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1、学 海 无 涯 第一节乘法公式、因式分解 重点：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及应用，十字相乘法，分组分 解法，试根法 难点：公式的灵活运用，因式分解 教学过程： 一、乘法公式 引入：回顾初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（从项的角度变 化）那三数和的平方公式呢？(a b c)2 a 2 b2 c2 2ab 2bc 2ac （从指数的角度变化）看看和与差的立方公式是什么？如(a b)3 ? ， 能用学过的公式推导吗？（平方立方） (a b)3 (a b)2 (a b) a3 3a2b 3ab2 b3 那(a b)3 ? 呢，同理可推。那能否不重复推导，直接从式看出结果？将(a
2、 b)3 中的 b 换成b 即可。（b R ）这种代换的思想很常用，但要清楚什么时候 才可以代换 (a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 符号的记忆，和差从代换的角度看 问：能推导立方和、立方差公式吗？即（）（） a3 b3 由可知， a3 b3 (a b)3 (3a2b 3ab2 ) (a b)(a2 ab b2 ) 立方差呢？中的b 代换成b 得出： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) 符号的记忆，系数的区别 例 1：化简(x 1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) 法 1：平方差立方差 法 2：立方和立方差,1,学 海 无 涯 （2）已知x 2 x 1 0, 求证
3、：(x 1)3 (x 1)3 8 6x 注意观察结构特征，及整体的把握 二、因式分解：将一个多项式化成几个整式的积的形式，与乘法运算是互逆变 形。初中学过的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、 立方差等） （1）十字相乘法 试分解因式： x2 3x 2 (x 1)(x 2) 要将二次三项式x2+px+q 因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于 常数项 q，和等于一次项系数 p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即 x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b). 用十字交叉线表示:1a 1 b a+b（交叉相乘后相加） 若二次项的系数不为 1
4、呢？ ax2 bx c(a 0) ，如： 2x2 7x 3 如何处理二次项的系数？类似分解：13 2 1 -6+-1=-7 2x2 7x 3 (x 3)(2x 1) 整理：对于二次三项式 ax2+bx+c（a0），如果二次项系数 a 可以分解成两个因 数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a2， c1，c2 排列如下：,2,3,学 海 无 涯 a1+c1 a2 +c2 a1c2+a2c1=a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a c +a c ，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 1 22 1 的一次项系数 b，即 a1c2
5、+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1 与 a x+c 之积，即 ax2+bx+c=（a x+c ）（a x+c ）。按行写分解后的因式 221122 十字相乘法关键：（1）看两端，凑中间；（2）分解后的因式如何写（3）二次项 系数为负时，如何简化 例 2：因式分解：（1） 6x2 7x 5 （2） 5x2 6xy 8y 2 （3）(x y)(2x 2y 3) 2 分组分解法 分解xm xn ym yn ，观察；无公因式，四项式，则不能用提公因式法，公式法 及十字相乘法 两种方法 适当分组后提出公因式，各组间又出现新的公因式，叫分组分解法 如何适当分组是关键（尝试，结
6、构），分组的原则，目的是什么？分组后可以 提取公因式，或；利用公式 练习：因式分解（1） x3 9 3x2 3x （2） x 2 4(xy 1) 4 y 2 x3 3x 4 （试根法，竖式相除） 归纳：如何选择适当的方法,学 海 无 涯,作业： 将下列各式分解因式 （1） x2 5x 6；（2） x2 5x 6；（3） x2 5x 6；（4） x2 5x 6 （5） 3x2 2ax a2 ；（6） x3 y3 x2 y xy2 ；（7） 2a2 b2 ab 2a b （8） a6 64；（9） x2 (a 1)x a,第二节二次函数及其最值 重点：二次函数的三种表示形式，韦达定理，给定区间的最
7、值问题 难点：给定区间的最值问题 教学过程： 一、韦达定理（二次方程根与系数之间的关系） 二次方程ax2 bx c 0(a 0) 什么时候有根（判别式 0 时），此时由求根公式得，,2a,b b2 4ac,x ,，求出了具体的根，还反映了根与系数的关系。那可以不解方,程，直接从方程中看出两根和（积）与系数的关系吗，, a,2a2a,b b2 4ac b b2 4acb,x1 x2 , a,2a2a,b b2 4ac b b2 4acc,x1 x2 ,c,4,aa,1212,1 212,反过来，若 x , x 满足 x x b , x x ，那么 x , x 一定是,2,ax bx c 0(a
8、0) 的,两根，即韦达定理的逆定理也成立。 作用：（1）已知方程，得出根与系数的关系,学 海 无 涯 （ 2 ） 已知两数， 构造出以两数为根的一元二次方程（ 系数为 1 ）： x2 (x x )x x x 0 121 2,12,例 1： x , x 是方程2x2 3x 5 0的两根，不解方程，求下列代数式的值；, x 2 x 2 | x x | x 3 x 3 121212,二、二次函数的三种形式 一般式： y ax2 bx c(a 0) 顶点式： y a(x h)2 k(a 0)，其中顶点坐标为（h，k） 练：求下列函数的最值。（1）y x2 4x 5（2）y 3x 2 6x 8（3）y
9、2x2 3x 4,除了上述两种表示方法外，我们还可以借助图像与 x 轴的交点，得出另一种表 示方法； 函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像与 x 轴公共点的横坐标就是方程ax2 bx c 0 的 根，那它根的情况由谁决定，（判别式），当方程有两根 x1 , x2 时，由韦达定理可,aa,121 2,知 x x b , x x c ，,121 212,5,222,aa,bc,所以 y ax bx c a(x x ) ax (x x )x x x a(x x )(x x ) ，这是二次,函数的交点式。 （3）交点式： y a(x x1 )(x x2 )(a 0) 根据题目所给条件，适当选择
10、三种形式。,例 2：分别求下列一元二次函数的解析式。（P4344）,学 海 无 涯 已知二次函数的图象过点（3，0），（1，0），且顶点到 x 轴的距离等于 2； 已知二次函数的对称轴为 x1，最大值为 15，图象与 x 轴有两个交点， 其横坐标的立方和为 17；,（1）设矩形的一边为 x（m），面积为 y（ m2 ），求 y 关于x 的函数关系式，并写,6,三、二次函数在给定范围内的最值问题 例 3、已知函数 y x2 2x 3 ，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的 最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量 x 的值: (1) x 2 ;(2) x 2 ;(3)
11、2 x 1;(4) 0 x 3,动范围问题（选讲） 例 4、已知1 x a(a 为大于1 的常数），求函数 y x 2 的最大值 M 和最小值m。 （P50） 数形结合，根据对称轴与取值范围内图象的相对位置进行分类讨论，把握好 为什么要分类讨论、如何进行分类讨论。（要讲到位） 作业： 1、已知某二次函数的图象的顶点为 A（2，18），它与 x 轴两个交点之间的距 离为 6，求此二次函数的解析式。 2、如图，用长为 18m 的篱笆（虚线部分），两面靠墙 围成矩形的苗圃。,学 海 无 涯 出自变量x 的取值范围； （2）当x 为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少 第三节比例关系，性质及其应
12、用 教学过程： 4 个非零数 a，b，c，d 成比例，即a : b c : d ，也可写成 a c ，其中 a，d 叫做 bd 比例外项，b，c 叫做比例内项，d 叫做 a，b，c 的第四比例项。 特别的当比例内项相等时，即a : b b : c ，（或 a b ），此时 b 叫做 ac 的比例中项。 bc 一、比例的性质,bd,1、基本性质 a c ad bc(bd 0) ，比例的两个外项的乘积等于两个内项的,乘积。 特别地， a b b2 ac(bc 0) bc 2、更比性质 当 abcd 0 时 ， a c ad bc b d b a bdacdc 比例式有多种变形形式：内项和外项可以相
13、应的交换位置（注意是对应位置， 即交叉相乘相等出现的式子是一样的） 3、合比性质 a c a b c d （证明：两边1） bdbd 4、等比性质,7,学 海 无 涯 a c m (b d n 0) a c m a bdnb d nb （证明：用中间量k 过渡，这种设k 的方法在解决比例问题中很常用） 例 1：(1)已知 a b 3 ，求证： a 11 b8b8 （2）已知 a c (b d 0)，求证： a c b d bda cb d,bdf,（3）已知 a c e 3, b d f 4, 求a c e 的值。（比例性质的灵活使用）,二、比例性质的应用 （一）平行线等分线段定理 1、由特殊
14、：“三条平行线被两条直线所截”情况入手，观察（平行 非平行）、 猜想： 不管l 与l 是否平行，只要 A1 A2 A2 A3 , 就有B1B2 B2 B3 。,l1,l2,l3,l,l,A3,B2,A2,B1,A1,B3,l2,l3,l,l,B2,A3,A2,A1,C2,C3B3,B1 C1 l1,证明：（1）先证l / l 时，（特殊位置）（2）再证l 不平行l 时，（引导如何思考： 将一般位置化归为特殊位置处理：辅助线作法两种（上图） 给学生指出：在研究问题中，将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉 的问题，这是解决数学问题不可缺少的思想方法化归思想 从运动的角度看，将l 平移，使得l
15、与l1 相交于 A1 ，得出 推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；,DCAC,8,例 2：已知三角形ABC 中，AD 是角平行线，求证： BD AB,学 海 无 涯 析：证比例关系，从相似，平行入手，分析思路,三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和 这个角的两边对应成比例。,练习：已知在 ABC 中，AD 是角平分线，AB5cm，AC4cm，BC7cm， 则 BD= cm.,b8,作业：1、根据下列各式，求a : b 的值。（1） a b 3 （2）,a 5 b a7,2、已知 a c e 2, 则 2a c 3e 。 bdf2b d 3
16、f 3、已知在ABC 中，AB6,BC8,AC7，MN/AC，分别交 AB，BC 于点M， N，且AMBN，求 MN 的长。 4、已知AD 是ABC 的角平分线，BH AD，垂足为H，CK AD，垂足为K， 求证： AB DH ACDK,9,第四课时,D,C,A,B,学 海 无 涯 一、Rt 的射影定理及其应用 Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，图中线段 AC、BC、AD、BD、CD 之,10,间有些怎样的关系呢？（比如等量关系、大小关系、比例关系等）,让学生探究得出以下结论 （1） CD2 AD BD ；（2） BC2 BD AB （3） AC2 AD AB ；（4） AC BC AB CD 其中（1）（2
