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1、,2,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,三重积分,一、主要内容,3,1、二重积分的定义,4,、二重积分的几何意义,当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值.,5,性质,当 为常数时，,性质,、二重积分的性质,6,性质,对区域具有可加性,性质,若 为D的面积,性质,若在D上，,特殊地,7,性质,性质,（二重积分中值定理）,8,、二重积分的计算,X型,特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,9,特点: 穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于
2、两个交点.,Y型,10,（）极坐标系下,11,12,极坐标系下区域的面积,13,5、二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面积,14,当薄片是均匀的，质心称为形心.,(3) 质心,15,薄片对于x轴的转动惯量,薄片对于y轴的转动惯量,(4) 转动惯量,16,薄片对 轴上单位质点的引力,G为引力常数,(5) 引力,17,6、三重积分的定义,18,7、三重积分的几何意义,8、三重积分的性质,类似于二重积分的性质,19,9、三重积分的计算,() 直角坐标,20,21,() 柱面坐标,22,() 球面坐标,23,10、三重积分的应用,() 质心,24,() 转动惯量,25,二、典型例题,例1,解,X-型,26,例2,解,先去掉绝对值符号，如图,27,例3,解,28,29,例4,证,30,例5,解,31,32,例6,解,利用球面坐标,33,例7,解,34,例8,证,思路：从改变积分次序入手,35,例 7 计算三重积分,其中,为锥面,所围,成的区域,解,的上界面为,36,的奇函数，所以,37,测 验 题,38,39,40,41,42,43,44,45,测验题答案,46,47,例4,解,48,例5,解,49,
