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1、几何布朗运动,JUFE-CONG TU,Contents,2,正态随机变量,连续性随机变量X都对应一个函数f(x)，称为X的概率密度函数，它按下面的方式决定与X有关的概率：对任意实数ab，曲线f(x)下方x轴上方位于区间a,b的部分的面积等于X取值于a,b之间的概率。即：,P(aX b) =a与b之间f(x)与x轴所围成的面积 即右图中阴影区域面积,3,JUFE-CONG TU,正态随机变量,正态随机变量X的密度函数f(x)由两个参数和决定，密度函数的具体形式为： 正态概率密度函数是关于x =对称的钟形曲线，参数决定了曲线的陡峭与舒缓程度。 E(X)= Var(X)=2,4,JUFE-CONG
2、 TU,正态随机变量,标准正态随机变量： =0， 2=1。 设为Z一标准正态随机变量，定义在实数域上的函数(x)称为标准正态分布函数，即 根据标准正态分布的密度函数的对称性我们有,P(Zx) 即(-x)=1-(x),5,JUFE-CONG TU,正态随机变量,例 一个年级学生的IQ测验成绩服从均值为100，标准差为14.2的正态分布。问随机抽取一名该年级学生其IQ成绩大于130的概率是多少？ 解 设X为随机抽出的该年级学生的IQ成绩，则： 故,6,JUFE-CONG TU,3原则,例 设X为正态随机变量XN (, 2)，则 故 随机变量只有不到0.3%的可能取值在均值3倍标准差以外。,7,JU
3、FE-CONG TU,正态随机变量,两个相互独立的正态随机变量的和仍然是正态随机变量。 若X1，X2为相互独立的随机变量，且X1N (1, 12) ， X2N (2, 22) ，则 X1+X2 也服从正态分布，且 E(X1+X2)= E(X1)+E(X2)= 1 + 2 Var(X1+X2)= Var(X1)+Var(X2)= 12+ 22 即X1+X2N (1 + 2, 12+ 22),8,JUFE-CONG TU,正态随机变量,例：条件与上例题同，现问从六年级学生中随机抽取4人，他们的平均IQ分数高于130的概率是多少？ 解：设 表示随机抽取四人的平均IQ分数，于是 故,9,JUFE-CO
4、NG TU,中心极限定理,大量独立同分布的随机变量之和所构成的随机变量近似于一个正态随机变量。 设X1，X2，为独立同分布的随机变量，它们的均值皆为，方差为2，记 。 中心极限定理 对足够大的n，Sn近似于均值为n ，方差为n的正态随机变量，即对任意x，我们有 且随着n的逐步增大，近似程度变得越来越高。,10,JUFE-CONG TU,中心极限定理,一个n重贝努利试验，假设每次试验只有成功和失败两种结果，我们用随机变量Xi来表示，若第i次试验成功则Xi=1，若第i次试验失败则Xi=0。且各次试验成功的概率皆为p。 设随机变量 则X服从参数为n，p的二项分布，且,11,JUFE-CONG TU,
5、中心极限定理,例：掷一均匀硬币100次，求出现正面的次数小于40的概率。 解：设X为出现正面的次数，则X服从参数n=100，p=1/2的二项分布。且np=50，np(1-p)=25，故：,12,JUFE-CONG TU,对数正态随机变量,设Y是一个随机变量，若ln(Y)服从均值为，方差为2的正态分布，则称Y为以和为参数的对数正态随机变量。 即如果Y为对数正态的，则它可以表示为 Y=eX ，其中XN (, 2) 可以证明,13,JUFE-CONG TU,对数正态随机变量,例 给定初始时间，设S(n)为某证券在n周后的价格(n0)，一个模拟这些价格变化的常用模型是假设价格比率S(n)/S(n-1)
6、是独立同分布的对数正态随机变量，设参数=0.0165，=0.0730，求以下事件的概率： （1）此后两星期证券价格连续上升； （2）两周后的证券价格高于今天的价格。,14,JUFE-CONG TU,对数正态随机变量,解 （1）设Z为标准正态随机变量，求第一周证券价格上升的概率即求 连续两周价格上升的概率为(0.5894)2=0.3474.,15,JUFE-CONG TU,对数正态随机变量,（2）求两周后证券价格高于今天的价格，即求,16,JUFE-CONG TU,布朗运动,1827年英国植物学家罗伯特布朗（Robert Brown）首次提出布朗运动来描述散布在液体或气体中微粒的不规则运动。 1
7、905年阿尔伯特爱因斯坦（Albert Einstein）首次给出了这种运动的解释。 1918年美国数学家诺伯特维纳（Norbert Wiener）发表一系列文章，给出了布朗运动简练的数学定义以及对它的某些数学性质的说明。,17,JUFE-CONG TU,布朗运动,1900年，法国数学家Bachelier也独立地介绍了布朗运动，他在自己的博士论文中用此来建立股票和商品价格运动的模型。 布朗运动：价格集合S(y)：0y+，若对任意非负的实数y，t，随机变量S(y+t)-S(y)独立于时刻y及此前的所有价格，并且它是一个均值为t，方差为t2的正态随机变量，则称价格集合为漂移参数为 ，方差参数为2的
8、布朗运动。,18,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,用布朗运动建立的股票或商品价格运动的模型存在一些缺陷，比如： 1、既然股票价格是一个正态随机变量，那它在理论上就可以取负值，但这与实际是不符的。 2、在布朗运动的模型里，假定无论初始价格为何值，固定时间长度的价格差具有相同的正态分布。这个假设不太合理，比如一支股票从$20跌到$15的概率一般不会与另一支股票在相同时间内从$10跌到$5的概率相同。,19,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,几何布朗运动可以克服上述缺点 仍用S(y)（0y+）表示y时刻某证券的价格，若对任何非负实数y ，t， （1）随机变量S(y+t)/ S(y)独立
9、于y时刻及此前的所有价格； （2）ln (S(y+t)/ S(y)是均值为 t ，方差为t2的正态随机变量， 则称价格集服从漂移参数为 ，波动参数为的几何布朗运动。,20,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,如果证券价格遵循几何布朗运动，那么一旦 ， 的值确定了，影响未来价格概率分布的只是现在的价格，而与历史价格无关。 涉及未来时刻t以后的价格与当前价格比值的所有概率都与当前价格无关。 比如一种证券在一个月后增长一倍的概率与该证券现在的价格是$10还是$25是没有关系的。,21,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,前面我们曾经讲过，若随机变量Y为以为参数的对数正态随机变量，则 若已知证
10、券的初始价格为S(0)，时刻t价格的期望值仅依赖于几何布朗运动的漂移参数和波动参数，即对于S(t)我们有,22,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,用表示一个小的时间增量，并假定，在每个时间单位内，证券的价格或者以概率p增长u倍，或者以概率（1-p）下跌d倍，其中 当取得越来越小时，价格的变化就越来越频繁，相应的价格集就近似为一个几何布朗运动。,23,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,下面证明当取得越来越小时，上述简单过程趋近于几何布朗运动。 首先定义随机变量Yi，若i时的价格上涨，则令Yi=1，否则令Yi=0. 证券价格在前n次变化过程中上涨的次数为 ，下跌的次数为 ，故在时刻n的
11、证券价格S(n)可以表示为：,24,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,将上述形式整理一下 若记n=t/，则上述方程可以改写为 两边取对数得,25,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,既然 则随着趋于0，和式 越来越接近正态随机变量，故是ln (S(t)/ S(0)一个正态随机变量，并且,26,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,现在求方差，由于 故,27,JUFE-CONG TU,几何布朗运动,当变得越来越小时， ln (S(t)/ S(0) (同理可知ln (S(t+y)/ S(y)就变成均值为 t ，方差为t2的正态随机变量。 又因为前后价格的变化是独立的且每次改变时都以同样概率增减，故S(t+y)/ S(y)独立于时刻y以前的价格变化。 所以当趋于0时，几何布朗运动的两个条件均满足，这证明该模型确实变成了一个几何布朗运动。,28,JUFE-CONG TU,练 习,假设某只股票的价格S服从对数正态分布，并且 问股价超过$22的概率有多大？ 提示：,29,JUFE-CONG TU,练 习,设S(y)（0y+）服从漂移参数为=0.01 ，波动参数为=0.2的几何布朗运动。如果S(0)=100，求 (1) ES(10); (2) PS(10)100 (3) PS(10)110,30,JUFE-CONG TU,Thank You !,
