《2020_2021学年新教材高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册06》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年新教材高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册06（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.2.1等差数列的概念,第1课时等差数列的概念及通项公式,激趣诱思,知识点拨,姚明是大家都熟悉的篮球运动员,下面是姚明刚进NBA一周训练时投球的个数: 第一天6 000,第二天6 500,第三天7 000,第四天7 500,第五天8 000,第六天8 500,第七天9 000. 得到数列:6 000,6 500,7 000,7 500,8 000,8 500,9 000. 你发现这个数列有什么特点了吗?,激趣诱思,知识点拨,一、等差数列 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 名师
2、点析等差数列概念的理解 (1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项. (2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征). (3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒. (4)公差可以是正数、负数、零. (5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d0时,是递增数列;当d0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.,激趣诱思,知识点拨,微练习 判断下列各组数列是不是等差数列.如果是,写出首项a1和公差d. 1,3,5,7,9,; 9,6,3,0,-3,; 1,3,4,5,6,; 7,7,7,7,7,;,解:是,a1=1,d
3、=2;是,a1=9,d=-3;不是;是,a1=7,d=0;不是.,激趣诱思,知识点拨,二、等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.这三个数满足关系式2A=a+b.,微练习 若a,b是方程x2-2x-3=0的两根,则a,b的等差中项为(),答案:C,激趣诱思,知识点拨,三、等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n-1)d. 名师点析(1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1,d和n的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)
4、d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.,激趣诱思,知识点拨,微练习 (1)等差数列an:5,0,-5,-10,的通项公式是. (2)若等差数列an的通项公式是an=4n-1,则其公差d=.,解析:(1)易知a1=5,d=-5,所以an=5+(n-1)(-5)=10-5n. (2)公差d=an-an-1=(4n-1)-4(n-1)-1=4. 答案:(1)an=10-5n(2)4,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,等差数列的通项公式及其应用 例1(1)已知数列an是首项为2,公差为4的等差数列,若an=2 022,则n=() A.504B.505 C.506D
5、.507 (2)在等差数列40,37,34,中,第一个负数项是() A.第13项B.第14项 C.第15项D.第16项 (3)在等差数列an中,若a3=12,a6=27,则其通项公式为.,分析:(1)与(2)均可先求通项公式,再利用通项公式解决相应问题;(3)可根据已知条件建立关于a1和d的方程组,求得a1和d即可得到通项公式.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,解析:(1)根据题意,数列an是首项为2,公差为4的等差数列,则an=a1+(n-1)d=4n-2,若an=2 022,则有4n-2=2 022,解得n=506. (2)首项a1=40,公差d=-3, 所以an=40-3(n
6、-1)=43-3n.,答案:(1)C(2)C(3)an=5n-3,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟等差数列通项公式的求法与应用技巧 1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差. 2.等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数,即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三个数,那么就可以由通项公式求出第四个数,这一求未知量的过程,我们通常称之为“知三求一”. 3.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),可把an看作自变量为n的一次函数.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练1在等差数列an中,
7、求解下列各题:,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,等差中项及其应用 例2(1)若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 020项; (2)在-1和7之间插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求这三个数.,分析:(1)先根据条件求出通项公式,再代入求解;(2)先根据等差中项求出b,再依次利用等差中项求出a,c.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟等差中项的应用策略 1.求两个数x,y的等差中项,根据等差中项的定义得 2.证明三项成等差数列,只需证明中间一项为两边
8、两项的等差中项即可,即若a,b,c成等差数列,则a+c=2b;反之,若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,等差数列的判断与证明 例3判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列an中,an=3n+2; (2)在数列an中,an=n2+n.,分析:根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数. 解:(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(nN*),故该数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.,探究一,探究二,探究三
9、,素养形成,当堂检测,反思感悟用定义法判定(或证明)数列an是等差数列的基本步骤为: (1)作差an+1-an. (2)对差式进行变形. (3)当an+1-an是一个与n无关的常数时,数列an是等差数列;当an+1-an不是常数,而是与n有关的代数式时,数列an不是等差数列.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,变式训练3已知数列an中,a1=a2=1,an=an-1+2(n3). (1)判断数列an是否为等差数列,并说明理由; (2)求an的通项公式.,解:(1)当n3时,an=an-1+2,即an-an-1=2, 而a2-a1=0不满足an-an-1=2(n3), an不是等差数列
10、. (2)当n2时,an是等差数列,公差为2. 当n2时,an=1+2(n-2)=2n-3, 又a1=1不适合上式,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,(1)求证:数列bn是等差数列; (2)求数列an的通项公式.,分析:先用an表示bn+1,bn,再验证bn+1-bn为常数,最后可求出数列an的通项公式.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,反思感悟判断等差数列的方法 (1)定义法:an+1-an=d(nN*)或an-an-1=d(n2,且nN*)数列an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an为等差
11、数列. (3)通项公式法:数列an的通项公式an=pn+q(p,q为常数)数列an为等差数列. 注意:(1)通项公式法不能作为证明方法.(2)若an+1-an为常数,则该常数为等差数列an的公差;若an+1-an=an-an-1(n2,且nN*)成立,则无法确定等差数列an的公差.(3)若数列的前有限项成等差数列,则该数列未必是等差数列;而要否定一个数列是等差数列,只要说明其中连续三项不成等差数列即可. (4)已知数列的递推公式求数列的通项时,要通过对递推公式进行合理变形,构造出等差数列求通项.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,对称法设项
12、 典例成等差数列的四个数之和为26,第2个数和第3个数之积为40,求这四个数.,方法点睛题中是已知四个数成等差数列,则采用“对称法”设项,这样可以减少计算量,因此要记住奇数个数或偶数个数成等差数列的“对称法设项”的方法,以达到快速求解的目的.,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,1.已知数列an的通项公式an=2n+5,则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 解析:an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2, 数列an是公差为2的等差数列. 答案:A,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,答案:
13、D,3.在数列an中,a1=2,an+1=an+2,则a20=() A.38B.40C.-36D.-38 解析:an+1=an+2,an+1-an=2,数列an是公差为2的等差数列.a1=2,a20=2+(20-1)2=40. 答案:B,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,4.若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5,则m和n的等差中项为. 解析:由m和2n的等差中项为4,得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5,得2m+n=10. 两式相加,得3m+3n=18,即m+n=6.,答案:3,探究一,探究二,探究三,素养形成,当堂检测,5.在等差数列an中,a1=23,公差d为整数,若a60,a70. (1)求公差d的值; (2)求通项an.,又公差d为整数,所以d=-4. (2)因为等差数列an的首项为23,公差为-4, 所以通项an=23-4(n-1)=-4n+27.,
