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1、湖北省黄冈中学高考数学 典型例题27 求空间的角高考数学典型例题详解求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.难点磁场()如图，l为60的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M,N,且MP与所成的角等于NP与所成的角.(1) 求证：MN分别与、所成角相等；(2) 求MN与所成角.案例探究例1在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是BC、AD的中点.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)求直线AC与DE所成的角；(3)求直线AD与平面BEDF所成的角；(4)求面BEDF与面ABC
2、D所成的角.命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属级题目.知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由BE=ED=DF=FB就断定BEDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B、E、D、F四点共面.技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得BE=ED=DF=FB=a,下证B、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结AG、EG，由EGABAB知，BEGA是平行四边形.BEAG,又
3、AF DG,AGDF为平行四边形.AGFD，B、E、D、F四点共面故四边形BEDF是菱形. (2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CPDE，交直线AD于P，则ACP(或补角)为异面直线AC与DE所成的角.在ACP中，易得AC=a，CP=DE=a,AP=a由余弦定理得cosACP=故AC与DE所成角为arccos. (3)解：ADE=ADF,AD在平面BEDF内的射影在EDF的平分线上.如下图所示.又BEDF为菱形，DB为EDF的平分线，故直线AD与平面BEDF所成的角为ADB在RtBAD中，AD=a，AB=a,BD=a则cosADB=故AD与平面BEDF所成的角是arccos.(4)解：
4、如图，连结EF、BD，交于O点，显然O为BD的中点，从而O为正方形ABCDABCD的中心.作OH平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心，再作HMDE，垂足为M，连结OM，则OMDE，故OMH为二面角BDEA的平面角.在RtDOE中，OE=a,OD=a,斜边DE=a,则由面积关系得OM=a在RtOHM中，sinOMH=故面BEDF与面ABCD所成的角为arcsin.例2如下图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120.求：(1)AC1的长；(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值.命题意图：本题主要考查利用向
5、量法来解决立体几何问题，属级题目.知识依托：向量的加、减及向量的数量积.错解分析：注意=,=120而不是60,=90.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.BD1与AC所成角的余弦值为.锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线所成的角 范围：090方法：平移法；补形法.2.直线与平面所成的角 范围：090方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos来计算歼灭难点训练一、选择题1.()在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一
6、点，则直线OP与直线AM所成的角是( )A.B.C.D.2.()设ABC和DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,CBA=CBD=120,则AD与平面BCD所成的角为( )A.30B.45C.60D.75二、填空题3.()已知AOB=90,过O点引AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45、60，则以OC为棱的二面角AOCB的余弦值等于_.4.()正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_.三、解答题5.()已知四边形ABCD为直角梯形，ADBC，ABC=90,PA平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求
7、异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角BPCD为直二面角.6.()设ABC和DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，ABC=DBC=120求：(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；(2)异面直线AD与BC所成的角；(3)二面角ABDC的大小.7.()一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.(1)求证：平面ABD平面ACD；(2)求AD与BC所成的角；(3)求二面角ABDC的大小.8.()设D是ABC的BC边上一点，把ACD沿AD折起，使C点所处的新位置C在平面ABD上的射影H恰好在AB上.(1)求证：直线CD与平面ABD和平面AHC所
8、成的两个角之和不可能超过90；(2)若BAC=90，二面角CADH为60，求BAD的正切值.参考答案难点磁场(1)证明：作NA于A，MB于B,连接AP、PB、BN、AM，再作ACl于C，BDl于D，连接NC、MD.NA,MB,MPB、NPA分别是MP与所成角及NP与所成角，MNB，NMA分别是MN与,所成角，MPB=NPA.在RtMPB与RtNPA中，PM=PN，MPB=NPA，MPBNPA，MB=NA.在RtMNB与RtNMA中，MB=NA，MN是公共边，MNBNMA，MNB=NMA，即(1)结论成立.(2)解：设MNB=,MN=a,则PB=PN=a,MB=NA=asin，NB=acos,M
9、B,BDl,MDl,MDB是二面角l的平面角，MDB=60，同理NCA=60,BD=AC=asin,CN=DM=asin,MB，MPPN，BPPNBPN=90,DPB=CNP,BPDPNC,整理得，16sin416sin2+3=0解得sin2=,sin=，当sin=时，CN=asin= aPN不合理，舍去.sin=,MN与所成角为30.歼灭难点训练一、1.解析：(特殊位置法）将P点取为A1，作OEAD于E，连结A1E，则A1E为OA1的射影，又AMA1E，AMOA1，即AM与OP成90角.答案：D2.解析：作AOCB的延长线，连OD，则OD即为AD在平面BCD上的射影，AO=OD=a,ADO=
10、45.答案：B二、3.解析：在OC上取一点C，使OC=1，过C分别作CAOC交OA于A，CBOC交OB于B，则AC=1，OA=，BC=，OB=2，RtAOB中，AB2=6，ABC中，由余弦定理，得cosACB=.答案：4.解析：设一个侧面面积为S1，底面面积为S，则这个侧面在底面上射影的面积为，由题设得，设侧面与底面所成二面角为,则cos=,=60.答案：60三、5.(1)解：因为PA平面AC，ABBC,PBBC,即PBC=90,由勾股定理得PB=.PC=.(2)解：如图，过点C作CEBD交AD的延长线于E，连结PE，则PC与BD所成的角为PCE或它的补角.CE=BD=，且PE=由余弦定理得c
11、osPCE=PC与BD所成角的余弦值为.(3）证明：设PB、PC中点分别为G、F，连结FG、AG、DF，则GFBCAD，且GF=BC=1=AD，从而四边形ADFG为平行四边形，又AD平面PAB，ADAG，即ADFG为矩形，DFFG.在PCD中，PD=，CD=，F为BC中点，DFPC从而DF平面PBC，故平面PDC平面PBC，即二面角BPCD为直二面角.6.解：(1)如图，在平面ABC内，过A作AHBC，垂足为H，则AH平面DBC，ADH即为直线AD与平面BCD所成的角.由题设知AHBAHD，则DHBH，AH=DH，ADH=45(2)BCDH，且DH为AD在平面BCD上的射影，BCAD，故AD与
12、BC所成的角为90.(3)过H作HRBD，垂足为R，连结AR，则由三垂线定理知，ARBD，故ARH为二面角ABDC的平面角的补角.设BC=a,则由题设知，AH=DH=,在HDB中，HR=a，tanARH=2故二面角ABDC大小为arctan2.7.(1)证明：取BC中点E，连结AE，AB=AC，AEBC平面ABC平面BCD，AE平面BCD，BCCD，由三垂线定理知ABCD.又ABAC，AB平面BCD，AB平面ABD.平面ABD平面ACD.(2)解：在面BCD内，过D作DFBC，过E作EFDF，交DF于F，由三垂线定理知AFDF，ADF为AD与BC所成的角.设AB=m，则BC=m，CE=DF=m
13、,CD=EF=m即AD与BC所成的角为arctan(3)解：AE面BCD，过E作EGBD于G，连结AG，由三垂线定理知AGBD，AGE为二面角ABDC的平面角EBG=30，BE=m,EG=m又AE=m,tanAGE=2,AGE=arctan2.即二面角ABDC的大小为arctan2.8.(1)证明：连结DH，CH平面ABD，CDH为CD与平面ABD所成的角且平面CHA平面ABD，过D作DEAB，垂足为E，则DE平面CHA.故DCE为CD与平面CHA所成的角sinDCE=sinDCHDCEDCH,DCE+CDEDCH+CDE=90(2)解：作HGAD，垂足为G，连结CG,则CGAD，故CGH是二面角CADH的平面角即CGH=60，计算得tanBAD=.11 / 11
