2019专升本《高等数学》课程的应试课件

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1、,专升本高等数学课程的应试策略,应试总体策略,一、应试前,对考题类型心中有数;,二、应试前,对考试涉及的知识点心中有数;,三、应试前,对每类题型的求解方法心中有数;,四、应试前,对常用的数学知识公式、性质、 法则心中有数,心中有数,坦然应试!,往年考题题型及各题型所占分值,2019年以来,往年试卷的分值及考试时间一直保持不变(试卷总分150分,考试时间为150分钟。),历年题型见下表:,考试知识点及每个知识点在考卷中的比例,历年来,专升本考试的数学内容是固定的,总体上有四部分,它们分别是:一元函数的微积分;多元函数的微积分(包括空间解析几何知识);常微分方程;无穷级数。具体内容及所占比例如下表

2、:,每类题型的求解方法指导,一、单项选择题的求解方法,方法一:直接求解法。即从题设条件出发,经过合理的演算、推 理得出结论,然后,观察选项中哪一个符合要求。,举例:例1 当 时,无穷小 是比 的( ) 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小,指导:比较两个无穷小阶数的高低,方法是:求二者商的极限。,注:请注意解题方法!这种题是每年必考题。,例 2 设向量 则向量 与 的夹角为 ( ) 、,指导:求两向量的夹角时,可利用它们的数量积公式进行计算。,例 级数 的敛散性为( ) 绝对收敛 条件收敛 发散 敛散性不能确定,指导:这类题求解时,应首先看是否绝对收敛?,很明显,其绝对值级数为: ,

3、 的 级数,收敛,方法二:逐一验证法。即将所给选项按照题设要求逐一的演算、推理检验,从中找出符合题设的选项。,举例:例 1 下列函数中,是函数 的原函数的是 ( ) 、 、,指导:作这个题就需要逐一验证,首先,你应明白何谓“原函数”?,然后逐一检验。,如果,的一个原函数。,,其余都不满足,故应选。,注:原函数的概念也很重要,要牢记。,例在区间上,下列函数中不满足罗尔定理条件的是(),、 、,指导:该题的求解,应在掌握罗尔定理条件的基础上,对四个选项逐一验证。,罗尔定理的条件是:上函数连续;内函数可导 ,该题的四个选项中,、满足定理条件,而不满足。,方法三:排除法。即首先排除明显错误的选项,逐步

4、缩小选择范围,再进行比较和验证,最终选择一个正确答案。,举例 例 1 已知 ,则 等于( )。,指导 该题可用“方法一”-直接求解法寻求答案。只需作变换,令 ,即可得到 的关系式,进而得 。也可用 恒等变形的办法求得 。,该题也可用排除法求解。由已知,当 时,会得 ,而将 代入4个选项中,分别得 、 4、4、0,因此,选项A、D可排除。再令 ,会得 ,而将 代入B选项,得数9,因此B可排 除,最后,选C.,A、 B、 C、 D、,例 2 等于( );,A B C D,指导: 因该题是求微分的,结果中应含微分记号 ,故A、B选项可排除;再根据可变上限的积分求导性质,最终应选C.,方法四:赋值验证

5、法。即将条件中的变量或关系式,赋给一些合乎要求的数值或关系式,会得一结论;再观察选项中哪一个选项与命题结论相符。,举例:例 1 满足方程 的函数 是(),A 、 B、C、 D、,指导:在方程中,令,可得,满足此条件的函数有 和,又方程两边求导得,满足该条件的 只有,故D正确。,例已知,且,则函数在 处(),A 、导数存在,且 ; B、导数一定不存在; C、取得极大值 ; D、取得极小值 。,指导:取满足条件的函数,由该函数的性质知,A、B 、C全错,故选D,例设,则等于();,A 、 B 、 C、 D、,指导:由已知条件,将代入,可得,而在四个选项 中,满足条件的只有B.,方法五:图像法。即借

6、助函数的图像直观地判断函数的性质、状态,举例: 例1 设 在区间 上可导,且 ,则函数 在 内( );,A 、至少有两个零点 ; B、有且仅有一个零点; C、没有零点; D、零点的个数不确定,指导:由于 ,知函数严格递增,又 ,于是,函数图像 如图,直观可看到B选项正确。,例 2 函数 在点 处( );,A 、无定义; B、不连续; C、连续不可导; D、连续又可导。,指导:函数的图像如图,C选项正确。,方法六:变量替换法。即通过变量替换,把不熟悉的关系式化为熟悉的关系式,进而解答问题的方法。,举例:例1 曲线 在 处( );,A、有极大值 B、有极小值 C 、有拐点 D、无拐点,指导:令 ,

7、命题转化为判断 在 处的性态; 的曲线形 状大家比较熟悉,如图,正确答案为C.,例2 设级数 在点 处收敛, 则级数在 处( );,A、绝对收敛; B、条件收敛; C 、发散; D、敛散性不定,指导:令 ,该命题可化为,级数 在 处收敛 问 处的敛散性;由绝对收敛定理知,A选项正确。,二、填空题的求解方法,填空题往往考察某一知识点中的基本概念、基本性质、基本运算;因此,做这样的题需按照以下方法进行:,方法一:紧扣知识点,顺藤摸瓜。即遇到题首先弄清楚它考的是哪一章节的什么知识,然后再据这一知识的概念、性质、运算,推得结论进而得出答案。,举例 例1 极限 ;,指导:很明显,该题是一道极限计算题,如

8、何求极限呢?总体方法是,先判断极限类型,然后按照这种类型的极限求法求极限。该极限可看到是 极限,于是,可用罗比塔法则、可用等价无穷小的替换,也可用重要极限等方法求极限。极限值是,例 2 设 ,则,指导:该题是考察导数概念的题,要把导数定义中的极限与所给极限比较,进而求得极限。通过比较和恒等变形,可得极限为-3。,例3,指导:该题含有求导符号,因此是求导运算题,又被求导的函数是积分上限函数,于是,求导时要利用积分上限函数的性质。,被求导的函数是 与 复合而成的函数,故其导数为:,方法二:注重技巧,少走弯路。即有些题型的求解是有技巧的,方法正确,易于求出结果,方法不恰当,解题就困难。,几个重要结论

9、: , 等等,举例 例1 _ ;,指导: 该题可利用三角函数的高阶导数公式求得结果。,请你一定要记住这些公式!,例2 积分,指导:该定积分的积分区间是关于坐标原点对称的区间,因此,使我们想到考虑被积函数的奇偶性;容易知道,被积函数是奇函数,故积分为0。,例3 积分,指导:该题入手方法同例2,具体如下:,例4 设直线 在平面 内,则常 数 =;,指导:直线在平面内,意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直 从而,它们的数量积为零。,三、判断题的求解方法,判断题常常考试容易模糊的概念、容易出错的运算、容易迷糊的性质。这类题的求解需注意以下几点:,、理清概念。如: 对于一元函数, 对于多元函数,,、牢

10、记运算性质。如: 如果 如果级数,对于一元函数 ,, 严格运算,注重细节。,举例 例1 判断下列命题是否正确?,、如果函数 在点 处无定义,则 不存在; 、如果函数 在点 处不可导,则曲线 在 处无切线;,、如果函数 在点 处的两个偏导数皆存在;那 么函数 在点 处全微分存在; 、如果 ,则 。 、如果 ,则级数 收敛; 、如果函数 在 处取得极值,则 ; 、如果点 是曲线 的拐点,则 ; 、 ; 、设 ,则 ; 设 , ;,提示:这类问题很多,请细心思考!,四 、计算题的求解方法,这几年,专升本试卷中计算题的类型是较固定的,每年都是8个题,且它们分别是: 、求一元函数的极限;、求一元函数的导

11、数; 、求一元函数的不定积分;、求一元函数的定积分; 、多元复合函数的求偏导;、二重积分的计算; 、将函数展开成幂级数(或求幂级数的收敛区间); 、常微分方程的求解。,、一元极限的求解方法:,求极限时,应首先判断极限类型,然后才能选择合适的方法;这几年的求极限题皆为不定式极限,总体的方法是用罗比塔法则求极限;当然,在求极限过程中,也要考虑其它求极限的技巧,以便更快地求出极限来。,举例 例1 求,指导:首先看能否代入求极限,通过判断发现不能,该极限是 型不定式极限,可考虑用罗比塔法则求极限。,(也可用等价无穷小替换求解),、一元函数的求导方法,求一元函数的导数时,应首先看该函数的结构,判断是复合

12、函数,还是四则运算产生的函数,还是幂指函数,还是隐函数,然后 按相应的求导法则求导数。,举例: 例1 设,指导:该函数是幂指函数,可用对数求导法求导数,也可用复合求导法则求导数。,、求一元函数积分的方法,无论一元不定积分还是定积分,求积分时,首先要看被积函数的结构,看它属于哪个积分方法的可积类型,然后,按相应的方法积分。如:被积函数中含有根式时,要利用变换换元脱去根式进行积分;被积函数是对数或反三角函数时,用分部积分法积分等。,举例: 例1 求下列积分: ,指导对第一个积分容易看到,被积函数无微分关系,只能用分部 积分法积分,且注意到:,故积分如下:,对于第二个积分,被积函数特点是含有根式,于

13、是,可用换元 积分法积分。具体如下:,方法二:凑微分法 。具体如下,例2 求积分 ,指导这两个积分皆为定积分,从积分的特征看到,第一个积分是偶函数在对称区间上的积分,且被积函数可化简,然后用凑微分法积分;第二个积分,从特征看,需用分部积分法积分具体如下:,解,多元复合函数偏导数的求法,指导:这几年,多元复合函数的偏导计算题,往往是含字母的抽象函数的求导,关键要弄明白变量间的关系,然后按变量间的关系连线图求导。,举例 例 设 其中 皆具有二阶连续的偏 导数,求,指导 首先应明确,求导次序是:先对 求偏导,然后对 求偏导;具体求导时,函数是两项的和,需分别求导向加;而每一项又是复合函数,需用复合求

14、导法则求导。,解, 二重积分的计算,计算二重积分是一类很重要的运算,每年必考。计算的总体方法是:先画出积分区域;根据积分区域特征、被积函数特征,选择坐标系;在该坐标系内,把积分区域用不等式表示;把二重积分化为二次积分计算。,举例例求积分,其中是圆在第一 象限中的部分。,解积分区域如图所示,区域可表示为:,于是,,(在内,),幂级数的展开或运算,指导:把函数展开为幂级数时,常常用间接的方法;这其中需要 记几个常用函数的幂级数展开式,如: ,利用它们的展开式,利 用级数的运算,可间接地把一些函数展开成幂级数。,举例例将函数展开成的幂级数,并 求其收敛区间。,指导首先,需把该分式函数分解为简单分式,然后,再展开成幂级数。,解,(让函数中出现),在将展开成幂级数时,其收敛区间为:; 在将展开成幂级数时,其收敛区间为:,故, 已知函数展开的级数的收敛区间是,微分方程的求解,指导微分方程求解的方法是:先判断方程的类型,然后,根据方程的特点,选择合适的求解方法。,举例例求微分方程满足条件及 的解。,指导:该方程是二阶常系数线性非齐次微分方程,首先,求其齐次方程的通解,然后,构造非齐次方程的特解,进而,得到非齐次方程的通解。最后,将初始条件代入,求出满足条件的特解。

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