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1、. . . 高一年级数学研究性学习研究学习主题：平面向量在数学问题中的应用适用年级：高一全级教 师：郝 斌. . 目 录课题研究背景1研究目标1研究方法2研究成果。（小论文）21 平面向量的基础知识21.1向量的几何表示21.2平面向量的坐标表示31.3向量的运算31.3.1加法运算31.3.2减法运算41.3.3数乘运算41.3.4坐标运算41.3.5向量的数量积51.4平面向量的基本定理52 平面向量应用举例62.1平面向量在数学证明中的应用62.1.1平面向量在三角公式中的应用62.1.2向量法在平行问题中的应用72.2 应用向量法解决一些解析几何问题102.2.1求体积102.2.2求
2、点的坐标102.2.3求直线的方程11平面向量在数学问题中的应用指导老师：郝斌课题组长：王强小组成员：高一全体同学班级：高一（1）、（3）、（4）、（7）班课题研究背景在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。平
3、面向量是高中数学的新增容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。研究目标通过研究性学习来了解向量在中学数学中的作用和地位，知道向量这种新的方法在数学学习中的作用，以及学习这种方法来更方便简洁的解决数学问题。从而提高学习数学的兴趣，更容易的掌握学习技巧和方法。研究方法1、 查阅资料。通过查阅资料来了解平面
4、向量的用途及向量方法，学习这种数学思想。2、 自主探讨。分组讨论来解决一些简单的数学问题，培养这种思想方法。3、 老师引导。通过老师的引导通过向量的方法解决一些较难的数学问题。 研究成果。（小论文）1 平面向量的基础知识1.1向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，也就是粗体字母，书写体是上面加个）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。有向线段包含3个因素：起点、方向、长度。相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a/b，零
5、向量与任意向量平行，即0/a，在向量中共线向量就是平行向量，（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了，而向量共线就是指两条是平行向量） 长度等于0的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 1.2平面向量的坐标表示在直角坐标系，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把（x，y）叫做向量a的（直角）坐标，记作a=（x，y），其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。在平面直角坐标系，每一
6、个平面向量都可以用一对实数唯一表示。1.3向量的运算1.3.1加法运算向量加法的定义已知向量a、b，在平面上任意取一点A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=ACABBCAC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，连接首尾，指向终点）已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。对于零向量和任意向量a，有：0aa0a。|ab|a|b|。向量的加法满足所有的加法运算定律。1.3.2减法运算AB-AC
7、=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则。（共起点，连终点，方向指向被减向量） 与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，(a)a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a(a)(a)a0（2）aba(b)。1.3.3数乘运算实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，|a|a|，当 0时，a的方向和a的方向相同，当 0时，a的方向和a的方向相反，当 = 0时，a = 0。设、是实数，那么：（1）()a = (a)（2）( + )a = a + a（3）(a b) = a b（4）()a =(a) = (a)。向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。1.3.4坐
8、标运算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）=(x1+x2)i+(y1+y2)j即 a+b=（x1+x2，y1+y2）。同理可得 a-b=（x1-x2，y1-y2）。这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。由此可以得到：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。根据上面的结论又可得若a=(x,y),则a=(x,y)这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 1.3.5向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a与b的数量积或积，记作ab，是a与b的夹
9、角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2向量的数量积的性质(1)aa=a20(2)ab=ba(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a(b+c)=ab+ac(5)ab=0ab（6）a=kba/b（7）e1e2=|e1|e2|cos=cos 1.4平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的
10、任一向量a，有且只有一对实数、，使a= *e1 *e2,(+=1）。2 平面向量应用举例2.1平面向量在数学证明中的应用2.1.1平面向量在三角公式中的应用 （1)正弦定理的向量法证明在任意ABC中，a,b,c分别为A ，B，C对边，则 证明：如图1所示，作CDAB于D ， 因为向量在向量上的射影都是，即=bsinA，=bsinA，所以有，利有同样的方法，分别作BC，CA的垂线，可以得到， 。即可以等到。 （2）余弦定理的向量法证明在任意ABC中，a,b,c分别为A ，B，C对边，则a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。在证明这个
11、定理这前先给出一个记号：向量在向量上的射影记为：。证明：在ABC中，由向量的射影定理等到： ；所以有:地 (1)同理要证得： (2) (3)再由：(1)a-(2)b-(3)c得到：a2=b2+c2-2bccosA同理可以得到；b2=a2+c2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC。上述向量法证明正（余）弦定理，不必区分锐角、钝角、直角三角形，从而大大简化了证明过程， 2.1.2向量法在平行问题中的应用例1：两个向量，共线的充要条件是。证明： (必要性)当，共线时(包括或为零向量的情形)，则，=00或1800，由公式|=|sin，得到：|=0,从而。 (充分性)当时，那么由|=|si
12、n，知：=或=或，因为零向量可以看成与任何向量共线，所以总有。例2：向量，分别是直线l1,l2的方向向量，判断直线l1,l2的位置关系。不妨设：=(1，-1，3)；=(4，-4，12)解：因为=(4，-4，12)=4(1，一1，3)=4，所以，即l1l2。例3：用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半。证明：如图，在梯形ABCD中,连接BD并取BDAB的中点为O，连结EO、FO,= ， = ，OEF，EOAD、OFBC、BCAD EOOF，即O、E、F共线，又 ，所以有DC 2.2向量法在垂直问题中的应用1)：向量 =( ，)； =( ，)相互垂直的充要条件是。证明
13、：(必要性)当向量，有一个为零向量时，结论显然成立。下面证明，都不为零向量时，结论成立。向量，相互垂直，则=900，根据= ，得到 。(充分性)因为。则，得900，即可以得到相互垂直。A2)平行四边形成为菱形的充要条件是对角线互相垂直。BODC证明：因为，、即ACDB。 ACDB即、则为菱形。3) 勾股定理的向量法证明如图，在Rt，证明：。C证明：在Rt中，对上述等式两边平方得：。由解析几何（1）中两个向量数量积的定义得到：BA因为 ，所以，即，即结论成立。 向量法是借助向量的几何意义，把问题转化为向量的计算，通过向量计算来达到求解的目的，用向量法去解决几何问题，一方面能体现向量的应用性，另一方面有助于学习者在应用中加深对向量知识的理解与掌握。2.2 应用向量法解决一些解析几何问题 2.2.1求体积 已知四面体ABCD的顶点坐
