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1、学 海 无 涯 1、如图,在 RtABC 中,C=90,AB=10cm,AC:BC=4:3,点 P 从点 A 出发沿 AB 方向向点 B 运动,速度为 1cm/s,同时点 Q 从点 B 出发沿 BCA 方向向点 A 运 动,速度为 2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动 求 AC、BC 的长; 设点 P 的运动时间为 x(秒),PBQ 的面积为 y(cm2),当PBQ 存在时,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; 当点 Q 在 CA 上运动,使 PQAB 时,以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 是否相似,请说明理由; 当 x=5 秒时,在直
2、线 PQ 上是否存在一点 M,使BCM 得周长最小,若存在,求 出最小周长,若不存在,请说明理由,解:(1)设 AC=4x,BC=3x,在 RtABC 中,AC2+BC2=AB2, 即:(4x)2+(3x)2=102,解得:x=2,AC=8cm,BC=6cm; (2)当点 Q 在边 BC 上运动时,过点 Q 作 QHAB 于 H,,AP=x,BP=10 x,BQ=2x,QHBACB,, QHQB,811,8,ACAB5225,4,WORD 格式,1,5,2,,QH=x,y=BPQH=(10 x)x=x +8x(0 x3),,当点 Q 在边 CA 上运动时,过点Q 作 QHAB 于 H, AP=
3、x,,学 海 无 涯,BP=10 x,AQ=142x,AQHABC,,ABBC,AQ QH,,即:,14 x QH 106,3,,解得:QH=(14x), 5,3,225105,y= 1 PBQH= 1 (10 x)(14x)= 3 x2 36 x+42(3x7);,36 5, 4 x2 8x(0 x 3), 5,y 与 x 的函数关系式为:y= 3,x2 ,x 42(3 x 7),10,;,(3)AP=x,AQ=14x,,APAQPQ,ACABBC,810,x14 xPQ,PQAB,APQACB,即:,, 6,14,WORD 格式,2,34 9,939PB,17AC,解得:x= 56 ,PQ
4、= 14 ,PB=10 x= 34 , PQ 3 21 BC ,,当点 Q 在 CA 上运动,使 PQAB 时,以点 B、P、Q 为定点的三角形与ABC 不相似; (4)存在 理由:AQ=142x=1410=4,AP=x=5,AC=8,AB=10, PQ 是ABC 的中位线,PQAB,PQAC, PQ 是 AC 的垂直平分线,PC=AP=5,当点 M 与 P 重合时,BCM 的周长最小, BCM 的周长为:MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16BCM 的周长最小值为 16,解:(1)证明: 四边形ABCD 是矩形 ADP=ABC=BAD=90 ABC+ABQ=180 ABQ=AD
5、P =90,又PAD+BAP=90 PAD=QAB 在ADP 与ABQ 中,ADP ABQ ,PAD QAB, ADPABQ,(2)如图,作 MNQC,则QNM=QCD=90 又MQN=PQC,PCQP,MNQM MQNPQC,QP2,QM1 点 M 是 PQ 的中点,MNQMQN1 ,PCQPQC2 又 PC DC DP 20 x,AQAPPAQ=9010 QAB+ BAP=90,M,Q,C,A,D,B,x P,20-x,N,Q,BC,学 海 无 涯 2、(12 分) 如图,矩形ABCD 中,点 P 在边 CD 上,且与点 C、 D 不重合,过点A 作 AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点
6、Q,连接 PQ,PQ 的中点为 M. (1)求证:ADPABQ; 若 AD=10,AB=20,点 P 在边 CD 上运动,设DP=x, BM 2=y,求 y 与 x 的函数关系式, 并求线段BM 长的最小值; 若 AD=10, AB=a, DP=8,随着 a 的大小的变化,点 M 的位置也在变化,当点 M 落在矩 形 ABCD 外部时,求 a 的取值范围。 AD P M,WORD 格式,3,学 海 无 涯,1,1,22, MN PC (20 x),11,2,2,QN QC (QB 10),ADPABQ,ADDP10 x ABBQ20BQ, BQ 2x,1,1,1,222, QN QC (QB
7、10) (2x 10),1, BN QB QN 2x (2x 10) x 5 2, 1,2,在 RtMBN 中,由勾股定理得: BM 2 MN 2 BN 2 (20 x) (x 5)2, 2,即: y 5 x2 20 x 125(0 x 20) 4 当 x 4 即 DP 4时,线段BM 长的最小值45 3 5 .,(3)如图,当点 PQ 中点M 落在 AB 上时,此时QB=BC=10 由ADPABQ 得10 a 解得: a 12.5 810 随着 a 的大小的变化,点 M 的位置也在变化, 当点 M 落在矩形 ABCD 外部时,求 a 的取值范围为: a 12.5,3、如图,抛物线 y ax2
8、 bx c 关于直线 x 1 对称,与坐标轴交于 A、B、C 三点,,2 , , ,且 AB 4 ,点 D 2 3 在抛物线上,直线是一次函数 y kx 2k 0的图象,点O 是坐,标原点.(1)求抛物线的解析式; 若直线平分四边形OBDC 的面积,求k 的值. 把抛物线向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位,所得抛物线与直线交于 M、N 两点,问在 y 轴正半轴上是否存在一定点 P ,使得不论k 取何值,直线 PM 与 PN 总是 关于 y 轴对称?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由.,10,A,WORD 格式,4,B,C,D,Q,M,10,8 P a,10,学 海 无 涯
9、,答案:(1)因为抛物线关于直线x=1 对称,AB=4,所以 A(-1,0),B(3,0),a b c 0,由点 D(2,1.5)在抛物线上,所以4a 2b c 1.5 ,所以 3a+3b=1.5,即 a+b=0.5, 又 b 1 ,即 b=-2a,代入上式解得 a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以 y 1 x 2 x 3 . 2a22,WORD 格式,5,学 海 无 涯,WORD 格式,6,学 海 无 涯 24(14 分)(2013温州)如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 与 x 轴,y 轴分别交于点 A(6,0),B(0.8),点 C 的坐标为(0,m),过点 C 作 CEAB 于
10、点 E,点 D 为 x 轴上的一 (1动)点当,0连接mCD8 ,时D,E求,以CEC的D长,(DE用为含边m作的代C数DE式F表示); 当 m=3 时,是否存在点D,使CDEF 的顶点 F 恰好落在y 轴上?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由; 点 D 在整个运动过程中,若存在唯一的位置,使得CDEF 为矩形,请求出所有满足 条件的 m 的值,WORD 格式,7,学 海 无 涯 (3)取 CE 的中点 P,过P 作 PGy 轴于点 G 则 CP= CE=m ()当 m0 时, 当 0m8 时,如图 3易证GCP=BAO, cosGCP=cosBAO= , CG=CPcosGCP
11、= (m)=m OG=OC+OG=m+m=m+ 根据题意得,得:OG=CP, m+=m, 解得:m= ; 当 m8 时,OGCP,显然不存在满足条件的 m 的值 ()当 m=0 时,即点C 与原点O 重合(如图 4),()当 m0 时,,当点 E 与点 A 重合时,(如图 5), 易证COAAOB,,=,即= , 解得:m= 当点 E 与点 A 不重合时,(如图 6) OG=OCOG=m(m) =m 由题意得:OG=CP, m=m 解得 m= 综上所述,m 的值是 或 0 或 或,WORD 格式,8,学 海 无 涯,28、如图,过原点的直线 l1:y=3x,l2:y= x点 P 从原点 O 出
12、发沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动直线 PQ 交 y 轴正半轴于点 Q,且分别交 l1、l2 于点 A、B设 点P 的运动时间为t 秒时,直线 PQ 的解析式为y=x+tAOB 的面积为 S(l 如图)以 AB 为对角线作正方形 ACBD,其面积为 S2(如图)连接 PD 并延长,交 l1 于点 E, 交 l2 于点 F设PEA 的面积为 S3;(如图),(1)Sl 关于t 的函数解析式为 ;(2)直线 OC 的函数解析式为 ;,WORD 格式,9,学 海 无 涯 (3)S2 关于 t 的函数解析式为 ;(4)S3 关于 t 的函数解析式为 ,解:(1)由,,,得,,,A 点坐
13、标为( ,),由,得,B 点坐标为(,),S1=SAOPSBOP=,t2(2)由(1)得,点 C 的坐标为( , ),设直线 OC 的解析式为 y=kx,根据题意得=,,k= ,,直线 OC 的解析式为 y= x,(3)由(1)、(2)知,正方形 ABCD 的边长 CB= t=,,,WORD 格式,10,学 海 无 涯,S2=CB2=(,)2=,(4)设直线 PD 的解析式为 y=k1x+b,由(1)知,点 D 的坐标为( t,,),,将 P(t,0)、D(,)代入得,,,解得,直线 PD 的解析式为 y=,由,,,得,E 点坐标为(,),S3=SEOPSAOP= t t t t=,t2,WO
14、RD 格式,11,25(10 分)(2013天津)在平面直角坐标系中,已知点 A(2,0),点 B(0,4),点 E 在 OB 上,且OAE=0BA ()如图,求点E 的坐标;,()如图,将AEO 沿 x 轴向右平移得到AEO,2连接2AB、BE,22,设 AA=m,其中 0m2,试用含 m 的式子表示 AB +BE ,并求出使AB +BE 取得 最小值时点E的坐标; 当AB+BE取得最小值时,求点E的坐标(直接写出结果即可),学 海 无 涯,WORD 格式,12,学 海 无 涯 当点B、A、B在同一条直线上时,AB+BA最小,即此时AB+BE取得最小值 易证ABAOBA, = , AA= 2
15、= , EE=AA= ,,点E的坐标是(,,1),点评:本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点此题 难度较大,需要学生对知识有一个系统的掌握 17、(12 分)(2013雅安)如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过A(3,0),B(1,0),C (0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l 与x 轴交于点H 求该抛物线的解析式; 若点P 是该抛物线对称轴 l 上的一个动点,求PBC 周长的最小值; 如图(2),若 E 是线段 AD 上的一个动点( E 与 A、D 不重合),过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F,交 x 轴于点G,设点E 的横坐标为 m,ADF 的面积为 S 求S 与m 的函数关系式; S 是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点 E 的坐标; 若不存在,请说明理由,WORD 格式,13,学 海 无 涯,解:(1)由题意可知:,解得:,抛物线的解析式为:y=x22x+3; (2)PBC 的周长为:PB+PC+BC BC 是定值, 当PB+PC 最小时,PBC 的周长最小, 点A、点 B 关于对称轴 I 对称, 连接 AC 交 l 于点 P,即点 P 为所求的点 AP=BP PBC 的周长最小是:PB+PC+BC=AC+BC A