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1、学 海 无 涯,中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 反比例函数在中考中的常见题型 知识讲解 反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y= k (k0) x 反比例函数y= k (k0)的性质 x (1)当 k0 时 函数图像的两个分支分别在第一,三象限内 在每一象限内,y 随 x 的增大而减小 (2)当 k0 时 函数图像的两个分支分别在第二,四象限内 在每一象限内,y 随 x 的增大而增大,k,(3)在反比例函数 y=中,其解析式变形为 xy=k,故要求 k 的值, 也就是求其图像,x 上一点横坐标与纵坐标之积, 通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的,两根,运用两
2、根之积求 k 的值 (4)若双曲线 y= k 图像上一点(a,b)满足 a,b 是方程 Z24Z2=0 的两根,求双 x 2,曲线的解析式由根与系数关系得 ab=2,又 ab=k,k=2,故双曲线的解析式是 y=,x (5)由于反比例函数中自变量 x 和函数 y 的值都不能为零,所以图像和x 轴,y 轴都,没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势 例题解析 例 1如图,在直角坐标系中,O 为原点,点A 在第一象限,它的纵坐标是横坐标的 3,12,倍,反比例函数y=的图像经过点A,,x (1)求点A 的坐标;,(2)如果经过点 A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点 B,且 OB=
3、AB, 求这个一 次函数的解析式,1,学 海 无 涯,【分析】(1)用含一个字母 a 的代数式表示点 A 的横坐标,纵坐标,把点 A 的坐标代,12,入 y=可求得 a 的值,从而得出点A 的坐标 x (2)设点 B 的坐标为(0,m),根据 OB=AB,可列出关于 m 的一个不等式, 从而,求出点 B 的坐标,进而求出经过点A,B 的直线的解析式 【解答】(1)由题意,设点 A 的坐标为(a,3a),a0,12,点 A 在反比例函数 y=的图像上,得 3a= x,12 a,,解得 a1=2,a2=2,经检验 a1=2,,a2=2 是原方程的根,但 a2=2 不符合题意,舍去 点A 的坐标为(
4、2,6) (2)由题意,设点B 的坐标为(0,m) m0,m= (m 6)2 22 ,1010,33,解得 m=,经检验 m=是原方程的根,,10,13,点B 的坐标为(0,),10,设一次函数的解析式为 y=kx+,13 由于这个一次函数图像过点 A(2,6),,3,104,3,6=2k+,得 k=,410,33,所求一次函数的解析式为 y=x+,m,2,x,例 2如图,已知 RtABC 的顶点 A 是一次函数 y=x+m 与反比例函数 y=的图像在,第一象限内的交点,且 SAOB=3 该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定?如能确定, 请写出它们的 解析式;如不能确定,请说明理由 如
5、果线段 AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点,过D 作 DEx 轴于E,那么ODE 的面积与AOB 的面积的大小关系能否确定? 请判断AOD 为何特殊三角形,并证明你的结论,学 海 无 涯,1,【分析】AOB 是直角三角形,所以它的面积是两条直角边之积的, 而反比例函,2 数图像上任一点的横坐标,纵坐标之积就是反比例函数中的系数由题意不难确定 m,则所,求一次函数,反比例函数的解析式就确定了 由反比例函数的定义可知,过反比例函数图像上任一点作 x 轴,y 轴的垂线, 该点与 两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的,m,x0,【解答】(1)设 B(x,0),则 A(x0,),其
6、中 00,m0,在 RtABO 中,AB=,m x0,,OB=x0,则 SABO =x 0,1m,2x0,=3,即 m=6,6,x,所以一次函数的解析式为 y=x+6;反比例函数的解析式为 y=,6 x, y x 6,(2)由, y ,得 x2+6x6=0,,解 得 x1=3+ 15 ,x2=3 15 A(3+ 15 ,3+ 15 ),D(3 15 ,3 15 ),由反比例函数的定义可知,对反比例函数图像上任意一点 P(x,y),有 y= 6 即 xy=6 x 1,SDEO =xDyD=3,即 SDEO =SABO,2 (3)由 A(3+ 15 ,3+ 15 )和 D(3 15 ,3 15 )
7、可得 AO=4 3 ,DO=4 3 ,,3,即 AO=DO,学 海 无 涯,由图可知AOD90,AOD 为钝角等腰三角形 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系通过对直观图形的观察,借助代数运 算验证,便不难判断,强化训练 一、填空题 1如图 1,直线y=kx(k0)与双曲线 y= 4 交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则 2x1y2 x 7x2y1 的值等于 ,图 1图 2图 3 2(2006,重庆)如图 2,矩形 AOCB 的两边 OC,OA 分别位于 x 轴,y 轴上,点 B 的坐,20,标为 B(,5),D 是 AB 边上的一点,将ADO 沿直线 OD 翻折,使 A 点
8、恰好落,3 在对角线 OB 上的点 E 处,若点 E 在一反比例函数的图像上,那么该函数的解析式是, 3近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(m)成反比例,已知 400 度近视眼镜镜片的焦 距为 0.25m,则 y 与 x 的函数关系式为 ,4若 y=,2,xa a1,3a 1,中,y 与 x 为反比例函数,则 a= 若图像经过第二象限内的某点,,则 a= 反比例函数 y= k 的图像上有一点 P(a,b),且 a,b 是方程 t24t2=0 的两个根,则 x k= ;点 P 到原点的距离OP= 已知双曲线xy=1 与直线 y=x+ b 无交点,则b 的取值范围是 反比例函数 y= k 的图
9、像经过点 P(a,b),其中 a,b 是一元二次方程x2+kx+4=0 的两个 x 根,那么点 P 的坐标是 ,4,学 海 无 涯,8两个反比例函数 y= k 和 y= 1 在第一象限内的图像如图 3 所示, 点P 在 y= k 的图像上, xxx,xx,PCx 轴于点 C,交 y= 1 的图像于点A,PDy 轴于点 D,交 y= 1 的图像于点B, 当,k,点 P 在 y=的图像上运动时,以下结论:,x ODB 与OCA 的面积相等;,四边形 PAOB 的面积不会发生变化; PA 与 PB 始终相等 当点 A 是 PC 的中点时,点B 一定是 PD 的中点 其中一定正确的是 (把你认为正确结
10、论的序号都填上, 少填或错填不给分) 二、选择题 9如图 4 所示,等腰直角三角形 ABC 位于第一象限,AB=AC=2,直角顶点 A 在直线 y=x,上,其中 A 点的横坐标为 1,且两条直角边 AB,AC 分别平行于 x 轴,y 轴, 若双曲线 y=,k x,(k0)与ABC 有交点,则 k 的取值范围是() A1k2B1k3C1k4,D1k4,图 4图 5图 6 10反比例函数 y= k (k0)的第一象限内的图像如图 5 所示,P 为该图像上任意一点,PQ x 垂直于 x 轴,垂足为 Q,设POQ 的面积为 S,则S 的值与 k 之间的关系是(),AS= kBS= k 42,CS=kD
11、Sk,11如图 6,已知点 A 是一次函数 y=x 的图像与反比例函数 y= 2 的图像在第一象限内的交 x 点,点 B 在 x 轴的负半轴上,且 OA=OB,那么AOB 的面积为(),A2,B,2 2,C 2D2 2,12函数 y= m 与 y=mxm(m0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是() x,5,学 海 无 涯,13如果不等式 mx+n4,点(1,n)在双曲线 y= 2 上,那么函数y=(n1) x x+2m 的图像不经过(),A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 14正比例函数y=2kx 与反比例函数y=,x,k 1,在同一坐标系中的图像不可能是(),15已知 P 为函数 y
12、= 2 的图像上一点,且 P 到原点的距离为 3 ,则符合条件的 P 点数为 x ( ) A0 个B2 个C4 个D无数个 如图,A,B 是函数 y= 1 的图像上关于原点 O 对称的任意 x 两点,AC 平行于 y 轴, 交 x 轴于点 C,BD 平行于 y 轴, 交 x 轴于点 D,设四边形ADBC 的面积为 S,则() AS=1B12 三、解答题 已知:如图,反比例函数 y= 8 与一次函数 y=x+2 的图像交于A,B 两点,求: x (1)A,B 两点的坐标; (2)AOB 的面积,6,学 海 无 涯,18如图,已知一次函数 y=kx+b 的图像与反比例函数 y= 8 的图像交于 A
13、,B 两点,且点 x A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2,求: (1)一次函数的解析式; (2)AOB 的面积,19已知函数 y= k 的图像上有一点 P(m,n),且 m,n 是关于 x 方程 x24ax+4a26a x 8=0 的两个实数根,其中a 是使方程有实根的最小整数,求函数y= k 的解析式 x,20在平面直角坐标系 Oxy 中,直线 y=x 绕点 O 顺时针旋转 90 得到直线L直线 L 与,k,7,x,反比例函数 y=的图像的一个交点为A(a,3),试确定反比例函数的解析式,学 海 无 涯,21如图所示,已知双曲线 y= k 与直线 y= 1 x 相交于A,B 两点第一象限上的
14、点 M(m, x4,n)(在 A 点左侧)是双曲线 y= k 上的动点过点 B 作 BDy 轴交 x 轴于点 D 过 N x k,(0,n)作 NCx 轴交双曲线y=于点 E,交 BD 于点C,x (1)若点D 的坐标是(8,0),求 A,B 两点的坐标及 k 的值;,若 B 是 CD 的中点,四边形 OBCE 的面积为 4,求直线CM 的解析式; 设直线 AM,BM 分别与 y 轴相交于 P,Q 两点,且 MA=pMP,MB=qMQ,求 pq 的值,如图,在等腰梯形ABCD 中,CDAB,CD=6,AD=10,A=60,以 CD 为弦的弓 形弧与 AD 相切于D,P 是 AB 上的一个动点,
15、可以与 B 重合但不与A 重合,DP 交弓 形弧于 Q 求证:CDQDPA; 设 DP=x,CQ=y,试写出 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; 当 DP 之长是方程 x28x20=0 的一根时,求四边形 PBCQ 的面积,8,学 海 无 涯,答案: 1202y= 12 x,3y= 100 x,42 或1;1,52;2 5,60b47(2,2),8 9C10B11C12C13B14D15A 16C,17(1)由,x,y x 2,1,,解得 1, y 8x 4x 2,, 1, y 2y 4, 1,A(2,4),B(4,2) (2)当 y=0 时,x=2,故 y=x+2 与
16、 x 轴交于 M(2,0),OM=2,11,2,SAOB=SAOM +SBOM =OMyA+OMyB=,1 2,1,2,24+22=4+2=6 ,18(1)y=x+2,2 (2)SAOB =6,19由=(4a)24(4a26a8)0 得 a 4 , 3 又a 是最小整数,,xm,a=1 二次方程即为x2+4x+2=0,又 mn=2,而(m,n)在 y= k 的图像上,n= k ,mn=k,,2,k=2,y=,x 20依题意得,直线L 的解析式为 y=x,A(a,3)在直线 y=x 上, 则 a=3即 A(3,3),k,x,又A(3,3)在y=的图像上,,可求得 k=9,9,反比例函数的解析式为 y=,x 21(1)D(8,0),B 点的横坐标为8,代入 y= 1 x 中,得y=2 4 B 点坐标为(8,2),而 A,B 两点关于原点对称,A(8,2),9,