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1、学 海 无 涯 利息理论复习提纲 第一章利息的基本概念 第一节 利息度量 一. 实际利率 某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资的本金金额 之比，通常用字母i 来表示。 利息金额In=A(n)-A(n-1) 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； 对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n-1)； 例题：1.1.1 二单利和复利 考虑投资一单位本金， （1）如果其在t 时刻的积累函数为 a(t)=1+i*t，则称这样产生的利息为单利；, a(n) a(n 1) i a(n 1)1 i(n 1),实际利率 i,n,（2）如果其在t 时刻的积累函数为a(t
2、)=(1+i)t，则称这样产生的利息为复利。 实际利率 in i 例题：1.1.3 三. 实际贴现率 一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通 常用字母d 来表示实际贴现率。 等价的利率i、贴现率d 和贴现因子（折现因子）v 之间关系如下：,1,i , d (1 i) i , d ,d 1 d,i 1 i,v 1 d , d iv , v , i d id,1 i,例题：1.1.6 四名义利率与名义贴现率 用i(m) 表示每一度量期支付m 次利息的名义利率，这里的m 可以不是整数也可以小于1。 所谓名义利率，是指每1/m 个度量期支付利息一次，而在每1/m
3、 个度量期的实际利率为i(m) / m 。 与i(m) 等价的实际利率i 之间的关系：1 i (1 i(m) / m)m 。 名义贴现率d(m) ，1 d (1 d (m) / m)m 。,1,名义利率与名义贴现率之间的关系：,mmmm,学 海 无 涯 i(m) d (m) i(m) d (m),。,例题：1.1.9 五利息强度,t,A(t)a(t),定义利息强度（利息力）为 A(t) a(t) ，,0,t,s, ds,a(t) e。,i(m) m,d ( p),mp,11 p,一个常用的关系式如下：1 1 i v (1 d ) 1 e 。,例题：1.1.12 要求：i, d,i (m) ,
4、d ( p) , ，之间的计算。 习题：1、2、3、4、15、16、19、24。 第二节 利息问题求解 一. 价值等式 例题：1.2.1 二. 投资期的确定 计算利息的基本公式是：利息金额利率年数，其中年数投资期天数/基础天数。 三. 未知时间问题 72 律：利率为i 时，使得积累值是本金的2 倍所需的时间大致是72/i。 例题：1.2.4 四. 未知利率问题 1线性插值法 2迭代法例题：1.2.7 重点：价值等式；利用线性插值法求利率。 习题：37、40、46。 第二章年金 第一节年金的标准型 一. 期末付年金,2,n,i,n1n,1 vn,现值为 a v v ,v v ,2,n,i,(1
5、i)n 1,终值为 s 1 (1 i) (1 i) , (1 i)n2 (1 i)n1 ,a 与s 的关系： nn,nn,2,（1） (1 i)n a s,学 海 无 涯,（2）,nn,as,1 1,i,例题：2.1.2、2.13 二. 期初付年金,.,2,d,n2n1,1 vn,现值为 an 1 v v, v v,.,2,d,(1 i)n 1,终值为 sn (1 i) (1 i), (1 i)n1 (1 i)n ,. an 与sn 的关系：,.,.,nn,（1） (1 i)n a, s,（2）,.,n,n,a,s,1 1,d,期初付与期末付年金现值与终值之间的关系：,n,n,.,n,n,a
6、(1 i)a ，s (1 i)s,n,.,n,n1n1,a a1，s s1,例题：2.1.5 三. 永续年金 （1） 期末付永续年金的现值,n,i,n,n1,2n1n a v v v v ,lim1 vn1, i, v ,（2） 期初付永续年金,.,n,a,d,n, 1 v v2 vn1 vn ,lim1 vn1, d, v ,n1 例题：2.1.6,3,四. 年金的未知时间问题 还款方式：,学 海 无 涯 标准式付款：按照规则的付款期进行支付 上浮式还款：最后一期规则付款的额度上外加一个根据等价原则计算出来的零头 扣减式付款：最后一期规则付款的下一期支付一个根据等价原则计算出来的零头 这三种
7、方式付款的最后零头一般都不一致。 五. 年金的未知利率问题 有关年金时间的计算方法： 对于n 较小的情形，求解一元n 次方程，其有效根即为利率 对于 n 较大的情形，可用已知的年金值以及其倒数进行展开，再利用线性插值法求 未知利率的有效数值解 对于n 较大的情形，利用迭代法获得任意精度的数值解，此方法最为常用 只要求（1），迭代法不要求。 例题：2.1.10 习题：4、5、7、8、22。 第二节 年金的一般型 一. 付款频率与计息频率不同的年金 付款频率低于计息频率 （1） 期末付年金 年金现值为：,k,a,s,nk k,nk vk v2k vk, v vk v (1 v ) kkn,1 vk
8、1 vk 1 vn 1 vn i (1 i)k 1i(1 i)k 1, n,k,i,s,年金积累值为： (1 i)nk (1 i)n2k (1 i)k 1, 1 (1 i)n 1 (1 i)n ,i 1 (1 i)k,1 (1 i)k n s,例题：2.2.3、2.2.4 （2） 期初付年金,4,学 海 无 涯,年金现值为：,.,k,a,. ak,( n 1)k,1 vk v2k v k nk, 1 vk 1 vn 1 vk1 vk 1 vn i i1 vk, an an,.,i,a,. ak,年金积累值为： (1 i)n (1 i)nk (1 i)k (1 i)k (1 (1 i)n ) (
9、1 (1 i)n 1 (1 i)kvk 1, (1 i)n 1 i 1 vk, sn k, sn,（3）永续年金 其现值为,k,vk,is,vk v2k vnk 1,1 vk(1 i)k 1 1,2 付款频率低于计息频率 设m 为每个计息期内的付款次数，n 为计息期数，i 为每个计息期的利率，m、n 为正整数， 总付款次数为mn 次。 （1） 期末付年金 假设每个付款期期末付款额为1/m，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下的年金现值,n,5,记为a(m) ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。,学 海 无 涯,n,1/ m,m,1/ mn1/ m,a(m)
10、 1 (v1/ m v2 / m , v(mn1)/ m vn ),1 v v,m , ,1 v1/ m 1 1 vn,m (1 i),1,n,i(m), 1 vn i(m) n 时刻的年金积累值为 s(m) a(m) (1 i)n nn, 1 vn ,(1 i), (1 i)n 1 i(m),显然,(m),n,i(m),i(m)i(m) n,1 vn1 vnii,a,a,n,n,i,i i i(m),i(m),s(m) (1 i)n a(m) nn,a (1 i)n s,n,例题：2.2.7 （2） 期初付年金 假设每个付款期期初付款额为1/m，每个计息期付款为m*(1/m)=1，这种情形下
11、的年金现值 . 记为a ( m ) ，类似这种情形的期初付/期末付的年金现值/积累值的年金符号类似。,.,n,1/ m,1 m,(mn1)/ m,a( m ) ,(1 v1/ m v2 / m v), 1 1 vn,m 1 v, 1 vn d1/ m n 时刻的年金积累值为,.,6,( m )( m ),nn,n,n,d (m),1 vn,. s a(1 i) , (1 i), (1 i)n 1 d (m),显然,学 海 无 涯,.,.,n,a,d (m),d,d (m)d ( m)n,1 vn1 vndd,a ( m ) ,.,.,( m ) n,( m) n,. n,n,dd,d (m)n
12、d (m) n,. s (1 i) a, (1 i) ,a s,例题：2.2.8,永续年金的现值分别为a(m) ,.,1,( m ),1 i(m)nd (m),，a,二. 连续年金 连续付款（付款频率无限大）的年金叫做永续年金。连续付款 n 个计息期，每个计息期的 付款额之和为1 的年金现值为,0,n,n,t,vt ln v,t 0,1 vn ,a v dt ,n,其中vt 为时刻t 到时刻0 的折现因子。 连续年金的积累值为,0,0,n,n,s,nn,nt,s0,(1 i)s n(1 i)n 1,s a (1 i)dt (1 i) ds ,ln(1 i),三. 基本变化年金 1.各年付款额成
13、等差数列关系,.,.,n,i,i,i,n i,i,n1,a nvn1 vn a nvn,1 vn,(Ia) , nn,1 a (n 1)vn,a (n 1)vn, an nv n i,.,.,nn,i,a nvn,(Is) (Ia) (1 i)n n(1 i)n, s n n i 同理可得,ii,i,a nvnn nvn a nvnn a,(Da) na nn, nnn,nn,7,i,n(1 i)n s,(Ds) (Da) (1 i)n n,学 海 无 涯 要求计算它们的值。 2.各年付款额成等比数列关系 假设期末付款，第一次付款额为1，并且每次付款额都是前一次付款额的1+k 倍，共支付n 次
14、，每个付款期的利率为i，则该年金的现值为,n,V (0) v v2 (1 k ) v3 (1 k )2 v1 v(1 k ) v2 (1 k )2 , vn (1 k )n1 vn1 (1 k )n1 , v,(i k ),1v(1 k)n 1 v(1 k),1 k,1 (),1 i,i k 四. 更一般变化年金 1.付款频率小于计息频率的情形,a n,a,mvn,V (0) k is,k 2.付款频率大于计息频率的情形 （1） 每个计息期内的m 次付款额保持不变,(m),n,n,ivi(m)di(m)ivi(m),i(m),nivn1,1 vn nivn11 vn,(Ia),a nvn,n,
15、i(m),（2） 每个计息期内的m 次付款额按等差数列递增 a(m) nvn,(I (m) a)(m) n,五. 连续变化年金,8,0,n,t,V (0) f (t)v dt,注：四、五、部分不要求。 习题：28、31、36。 第三章收益率 第一节收益率 一. 收益率的定义,n,t,t,假设V(0)=0，即V (0) v R 0 ，从中求出满足该式的i，其值就是该项投资的收益,t 0 率，也就是使投资支出现金和回收现值相等的利息率，在金融保险实务中，也称为内部收益率。 二. 再投资收益率,学 海 无 涯 例题：3.1.8 第二节收益率的应用 一. 基金收益率（投资额加权收益率）,0t 1,i ,I A Ct (1 t),例题：3.2.2 二. 时间加权收益率 定义这个时期内的时间加权投资收益率为,mm,k,Bk,k 1k 1,k 1k 1,i (1 i ) 1 ,1,C, B,例题：3.2.4 习题：4、6、7、19、23。 第四章债务偿还
