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1、复习：微积分基本定理 （牛顿莱布尼茨公式） 定积分的换元法 定积分的分部积分法 反常积分,高等数学 第五章 第六节 11-01,第六节 定积分在几何中的应用,高等数学 第五章 第六节 11-02,一、微元法,三、旋转体的体积,二、平面图形的面积,高等数学 第五章 第六节 11-03,四、在医学方面的应用（第七节自学）,高等数学 第五章 第六节 11-04,定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有广泛的应用。在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法-微元法，不断积累和提高数学的应用能力。,一
2、、微元法,通过对曲边梯形的面积，变速直线运动的路程的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么：,（1）究竟哪些量可以通过定积分来求值？ （2）实际问题转化为定积分的过程能否简化？,为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。,(1) 分割：任意划分a,b为n个小区间,相应地把曲边梯形分为n个小曲边梯形,则曲边梯形的面积为,(2)近似替代：,则有,(4) 取极限：,(3) 求和：,即,若我们所要求的量 A 符合条件：,（1） A 与某个变量 x 及其变化
3、区间 a,b，以及定义在该区间上的某一连续函数 f(x) 有关；,（2）A 在 a,b 上具有可加性，即若把区间 a,b 分成许多小区间，则相应把所求量 A 分成许多部分量，而 A 等于所有部分量之和，,究竟哪些量可以通过定积分来求值?,（3）部分量 可表达成 且误差为,则 A 可考虑用定积分来表达。,实际问题转化为定积分的过程能否简化？,（1） 根据问题的具体情况，选取适当的积分变量 x或y，并确定它的变化区间a,b；,（2） 在 a,b 的任一子区间 x,x+ x 上，找出相应增量 A 的近似表达式 建立元素关系式,注意：这样表示的前提条件是： 否则可能造成失误。 这里，称 dA 为量A的
4、元素或微元。,（3）以所求量A的微元 为被积表达式，写出在 a,b 上的定积分，即得所求量 A 的积分表达式,上述这种通过微元解决问题的方法称为微元法。,1,x,O,y,y= f(x)=x2,高等数学 第五章 第四节 11-07,x,1,x,O,y,y=f(x)= x2,x+dx,高等数学 第五章 第六节 11-08,定积分定义,1.分成小区间xi-1，xi,微元分析法,1.取一小段x，x+dx,3.在a,b上“相加” 得：,高等数学 第五章 第六节 11-09,1.求由曲线 y=f(x), y=g(x) (f(x)g(x) 及直线 x=a，x=b (ab) 围成的平面图形的面积 A。,高等数
5、学 第五章 第六节 11-10,二、平面图形的面积,a,o,x,y,b,y=f(x),y=g(x),x,x+dx,dA,高等数学 第五章 第六节 11-11,a,o,x,y,b,y=f(x),x,x+dx,dA,高等数学 第五章 第六节 11-12,g(x)=0,a,o,x,y,b,y=g(x),x,x+dx,dA,高等数学 第五章 第六节 11-13,f(x)=0,2.求由曲线 x=(y)，x=(y) (y)(y)及直线 y=c，y=d (cd) 围成的平面图形的面积 A。,高等数学 第五章 第六节 11-14,c,o,x,y,d,x =(y),x =(y),y,y +dy,dA,高等数学
6、第五章 第六节 11-15,例1 计算由抛物线 ， 所围成的图形的面积。,高等数学 第五章 第六节 11-16,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,另解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,A1,A2,例2 计算由抛物线 与直线 所围成的图形的面积。,高等数学 第五章 第六节 11-17,解,两曲线的交点,选 为积分变量,利用定积分求平面图形面积的步骤：,1.先描绘出欲求面积的图形(草图)； 2.求出图形各边界曲线的交点； 3. 选择对 x 积分还是对 y 积分，从而决定分几块积分； 4.恰当地表达面积元素； 5.确定每个积分的被积函数及上、下 限，并求出定积分。,高等数学 第五章
7、 第六节 11-18,旋转体是由一个平面图形绕此平面内一条直线（称为旋转轴）旋转一周而形成的立体图形。,高等数学 第五章 第六节 11-20,三、旋转体的体积,例如：圆柱可视为由矩形绕它的一条边旋转一周而成的立体，圆锥可视为由直角三角形绕它的一条直角边旋转一周而成的立体，而球体可视为半圆绕它的直径旋转一周而成的立体。,高等数学 第五章 第六节 11-10,1. 求由曲线 y=f(x)，（假设曲线 f(x) 与 x 轴不相交）与直线 x=a，x=b (ab) 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。,高等数学 第五章 第六节 11-21,a,b,y=f(x),高等数学 第
8、五章 第六节 11-22,2. 求由曲线 x =(y)，（假设曲线 (y) 与 y 轴不相交）与直线 y=c，y=d (cd) 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的 体积。,高等数学 第五章 第六节 11-23,y,o,x,x=(y),c,d,高等数学 第五章 第六节 11-24,例3 计算由椭圆 围成的图形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体（称为旋转椭球体）的体积。,高等数学 第五章 第六节 11-25,所围图形绕 x 轴旋转,而成的椭球体的体积.,解: 方法 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,例3. 计算由椭圆,例 4 求由 和 所围成的平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积。,高等数学 第五章 第六节 11-27,解,两曲线的交点,选 为积分变量,小结：微元法 平面图形的面积 旋转体的体积,高等数学 第五章 第四节 11-36,作业：P123 习题五 17 22 预习：第六章 微分方程,下次课再见！,高等数学 第五章 第六节 11-37,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍,
