x=x0是极大值点还是极小值点：看x0附近左右导数的正负，左负右正极小，左正右负极大. (3)某区间内有几个极值点：看方程f(x)=0有几个解，但要排除非极值点.,【例3】已知aR，讨论函数f(x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点 的个数. 分析：讨论极值问题必与导数有关，先求导函数， 根据a的不同取值再考查f(x)
8、=0解的情况从而确定导函数 的正负，判断出极值点的个数.,解：f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a) =exx2+(a+2)x+2a+1,令f(x)=0得 x2+(a+2)x+2a+1=0. (1)当=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0. 即a4时，x2+(a+2)x+2a+1=0有两个不同的实根x1，x2，不妨设x1x2. 于是f(x)=ex(x-x1)(x-x2)，从而有下表,即此时f(x)有两个极值点.,(2)当=0即a=0或a=4时， 方程x2+(a+2)x+2a+1=0有两个相同的实根x1=x2, 于是f(x)=ex(x-x1)2, 故当x0，
9、当xx2时f(x)0，因此f(x)无极值.,(3)当0即0a4时, x2+(a+2)x+2a+10, f(x)=exx2+(a+2)x+(2a+1)0, 故f(x)为增函数，此时f(x)无极值. 因此当a4或a0时， f(x)有两个极值点，当0a4时，f(x)无极值点.,【互动探究】本题问题改为“f(x)有两个极值点，求a的取值范围”，如何求？ 【解析】f(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a) =exx2+(a+2)x+2a+1, 令f(x)=0得x2+(a+2)x+2a+1=0. f(x)有两个极值点， =(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)0. 得a4, 即
10、a4时，f(x)有两个极值点.,【变式训练】已知函数f(x)x3+mx2+nx-2的图像过点 (-1,-6)，且函数g(x)=f(x)+6x的图像关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间； (2)若a0，求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 【解析】(1)由函数f(x)的图像过点(-1,-6)，得m-n=-3. 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的图像关于y轴对称，所以,所以m=-3.代入，得n=0.于是f(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f(x
11、)0，得x2或x0, 故f(x)的单调递增区间是(-,0),(2,+); 由f(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2).,(2)由(1)得f(x)=3x(x-2), 令f(x)=0，得x=0,或x=2. 当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如表:,由此可得，当0a1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)= -2，无极小值; 当a=1时，f(x)在(a-1,a+1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a3,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得，当0a1时，f(x)有极大值-2，无极小值；当1a3时，f(
12、x)有极小值-6，无极大值；当a=1或a3时，f(x)无极值.,【即时训练】已知平面向量 (1)若存在实数k和t，使 试求函数关系式k=f(t)； (2) 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)-m=0的解的情况.,解：(1) 即 整理后得 上式化为-4k+t(t2-3)=0，即,(2)讨论方程 的解的情况，可以看作曲线 与直线y=m的交点个数. 于是 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1. 当t变化时，f(t)、f(t)的变化情况如表：,当t=-1时，f(t)有极大值， 当t=1时，f(t)有极小值， 函数 的图像如图所示，可观察出：,当 时,方程f(t)-m=0有且只有一解； 当 时
13、,方程f(t)-m=0有两解； 当 时,方程f(t)-m=0有三解.,基础自主演练,1.设f(x)在x0附近有定义，f(x0)是f(x)的极大值，则( ) (A)在x0附近的左侧，f(x)f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)f(x0) (B)在x0附近的左侧，f(x)f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)f(x0)；在x0附近的右侧，f(x)f(x0),【解析】选C.由极大值定义得在x0附近f(x0)最大，故选C.,2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极大值点( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (
14、D)4个 【解析】选B.极大值点的左边导数大于零，右边导数小于零，只有两个.,3.函数y=(x+1)3,当x=-1时( ) (A)有极大值 (B)有极小值 (C)既无极大值，也无极小值 (D)无法判断 【解析】选C.y=3(x+1)2,当x0，当x-1时，y0,函数y=(x+1)3在x=-1处无极值.,4.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是_. 【解析】f(x)=3x2-6x=3x(x-2)， 函数f(x)在(-,0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在(2,+)上是增加的, f(x)极大值=f(0)=7. 答案：7,5.已知实数a,b,c,d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值点为b，此时极大值为c，求ad的值. 【解析】由y=3-3x2, 令y=0,得x1=-1,x2=1, 根据x1,x2列表分析f(x)的符号和f(x)的单调性和极值点,结合上表可知，b=1,c=2, 又ad=bc,所以ad=2.,Thank you!,
