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1、2014 人教版高二理科数学下学期期末考试 （本试卷分第卷选择题和第卷非选择题两部分答题时间120 分钟，满分 120 分 ） 第卷（选择题，共48 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题4 分，共 48 分每小题给出的4 个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1复数 3 1 i z i 等于（） Ai 21Bi 21Ci2Di2 2如果复数)2)(1 (ibi是纯虚数，则 bi ib 1 32 的值为（） A2B5C5D15 3已知函数 1xy ，则它的导函数是（） A1 2 1 / xyB )1(2 1 / x x y C 1 12 / x x yD )1(2 1 / x x y 4
2、 dxex x )(cos 0 （） A1eB1eCeD 1 e 5如图， 平行四边形ABCD 中，G 是 BC 延长线上一点，AG与 BD 交于点 E，与 DC 交于点 F，则图中相似三角形共有（） A3 对B4 对 C5 对 D6 对 6曲线 22 1xy经过伸缩变换T 得到曲线 22 1 169 xy ，那么直线210 xy经过伸 缩变换 T 得到的直线方程为（） A 2360 xyB 4610 xy C 38120 xyD 3810 xy 7圆5cos5 3sin的圆心坐标是（） A 4 ( 5,) 3 B ( 5,) 3 C (5,) 3 D 5 ( 5,) 3 8在极坐标系中与圆4
3、sin相切的一条直线的方程为（） A cos2B sin2 C 4sin() 3 D 4sin() 3 9设随即变量服从正态分布)1 ,0(N，pP)1(，则)01(P等于（） Ap 2 1 Bp1Cp21Dp 2 1 10在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6 个程序，其中程序A只能出现在第一 步或最后一步，程序CB,实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（） A24种B96种C120种D144种 11 某盏吊灯上并联着3 个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是7.0则 在这段时间内吊灯能照明的概率是（） A343.0B833.0C973.0D029.1 12已知)(x
4、f是定义在),0(上的非负可导函数，且满足0)( / xfxxf，对任意正 数ba,，若ba，则必有（） A )()(abfbafB )()(bafabf C )()(bfaafD )()(afbbf 第卷（非选择题，共72 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分 13函数354 6yxx的最大值是 14由曲线 2 xy，xy，xy3所围成的图形面积为 15二项式 10 ) 2 1 1( x 的展开式中含 5 1 x 的项的系数是 16已知函数 2, 2,)( 23 xcbxaxxxf表示过原点的曲线，且在1x处的切 线的倾斜角均为 4 3 ，有以下命题： )(xf的解
5、析式为2,2,4)( 3 xxxxf； )(xf的极值点有且只有一个； )(xf的最大值与最小值之和等于零； 其中正确命题的序号为_ 三、解答题：本大题共6 小题，共56 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分8 分）设函数)(xflg(|3|7 |)xxa （1）当1a时，解关于x的不等式0)(xf； （2）如果Rx，0)(xf，求a的取值范围 18 （本小题满分10 分）设 n n nf n 1 1，其中n为正整数 （1）求)1 (f，)2(f，)3(f的值； （2）猜想满足不等式0)(nf的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想 19 （本小题满分10 分）经过
6、点 2 3 ,3A， 倾斜角为的直线l， 与曲线C： sin5 cos5 y x （为参数）相交于CB,两点 （1）写出直线l的参数方程，并求当 6 时弦BC的长； （2）当A恰为BC的中点时，求直线BC的方程； （3）当8BC时，求直线BC的方程； （4）当变化时，求弦BC的中点的轨迹方程 20 （本小题满分9 分）设在一个盒子中，放有标号分别为1， 2，3 的三张卡片，现从这个 盒 子 中 ， 有 放 回 地 先 后 抽 得 两 张 卡 片 ， 标 号 分 别 记 为yx,， 设 随 机 变 量 xyx2 （1）写出yx,的可能取值，并求随机变量的最大值； （2）求事件“取得最大值”的概率
7、； （3）求的分布列和数学期望与方差 21 （本小题满分9 分）如图，已知 1 O与 2 O外 切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切 点，AB与 21O O的延长线相交于点C，延长AP 交 2 O于 点D，点E在AD延长线上 （ 1）求证：ABP是直角三角形； （ 2）若AEAPACAB，试判断AC与EC能否一定垂直？并说明理由 （ 3）在（ 2）的条件下，若4AP， 4 9 PD，求 AC EC 的值 D B E C A 1 O 2 O P 22 （本小题满分10 分）已知函数cbxxaxxf 44 ln)()0(x在1x处取得极值 c3，其中cba,为常数 （ 1）求ba,的值； （
8、 2）讨论函数)(xf的单调区间； （ 3）若对任意0 x，不等式02)( 2 cxf恒成立，求c的取值范围 （注意：本页不交，答案写到答题纸上） 参考答案及评分标准 一、选择题（每小题4 分，共 48 分） 1C 2B 3B 4A 5D 6C 7A 8A 9D 10B 11C 12A 二、填空题（每小题4 分，共 16 分） 135 14 3 13 15 8 63 16 三、解答题（共6 小题，共 56 分） 17解：（1）当1a时，原不等式可变为|3|7| 10 xx， 可得其解集为|3,7.x xx或,4 分 （2）因| 3|7|3(7) | 10 xxxx 对任意xR都成立 lg(|3
9、|7 |)lg101xx对任何xR都成立 lg(|3|7 |)xxa解集为R1a,8 分 18解：（1） 27 17 )3(, 2 1 )2(, 1)1(fff,3 分 （2）猜想：0) 1 1()(,3n n nfn n ,4 分 证明：当3n时，0 27 17 )3(f成立,5 分 假设当kn ), 3( * Nnn时猜想正确，即0 1 1k k kf k k k k 1 1 由于) 1 1 1() 1 1() 1 1 1() 1 1 1 ( 1 1 1 1 kkkkk kk k 1 1 ) 1 1 1 (k k k k k k,8 分 1) 1 1 1( 1 k k k ，即0) 1(
10、1 1 11 1 k k kf k 成立 由可知，对0) 1 1 ()(,3n n nfn n 成立,10 分 19解：（1）l的参数方程 sin 2 3 cos3 ty tx （t为参数）,1 分 曲线C化为： 25 22 yx，将直线参数方程的yx,代入，得 0 4 55 )sincos2(3 2 tt 055)sincos2(9 2 恒成立，,3 分 方程必有相异两实根 21,t t，且)sincos2(3 21 tt， 4 55 21t t 55)sincos2(94)( 2 21 2 2121 ttttttBC 当 6 时，336337 2 1 BC,5 分 （2）由A为BC中点，可
11、知 0)sincos2(3 21 tt， 2tan， 故直线BC的方程为01524yx,7 分 （3）8BC，得855)sincos2(9 2 BC 0cos3cossin4 2 , 0cos或 4 3 tan 故直线BC的方程为3x或01543yx,9 分 （4）BC中点对应参数 2 21 tt t)sincos2( 2 3 sin)sincos2( 2 3 2 3 cos)sincos2( 2 3 3 y x （ 参数, 0） ，消去，得 弦BC的中点的轨迹方程为 16 45 ) 4 3 () 2 3 ( 22 yx； 轨迹是以) 4 3 , 2 3 (为圆心， 4 53 为半径的圆,10
12、 分 20解：（1）yx,的可能取值都为1， 2，3 2, 12xyx，3， 当3,1 yx或1, 3 yx时，取最大值3,3 分 （ 2）有放回地先后抽得两张卡片的所有情况的种数933n， 9 2 )3(P,4 分 （3）的所有取值为0，1， 2，3， 当0时，只有2,2 yx这 1种情况， 9 1 )0(P； 当1时，只有1, 1 yx或1,2 yx或3,2 yx或3,3 yx， 共 4 种情况， 9 4 )1(P； 当2时，只有2, 32, 1yxyx或这 2 种情况， 9 2 )2(P； 当3时， 9 2 )3(P；,7 分 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 9 1 9 2 9
13、 4 9 2 数学期望 9 14 9 2 3 9 4 2 9 2 1 9 1 0E 方差 9 8 ) 9 14 3( 9 2 ) 9 14 2( 9 4 ) 9 14 1( 9 2 ) 9 14 0( 9 1 2222 D,9 分 21解：（1）证明：过点P作两圆公切线PN交AB于N，由切线长定理得 NBNANP，PAB为直角三角形,3 分 （ 2）ECAC 证明：AEAPACAB， AC AE AP AB ，又EACPAB， PABCAE ,900 APBECA即ECAC,6 分 （3）由切割线定理，ADAPAB 2 ， , 3,5 PBABACECPAPB:4:3: 4 3 AC EC ,9 分 22解：（1）)4ln4()( 3/ baxaxxf，0)1 (f， 04ba，又cf3)1 (， 3,12 ba；,5 分 （ 2） xxxfln48)( 3/ （)0 x 由 0)( / xf得1x， 当10 x时，0)( / xf，)(xf单调递减； 当1x时，0)( / xf，)(xf单调递增； )(xf单调递减区间为)1 ,0(，单调递增区间为), 1(,9 分 （3）由（ 2）可知，1x时，)(xf取极小值也是最小值cf3)1 (， 依题意，只需023 2 cc，解得 2 3 c或1c,10 分
