高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案（2020年九月）.pptx

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1、学 海 无 涯 高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案 第 2 章无限期模型与世代交叠模型 2.1考虑 N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数 = (, ), Y F K，AL ，或者采用紧凑形式 = ()。假设() , () 0。假设所 有厂商都能以工资 wA 雇用劳动，以成本 r 租赁资本，并且所有厂商的 A 值都相 同。 考虑厂商生产 Y 单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的 k 值唯一确定并独立于 Y，并由此证明所有厂商都选择相同的 k 值。 考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投 入是上述 N 个厂商的总和，证明其产出也等于述 N 个厂商成本

2、最小化的总产出 。 证明：（a）题目的要求是厂商选择资本 K 和有效劳动 AL 以最小化成本 + ，同时厂商受到生产函数 = ()的约束。这是一个典型的最优化问题。 min + s. t. = () 构造拉格朗日函数： (, , ) = + + () 求一阶导数：, = ()(1) = 0, = () ()()2) = 0,得到： = ()(1) = () = () ()()2) = () () () = () () 上式潜在地决定了最佳资本 k 的选择。很明显，k 的选择独立于 Y。 上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，,- 1 -,学 海 无 涯 这便是成本最

3、小化条件。 （b）因为每个厂商拥有同样的 k 和 A，则 N 个成本最小化厂商的总产量为： = () = () = () =1=1=1 为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的 A 并且选择相同数量的 k， k 的决定独立于 Y 的选择。因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生 产 = ()的产量。这恰好是 N 个厂商成本最小化的总产量。 2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期， 其效用函数由方程（2.43）给定。令和分别表示消费品在这两期中的价格， W 表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是： + = 已知和和 W，则此人效用最大化的和是多少？ 两期消费

4、之间的替代弹性为 ()()()()，或 ()()。证 明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。 答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。,1,1, = 1+ 2,1,11+ 1,（1）,. . 11 + 22 = ,（2）,求解约束条件：,（3）,2 = 2 112 将方程（3）代入（1）中，可得：, =,1,1,1 21121,11+1,+（4）,这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两 边对1求一阶条件可得：,11, = +,1,1 + ,( ) = 0 212,- 2 -,解得：,（5）,1 = (1 + )1(21)12 将方程（5）代入（3）

5、，则有：,学 海 无 涯 2 = 2 (1 + )1(21)1212 解得：,2,= 2,1+(1+)1(21)(1),（6）,将方程（6）代入（5）中，则有：,1,(1+)1(21)1(2) =,1+(1+)1(21)(1),（7）,（8）,（9）,（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为： 12 = (1 + )1(21)1 对方程（8）两边取对数可得： (12) = (1)(1 + ) + (1)(21) 则消费的跨期替代弹性为：,2112,21,(12) 21(12)1,= ( ) ( ),因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。 2.3（a）假设事先知道在某一时刻，政府

6、会没收每个家庭当时所拥有财 富的一半。那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会的话， 请说明时刻前后消费之间的关系。） （b）假设事先知道，在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有的部 分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在 时刻发生突然变化？为什么？(如果会，请说明时刻前后消费之间的关系。) 答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期 内，从(0 )到 (0 + ) 。 考虑家庭在(0 ) 时期减少每单位有效劳动的消费为 。然后他在 (0 + )投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这 一财富变化对一生的效用没有影响。

7、这一变化有一效用成本 (前) ，在(0 + )会有一收益() ， 财富的回报率为()，不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为 (12) (后) () 。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满,- 3 -,学 海 无 涯,足下列条件：,前,2, ( ) = 1 (,后,) () ,在 0时，有下式：,2,前后, ( ) = 1 ( ),因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收 前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。 （b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先 会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家

8、庭不会使 自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。 2.4 设方程（2.1）中的瞬时效用函数()为 ()。考虑家庭在（2.6）的 约束下最大化方程（2.1）的问题。请把每一时刻的 C 表示为初始财富加上劳动 收入现值、()以及效用函数各参数的函数。 答：,=0,() = (),2.1,=0=0,()(0)() () () + () (),2.6,本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。,=0,() = (),（1）,=0=0,()(0)() . . () () =+ () ()()（2）,=0,令 = (0) + () ()() () ,建立拉格朗日方程：, = () =0

9、,(), + ,=0,() (),(),求一阶条件：,= ()1 () () () = 0 ,() 抵消()项得： ,- 4 -,学 海 无 涯,()1 = (),（3）,可以推出：,（4）,() = 1() 将其代入预算约束方程，得：,=0,() () 1() = ,（5）,将() = (0)代入上式，得：,=0,1 (0) () = ,（6）,只要 0，则积分项收敛，为1( )，则：,1 =,(0),( ),（7）,将方程（7）代入（4）：,() = () ,(0),( ),（8）,因此，初始消费为：,(0) =,(0),( ),（9）,个人的初始财富为,(0),，方程（9）说明消费是初始

10、财富的一个不变的比例。,( )为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡 增长路径上是独立于利率的。对于折现率而言，越大，家庭越厌恶风险，越 会选择多消费。 2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）（2.2）式给定。假设实际利率不变， 令 W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值(2.6)的右端。已知 r、W 和 效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。,=0,() = (),2.1,1 () = (),1,2.2,答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：,=0,() = (),（1）,=0,() . . () = ,- 5 -,（2）,学 海 无 涯

11、 W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数。 建立拉格朗日方程如下：,=0=0, = + (),()1 ()(),1 ,求一阶条件，可得： ,= () () () = 0 ,() 抵消()/，得：,() = ,（3）,两边对时间 t 求导，可得： ()1( ) () + = 0 得到下面的方程：,(), ( ) () () + = 0,（4）,将方程（3）代入（4），可得：,( ),(), + = 0,(),抵消然后求消费的增长率( )，可得：,( ) = ,(),（5）,由于利率 r 是常数，所以消费的增长率为常数。如果 ，则市场利率超 过贴现率，则消费会增加；反之

12、，如果 ，则决定了消费增长的幅度。值越低，也就是替代弹性越 高，1越高，即消费增长的越快。 重写方程（5），得：,（6）,() = 对方程（6）积分，积分区间是从时间=0 到时间=t，可得：,=0,- 6 -,() (0) = |=,上式可以简化为：, ()(0) = ( )/,（7）,学 海 无 涯 对方程（7）两边取指数，可得：()(0) = ()/，整理得：,（8）,() = (0)()/ 下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：,=0,(), (0)()/ = ,将() = (0)代入上式，可得：,=0,(0)(0) +()/ = ,（9）,只要 + ( )/ 0，从而保证积分

13、收敛，则求解方程（9）可得：,=0, +()/ =,+(),（10）,将方程（10）代入（9）中，求解(0)：,(0) =,(0),() + ( ),（11）,将方程（11）代入（8），求解()：,() = ()/,(0),() + ( ),- 7 -,（12）,上式便是 C 的效用最大化路径。 2.6生产力增长减速与储蓄。设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞 卡斯库普曼期模型，假设 g 永久性下降。 （a） = 曲线会如何变化（如果有影响）？ （b） = 曲线会如何变化（如果有影响）？ 当 g 下降时，c 如何变化？ 用一个式子表示 g 的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。能 否判断此表

14、达式的正负？ （e）设生产函数是柯布道格拉斯函数() = ，请用、n、g、和 重新表示（d）中的结果。（提示：利用等式() = + 。） 答：（a）关于资本的欧拉方程为： () = () () ( + )()（1） 该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，,学 海 无 涯 是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决 定了该模型的最终解。,图 2-1拉姆塞模型 在平衡增长路径上， = 0，由此可以推出： = () ( + )。在该方 程中，当 g 永久性地下降时，会导致消费 c 上升以保持方程的均衡。因而在图形 上 = 0曲线向上移动。同时，

15、保持 k 不变，g 永久性地下降会导致持平投资下 降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资( + )下降的幅度更大， 因而在更高的 k 水平上， = 0向上移动得更大。图 2-1 是该模型的图示。 （b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：, () = () (),（2）,该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征， 是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决 定了该模型的最终解。 在平衡增长路径上，要求 = 0，即() = + ，在 g 永久性地下降时， 为保持 = 0，()必须下降。由于() 0，因而()下降必然导致 k 上升。 因此，

16、= 0必须上升，在图形上表现为 = 0向右移动，如图 2-1 所示。 （c）在 g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资 决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在平衡增长路径处。 与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着 g 永久性地下降而迅速变化。为 使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费 c 必 将发生变化。,- 8 -,学 海 无 涯 不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因 而无法确定每单位有效劳动的消费 c 是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如 果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费 c 甚至可能保持不变。因此，c 和 k 逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于 原先的平衡增长路径值。 （d）在平衡增长路径