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1、1,数理统计基础知识,2,例：试验E电话台单位时间内收到的用户呼唤次数。记呼唤次数为 X，则 X 是一个变量，取值为0，1，2，,( X =i)代表相应的基本事件（样本点）。,变量X的取值是变化的取决于试验的基本结果（样本点）事先不能确定，有随机性；但取任一值都有确定的概率。我们把具有上述性质的 X 称为随机变量。,随机变量的引入，使随机事件的表达在形式上非常简洁,随机变量,3,随机变量的定义,定义2.1 设试验E的样本空间为，对于 的任一样本点 按照某种对应法则，都有唯一确定的实数 X()与之对应，即 X=X()是定义在 上的一个实值函数，且对于任意实数x, x| X() x是一随机事件，有
2、确定的概率，则称 X=X()为随机变量。,注：（1）随机变量是试验结果（即样本点）和实数之间的一个 对应关系,与高等数学中的函数概念本质上是一回事。,随机变量X=X()是函数，其自变量是样本点 ，定义域是样本 空间, 值域是实数集或其子集。,4,（4）引入随机变量后，随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量表达出来。,（3）随机变量的取值有一定的概率。（随机变量与普通函 数的本质差异）由此可知：对随机变量的研究，不仅要搞 清楚随机变量取值的范围，还要搞清楚取相应值的概率。,例如：单位时间内某传呼台收到的呼叫次数用X表示，则“收到不少于一次呼叫”“X1”， “没收到呼叫” “X = 0”。,（2
3、） 随机变量通常用大写字母,或希腊字母 , 等表示而表示随机变量所取的值时，一般采用小写字母 x , y , z 等 。,5, 随机变量的分类,按照随机变量的取值情况可把其分为两类： 离散型随机变量：随机变量的全部取值只有有限个或可列个。 非离散型随机变量：其中最重要的是连续型随机变量,随机变量的取值连续地充满某个（或几个）区间或整个数轴。,离散型,连续型,6,为了描述随机变量，只知道它可能取的值是不够的， 更重要的是要知道它取各个值的概率（即概率分布情况）。,定义：若随机变量只能取有限个数值 x 1 , x 2 , , x n , 或可列 无穷多个数值 x 1 , x 2 , , x n ,
4、 ，则称为离散型随机变量。,离散型随机变量,7,若所有可能的取值为 x 1 , x 2 , , 对应的概率为 p 1 , p 2 , 。 即： P ( X = x i ) = p i , i = 1, 2, (1) 则称式 (1) 为随机变量的概率函数或概率分布或分布律或 分布列（简称为分布）。,定义：,分布列常以下列表格（概率分布表）的形式表示：,8,离散型随机变量的分布列的性质,性质：由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列pi 都具有下述两个性质： (1)、 pi0， i = 1,2, ； (2)、,反过来，任一具有上述两个性质的数列pi，都有 资格作为某一个随机变量的分布列。,分布
5、列不仅明确地给出了（= x i）的概率，而且对于任意的实数 a b ，事件a X b发生的概率均可由分布列算出，因为：,用于验证分布列的正确与否。,9,于是，由概率的可列可加性有：,由此可知， 取各种值的概率都可以由它的分布列通过 计算而得到。,此事实表明：分布列全面地描述了离散型随机变量的统计规律。,10,例：盒中有个球，其中有个白球，个黑球，从中任取 个球，则取到的白球数是一个随机变量，它可能取的值是， ，。那么有：,这里我们不仅知道随机变量的取值，而且还知道取每个 值的概率。这样，我们就掌握了这个随机变量取值的概率 规律。,此结果亦可用下表来描述：,P(X1)=? P(0X3)=? P(
6、-1X2)=?,11,定义2. 若随机变量X 所有可能取值是某一区间上的所有实数，且存在非负可积的函数 f ( x )， 使得对任意实数， 有 ：,则称X为连续型随机变量，称 f (x)为X的概率分布密度函数， 简称为概率密度或密度函数或密度。记作 X f ( x )。,12,由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质：,介于曲线 y = f (x) 与 x轴之间的面积等于。,具有上述两条性质的函数必 定是某个连续型随机变量的密度函数。,13,注 意,连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！,连续型随机变量的一个重要特点：取个别值的概率为零,
7、证明：,所以有,14,连续型随机变量取值于某一区间的概率时,区间是否包含端点,是不必考虑的.,这是连续型随机变量与离散型随机变量截然不同的一个 重要特点。它说明，用概率分布描述连续型随机变量毫无意义。,15,说 明,由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题,16,定义 2.2 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数,称为 X 的分布函数,对于任意的实数 x1, x2 (x1 x2) ，有：,返回主目录,为了更好地研究随机变量的统计规律，引进随机变量的分布函数的概念。,随机变量的分布函数：,17,分布函数是刻
8、划随机变量分布的一个重要工具。F(x) 表示随机事件 X x 发生的概率，它在点 x 处的函数值F(x)正是随机变量 X 的取值落入区间（-，x的概率。,值得注意的是，在上述定义中没有限定 X 是离散型还是 连续型的。也就是说，不论离散型还是连续型随机变量都有 各自的分布函数。,18, 分布函数的性质,2) F(x)是不减函数，即对x1 x2，有F(x1)F(x2)； 这是因为事件 X x1包含于 X x2,3),4) F(x)是右连续的，且至多有可列个间断点。即：,1)定义域： x ，值域：0F(x)1;,19,所以 P(x1 X x2) = P( X x2) P( X x1) = F(x2
9、) F(x1) 其中x1，x2为任意实数，且 x1 x2 。,5） P(X x)= F( x )，P(X x)= 1-F( x ) P(x1 X x2)= F( x2 )- F( x1 ),因为 (x1 X x2)=(X x2) (X x1),20,设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 = ， 设 X=X( ) 和 Y=Y( ) 是定义在 上的随机变量。 由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机 向量，或二维随机变量。,X( ),Y( ),定义,返回主目录,21,注 意 事 项,返回主目录,22,二维随机变量的例子,返回主目录,23,条件概率,在研究事件的概率时，有时会考虑一定的附
10、加条件,如在一 个事件已经发生的条件下,考虑另外一个事件发生的可能性.,24,例1 一盒中有3个白球7个黑球，求 （1）第一次取得黑球的概率 （2）在第一次取得黑球后不放回的条件下，第二次仍取得黑球的概率,（2）在第一次取得黑球后不放回的条件下，事件A发生时的新样本空间为3个白球6个黑球，共9个样本点，事件A中含6个样本点。,则：在第一次取得黑球后不放回的条件下，第二次仍取得黑球的概率 为 6/9 = 2/3,解 设B第一次取得黑球 A第二次取得黑球,（1）事件B：样本空间中含10个样本点 B中含7个样本点,所以 P（B）=7/10,注意 ：2/3不是P（A），而是条件概率P（AB）,25,条
11、件概率的定义,定义1.3 设P(B)0，在事件B已经发生的条件下,事件A发生 的概率,称为事件A对B的条件概率, 记作P(A|B),注:,(2) P(A)称为无条件概率,(3)性质：设P(B)0,(1) P(AB)的直观含义,P(|B)=1,若Ak (k=1，2，) 两两互不相容，则 (Ai |B) = (Ai |B) i=1 i=1,对于任一事件A，都有 0P(A|B)1,26,样本空间,A,B,B 新样本 空间,条件概率的实质,条件概率P(A|B)的实质是样本空间起了变化。,缩小为只取所包含的 样本点。有利事件为AB。,AB,相关性质：对于固定的事件B，设P(B) 0,A为任意事件，则：
12、P(A|B)+P(|B)=1另外，对概率的各性质，变为条件概率（|B)后依然成立,27,3、条件概率的求法,注意:应用此公式时P(B) P(AB)都是在原来的样本空间中考虑,28,用P(AB)=P(A)P(B)来刻划独立性，比用P(A|B)=P(A)更方便，因它不受P(B)是否为0的制约，而且，式中事件A与B的地位对称，反映了独立的相互性。,事件的独立性,事件A对于事件B的条件概率P(A|B)和事件A的无条件概率P(A)可能相等或不相等。,若 P(A|B)= P(A) ( P(B) 0 ),定义1.4,此时由乘法公式知： P(A)=P(A|B) 等价于 P(AB)=P(A)P(B),称对于独立
13、,P(AB)=P(A)P(B),定义1.5：（事件的独立性）,则称事件与相互独立。,如果事件A，B，满足：,29,随 机 变 量 的 数 字 特 征,30,某班共有学生10人，期中测验成绩情况如下,引例：,随机变量的数学期望,则该班的平均成绩为,若令 fi 表示频率，则上式可表示为,由概率的统计定义知道，在大量试验下，频率 fi 概率 pi.,加权平均值,31,一、离散型随机变量的数学期望,1、定义：设离散型随机变量 的概率函数为 P (=x i )=pi i = 1, 2, 若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变量的数学期望。简称期望或均值。记作E ，即 如果级数 不绝对收敛，则称随机变量
14、 的数学期望不存在。,32,假设一个班共 20 人，其中 18 岁的有 6 人，19 岁的有 10 人，20 岁的有 4 人，现任取一人观察其岁数，则观察到的岁 数 x 为一随机变量，不难求出 x 的分布率如表2 所示。,例：,求：这个班的学生的平均年龄。,解：,33,二、连续型随机变量的数学期望,例1：计算在区间 a , b 上服从均匀分布的随机变量 x 的数学期望。,解：依题意,故,2、举例：,34,三、随机变量函数的数学期望,定理 1：,设 =g()，g(x) 是连续函数，那么,(2) 若 为连续型随机变量，其密度函数为 f ( x )，,(1) 若 为离散型随机变量，其概率函数为,1
15、、一维随机变量函数的数学期望,35,例1：设随机变量的分布列为,求：E2，E(2-1)。,解：,例2：,求：E,解：,36,定理 2：,若 (, ) 是二维随机变量，g(x, y)是二元连续函数,(1) 若 (, )为二维离散型随机变量，其联合分布为,(2) 若 (, )为二维连续型随机变量，其联合密度函数为 f ( x , y ) ，且,2、二维随机变量函数的数学期望,37,解：,例1：设 (, ) 的联合分布为,求： E(-)，E 。,E(-)=,(0-1) (0-2) (0-3) (1-1) (1-2) (1-3),0.1+ 0.2+ 0.3+ 0.2+ 0.1+ 0.1,=-2.1,E
16、()=,(0 1) (0 2) (0 3) (1 1) (1 2) (1 3),0.1+ 0.2+ 0.3+ 0.2+ 0.1+ 0.1,=0.7,38,解：,例2：,求： E(-3+2)，E。,39,性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即 E(c)=c.,四、数学期望的性质,证： 常量 c 可看作仅取一个值 c 的随机变量，且取值 c 的概率为 1，即 的分布为 P(=c)=1，这种分布称为退化分布， 其数学期望为E(c)=c1=c,推论：E(E) = E,性质2：随机变量 与常量 c 之和的数学期望等于 的期望与这个常量 c 的和 E(+c)=E+c,证：设 的分布为 pk(离散型)；密度函数为 f(
