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1、学 海 无 涯,中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 反比例函数在中考中的常见题型 知识讲解 反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= k （k0） x 反比例函数y= k （k0）的性质 x （1）当 k0 时 函数图像的两个分支分别在第一，三象限内 在每一象限内，y 随 x 的增大而减小 （2）当 k0 时 函数图像的两个分支分别在第二，四象限内 在每一象限内，y 随 x 的增大而增大,k,（3）在反比例函数 y=中，其解析式变形为 xy=k，故要求 k 的值， 也就是求其图像,x 上一点横坐标与纵坐标之积， 通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的,两根，运用两
2、根之积求 k 的值 （4）若双曲线 y= k 图像上一点（a，b）满足 a，b 是方程 Z24Z2=0 的两根，求双 x 2,曲线的解析式由根与系数关系得 ab=2，又 ab=k，k=2，故双曲线的解析式是 y=,x （5）由于反比例函数中自变量 x 和函数 y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都,没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势 例题解析 例 1如图，在直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的 3,12,倍，反比例函数y=的图像经过点A，,x （1）求点A 的坐标；,（2）如果经过点 A 的一次函数图像与y 轴的正半轴交于点 B，且 OB=
3、AB， 求这个一 次函数的解析式,1,学 海 无 涯,【分析】（1）用含一个字母 a 的代数式表示点 A 的横坐标，纵坐标，把点 A 的坐标代,12,入 y=可求得 a 的值，从而得出点A 的坐标 x （2）设点 B 的坐标为（0，m），根据 OB=AB，可列出关于 m 的一个不等式， 从而,求出点 B 的坐标，进而求出经过点A，B 的直线的解析式 【解答】（1）由题意，设点 A 的坐标为（a，3a），a0,12,点 A 在反比例函数 y=的图像上，得 3a= x,12 a,，解得 a1=2，a2=2，经检验 a1=2，,a2=2 是原方程的根，但 a2=2 不符合题意，舍去 点A 的坐标为（
4、2，6） （2）由题意，设点B 的坐标为（0，m） m0，m= (m 6)2 22 ,1010,33,解得 m=，经检验 m=是原方程的根，,10,13,点B 的坐标为（0，）,10,设一次函数的解析式为 y=kx+,13 由于这个一次函数图像过点 A（2，6），,3,104,3,6=2k+，得 k=,410,33,所求一次函数的解析式为 y=x+,m,2,x,例 2如图，已知 RtABC 的顶点 A 是一次函数 y=x+m 与反比例函数 y=的图像在,第一象限内的交点，且 SAOB=3 该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定， 请写出它们的 解析式；如不能确定，请说明理由 如
5、果线段 AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D 点，过D 作 DEx 轴于E，那么ODE 的面积与AOB 的面积的大小关系能否确定？ 请判断AOD 为何特殊三角形，并证明你的结论,学 海 无 涯,1,【分析】AOB 是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的， 而反比例函,2 数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数由题意不难确定 m，则所,求一次函数，反比例函数的解析式就确定了 由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作 x 轴，y 轴的垂线， 该点与 两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的,m,x0,【解答】（1）设 B（x，0），则 A（x0，），其
6、中 00，m0,在 RtABO 中，AB=,m x0,，OB=x0,则 SABO =x 0,1m,2x0,=3，即 m=6,6,x,所以一次函数的解析式为 y=x+6；反比例函数的解析式为 y=,6 x, y x 6,（2）由, y ,得 x2+6x6=0，,解 得 x1=3+ 15 ，x2=3 15 A（3+ 15 ，3+ 15 ），D（3 15 ，3 15 ）,由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点 P（x，y），有 y= 6 即 xy=6 x 1,SDEO =xDyD=3，即 SDEO =SABO,2 （3）由 A（3+ 15 ，3+ 15 ）和 D（3 15 ，3 15 ）
7、可得 AO=4 3 ，DO=4 3 ，,3,即 AO=DO,学 海 无 涯,由图可知AOD90，AOD 为钝角等腰三角形 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系通过对直观图形的观察，借助代数运 算验证，便不难判断,强化训练 一、填空题 1如图 1，直线y=kx（k0）与双曲线 y= 4 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 则 2x1y2 x 7x2y1 的值等于 ,图 1图 2图 3 2（2006，重庆）如图 2，矩形 AOCB 的两边 OC，OA 分别位于 x 轴，y 轴上，点 B 的坐,20,标为 B（，5），D 是 AB 边上的一点，将ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点
8、恰好落,3 在对角线 OB 上的点 E 处，若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是, 3近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦 距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为 ,4若 y=,2,xa a1,3a 1,中，y 与 x 为反比例函数，则 a= 若图像经过第二象限内的某点，,则 a= 反比例函数 y= k 的图像上有一点 P（a，b），且 a，b 是方程 t24t2=0 的两个根，则 x k= ；点 P 到原点的距离OP= 已知双曲线xy=1 与直线 y=x+ b 无交点，则b 的取值范围是 反比例函数 y= k 的图
9、像经过点 P（a，b），其中 a，b 是一元二次方程x2+kx+4=0 的两个 x 根，那么点 P 的坐标是 ,4,学 海 无 涯,8两个反比例函数 y= k 和 y= 1 在第一象限内的图像如图 3 所示， 点P 在 y= k 的图像上， xxx,xx,PCx 轴于点 C，交 y= 1 的图像于点A，PDy 轴于点 D，交 y= 1 的图像于点B， 当,k,点 P 在 y=的图像上运动时，以下结论：,x ODB 与OCA 的面积相等；,四边形 PAOB 的面积不会发生变化； PA 与 PB 始终相等 当点 A 是 PC 的中点时，点B 一定是 PD 的中点 其中一定正确的是 （把你认为正确结
10、论的序号都填上， 少填或错填不给分） 二、选择题 9如图 4 所示，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点 A 在直线 y=x,上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB，AC 分别平行于 x 轴，y 轴， 若双曲线 y=,k x,（k0）与ABC 有交点，则 k 的取值范围是（） A1k2B1k3C1k4,D1k4,图 4图 5图 6 10反比例函数 y= k （k0）的第一象限内的图像如图 5 所示，P 为该图像上任意一点，PQ x 垂直于 x 轴，垂足为 Q，设POQ 的面积为 S，则S 的值与 k 之间的关系是（）,AS= kBS= k 42,CS=kD
11、Sk,11如图 6，已知点 A 是一次函数 y=x 的图像与反比例函数 y= 2 的图像在第一象限内的交 x 点，点 B 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OB，那么AOB 的面积为（）,A2,B,2 2,C 2D2 2,12函数 y= m 与 y=mxm（m0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（） x,5,学 海 无 涯,13如果不等式 mx+n4，点（1，n）在双曲线 y= 2 上，那么函数y=（n1） x x+2m 的图像不经过（）,A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 14正比例函数y=2kx 与反比例函数y=,x,k 1,在同一坐标系中的图像不可能是（）,15已知 P 为函数 y
12、= 2 的图像上一点，且 P 到原点的距离为 3 ，则符合条件的 P 点数为 x （ ） A0 个B2 个C4 个D无数个 如图，A，B 是函数 y= 1 的图像上关于原点 O 对称的任意 x 两点，AC 平行于 y 轴， 交 x 轴于点 C，BD 平行于 y 轴， 交 x 轴于点 D，设四边形ADBC 的面积为 S，则（） AS=1B12 三、解答题 已知：如图，反比例函数 y= 8 与一次函数 y=x+2 的图像交于A，B 两点，求： x （1）A，B 两点的坐标； （2）AOB 的面积,6,学 海 无 涯,18如图，已知一次函数 y=kx+b 的图像与反比例函数 y= 8 的图像交于 A
13、，B 两点，且点 x A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2，求： （1）一次函数的解析式； （2）AOB 的面积,19已知函数 y= k 的图像上有一点 P（m，n），且 m，n 是关于 x 方程 x24ax+4a26a x 8=0 的两个实数根，其中a 是使方程有实根的最小整数，求函数y= k 的解析式 x,20在平面直角坐标系 Oxy 中，直线 y=x 绕点 O 顺时针旋转 90 得到直线L直线 L 与,k,7,x,反比例函数 y=的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式,学 海 无 涯,21如图所示，已知双曲线 y= k 与直线 y= 1 x 相交于A，B 两点第一象限上的
14、点 M（m， x4,n）（在 A 点左侧）是双曲线 y= k 上的动点过点 B 作 BDy 轴交 x 轴于点 D 过 N x k,（0，n）作 NCx 轴交双曲线y=于点 E，交 BD 于点C,x （1）若点D 的坐标是（8，0），求 A，B 两点的坐标及 k 的值；,若 B 是 CD 的中点，四边形 OBCE 的面积为 4，求直线CM 的解析式； 设直线 AM，BM 分别与 y 轴相交于 P，Q 两点，且 MA=pMP，MB=qMQ，求 pq 的值,如图，在等腰梯形ABCD 中，CDAB，CD=6，AD=10，A=60，以 CD 为弦的弓 形弧与 AD 相切于D，P 是 AB 上的一个动点，
15、可以与 B 重合但不与A 重合，DP 交弓 形弧于 Q 求证：CDQDPA； 设 DP=x，CQ=y，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； 当 DP 之长是方程 x28x20=0 的一根时，求四边形 PBCQ 的面积,8,学 海 无 涯,答案: 1202y= 12 x,3y= 100 x,42 或1；1,52；2 5,60b47（2，2）,8 9C10B11C12C13B14D15A 16C,17（1）由,x,y x 2,1,，解得 1, y 8x 4x 2,， 1, y 2y 4, 1,A（2，4），B（4，2） （2）当 y=0 时，x=2，故 y=x+2 与
16、 x 轴交于 M（2，0），OM=2,11,2,SAOB=SAOM +SBOM =OMyA+OMyB=,1 2,1,2,24+22=4+2=6 ,18（1）y=x+2,2 （2）SAOB =6,19由=（4a）24（4a26a8）0 得 a 4 ， 3 又a 是最小整数，,xm,a=1 二次方程即为x2+4x+2=0，又 mn=2，而（m，n）在 y= k 的图像上，n= k ，mn=k，,2,k=2，y=,x 20依题意得，直线L 的解析式为 y=x,A（a，3）在直线 y=x 上， 则 a=3即 A（3，3）,k,x,又A（3，3）在y=的图像上，,可求得 k=9,9,反比例函数的解析式为 y=,x 21（1）D（8，0），B 点的横坐标为8，代入 y= 1 x 中，得y=2 4 B 点坐标为（8，2），而 A，B 两点关于原点对称，A（8，2）,9,
