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1、学 海 无 涯,数列及其通项,n,例 1 设a ,2,n1nn1 n,是首项为 1 的正项数列，且 n 1,a na 2 naa 0（ n =1，2，3，），则它的通项公,式是an = 分析本题由递推式求通项公式,考虑到填空题特点：即只要结果不要过程,故采用不完全归纳法(由特殊到 一般).也可化简递推式,从而求得通项公式.,1,解法一：由条件 a 1,2,2,nn1 n,n1,2,n 1a na na a 0,可得a,234,34, 1 , a 1 , a 1 ,(负值舍去),n,n,由此可猜想a 1 .,解法二：,22,n1,nn1 nn1nn1n,由n 1a na na a 0,可得n 1
2、a na (a a ) 0,n,n1nn1n,因为a 0 ,所以(a a ) 0 故只有n 1a na 0 ,即,an 1,an,n,n1,n,所以a ,n1,ana,n1n2n3,n2,aaa,a,1,1,2,a,a, a,=,1 n,n1n1 链接形如an1 an q(n) 的递归式,其通项公式求法为： an a1 (ak 1 ak ) a1 q(k) k 1k 1,23,1,n1nn1,aaan,a aa,12n1,形如a p(n)a 的递归式,其通项公式求法为： a a , a p(1) p(2),p(n 1),n 98,例 2 . 已知 an = n,99,(nN*)，则在数列an
3、的前 20 项中，最大项和最小项分别是(),A.a9,a8 .B.a10,a9 .C.a8,a9 .A.a9,a10 .,分析因为 an =1+,99 98,n 99,所以 a1,a2 ,a9 组成递减数列，a1 最大，a10 最小;,a10,a11 ,a20 组成递减数列，a10,最大，a20,最小，计算 a1 a10, a9 a20. 所以在数列 an 前 20 项中，最大项为 a10，最小项为 a9，故选B. 说明要确定数列 an 的最大项和最小项，一种思路是先判断数列的单调性，另一种思路是画图观察. 等差数列与等比数列 例 1.设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn.,1,2,k,k
4、 2,()若首项a 3 ，公差d 1 ，求满足 S, (S ) 2 的正整数 k；,()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数 k 都有 S 2 (Sk ) 2 成立. k,2,【答案】解：（I）当a 3 , d 1时， S na,1n1, n(n 1) d 3 n n(n 1) 1 n2 n 2222,1,1,2,2,k,k 2,4,1,242223,由 S (S ) , 得k k ( k k ) ，即k ( k 1) 0 。,又 k 0, 所以k 4 。 （II）设数列an的公差为 d，则在 S 2 (S ) 中分别取k =1，2,得 2 nn,第 页共 151页,学 海 无 涯,2
5、,2,11,2,22,a a2,S (S )2, 11, 11,2 1,4a 4 3 d (2a, S (S ), 4,（1）, 即,d ) （2）,?。,d 0d 6d 0d 2,a 0a 0a 1a 1 解得1或1或1或1,。,1nnk,k 2,若 a 0, d 0, 则a 0, S 0, 从而S (S )2 成立；,若 a 0, d 6, 则a 6(n 1), 由S 18, (S )2 324, S 216知 s (S ) 2 , 1n33n93 故所得数列不符合题意。,1nnk,k 2,若 a 1, d 0,则a 1, S n,从而S (S )2 成立；,n,若 a1 1, d 2,则
6、an 2n 1, Sn 1 3 (2n 1) n , 从而S (S ) 成立。 22,综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列： an : an=0，即 0，0，0，； an : an=1，即 1，1，1，； an : an=2n1，即 1，3，5，。 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。 【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前 n 项的和，代入到 S 2 (Sk ) 2 求得k 。 k （）设数列an的公差为 d，在 Sn2=(Sn)2 中分别取k =1，2 求得a1 ，代入到前 n 项的和中分别,求得 d，进而对a1 和 d 进行验证，最后综合求得答案。 例 2OBC 的在个
7、顶点坐标分别为（0,0）、（1,0）、,1,（0,2）,设 P1 为线段 BC 的中点,P2 为线段CO 的中点,P3 为线 段 OP1 的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段PnPn+1 的中点,令 Pn 的 坐标为(xn,yn), an 2 yn yn1 yn2 . （）求a1 , a2 ,a3 及 an ;,4,（）证明 y 1 yn , n N ;,n4,n,()若记bn y4n4 y4n , n N , 证明b 是等比数列,分析本题主要考查数列的递推关系、等比数列等基础知识，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题 的创新能力 利用图形及递推关系即可解决此类问题 解() 因 为
8、 y y y 1, y 1 , y 3 ， 1243254,C,第 页共 152页,B,X,Y,P,P,P,O,1,2,3,学 海 无 涯,123,2,n3, yn yn1,所以a a a 2 ，又由题意可知 y,2,n1,n1 yn2 yn3, a 1 y,n1n2,1 =y y 2, yn yn1 = 1 y 22,n yn1 yn2 an ,n, a 为常数列 a a 2, n N .,n1,2,nn1n2,()将等式 1 y y y, 2 两边除以 2，,得,2,n, yn1 yn2 1,1 y 4,2,n4, yn1 yn2,又 y,4, y 1 yn .,n4,（） bn1 y4n
9、3 y4n4, (1 y4n4 ) (1 y4n ) = 1 ( y,4n44n,4,n, y ) = 1 b ,4,134,又 b y y 1 0,n,444 b 是公比为, 1 4,的等比数列,m n,证明：不等式 5amn a a 1 对任何正整数m, n 都成立（6 分）,【答案】解：（1）由已知，得 S1 a1 1， S2 a1 a2 7 ， S3 a1 a2 a3 18 ， 由(5n 8)Sn1 (5n 2)Sn An B ，知, 2S 12S 2A B,，即,32,2 A B 48, 3S2 7S1 A BA B 28,，解得 A ,20, B 8 。,（2）由（1）得(5n 8
10、)Sn1 (5n 2)Sn 20n 8, (5n 3)Sn2 (5n 7)Sn1 20n 28,说明 本题符号较多，有点列Pn，同时还有三个数列an，yn ， bn，再加之该题是压轴题，因而考生 会惧怕，而如果没有良好的心理素质，或足够的信心，就很难破题深入即使有的考生写了一些解题过程， 但往往有两方面的问题：一个是漫无目的，乱写乱画；另一个是字符欠当，丢三落四最终因心理素质的 欠缺而无法拿到全分 例 3设数列an 的前n 项和为 Sn ，已知a1 1, a2 6, a3 11，且 (5n 8)Sn1 (5n 2)Sn An B, n 1,2,3, ，其中 A.B 为常数新疆 王新敞 奎屯 求
11、A 与 B 的值；（2 分） 证明：数列an 为等差数列；（6 分）,新疆王 新敞奎 屯,第 页共 153页,学 海 无 涯 得， (5n 3)Sn2 (10n 1)Sn1 (5n 2)Sn 20 (5n 2)Sn3 (10n 9)Sn2 (5n 7)Sn1 20 得(5n 2)Sn3 (15n 6)Sn2 (15n 6)Sn1 (5n 2)Sn 0 。 an1 Sn1 Sn ， (5n 2)an3 (10n 4)an2 (5n 7)an1 0 。 (5n 2) 0 ， an3 2an2 an1 0 。 an3 an2 an2 an1 ， n 1。 又 a3 a2 a2 a1 5，数列an 为
12、等差数列。 （3）由（2） 可知， an 1 5(n 1) 5n 4 ， 要 证 5amn aman 1 ，只要证5amn 1 aman 2 aman 。 因为amn 5mn 4 ， aman (5m 4)(5n 4) 25mn 20(m n) 16 ， 故只要证5(5mn 4) 1 25mn 20(m n) 16 2 aman ， 即只要证20m 20n 37 2 aman 。 因为 2 aman am an 5m 5n 8 5m 5n 8 (15m 15n 29) 20m 20n 37 ， 由于以上过程是可逆的，所以命题得证。 【考点】数列的应用。,第 页共 154页,【分析】（1）由题意
13、知,2S3 12S2 2A B, 3S2 7S1 A B,，从而解得 A=20，B=8。,（2）由（）得(5n 8)Sn1 (5n 2)Sn 20n 8 ，所以在式中令n n 1 ，可得 (5n 3)Sn2 (5n 7)Sn1 20n 28 由此入手能够推出数列an为等差数列。 （3）由（2）可知， an 1 5(n 1) 5n 4 ，然后用分析法可以使命题得证。 例 4.已知 an 是等差数列，bn 是公比为q 的等比数列， a1 b1, a2 b2 a1 ，记 Sn 为数列bn 的前n 项和， 若bk am (m, k 是大于2 的正整数) ，求证： Sk 1 (m 1)a1 ；（4 分）
14、 若b3 ai (i 是某一正整数) ，求证： q 是整数，且数列bn 中每一项都是数列an 中的项；（8 分）,学 海 无 涯 （3）是否存在这样的正数 q ，使等比数列bn 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 q 的值，并加以 说明；若不存在，请说明理由；（4 分） 【答案】解：设an 的公差为d ，由a1 b1, a2 b2 a1 ，知d 0, q 1， d a 1 q 1 （ a1 0 ） （1）证： bk am ，,11,1,k 1, a qk 1 a m 1 a q 1 ， q 1 m 1 q 1 2 m m 1 q 。,1,1,1,q,k 1,k 1,a 1 q,a m 1 m
15、 1 q, S,1 q, m 1 a 。,（2）证： b a q2 , a a 31i1, i 1a1 q 1 ，且b3 ai ，, q2 1 i 1q 1, q2 i 1q i 2 0, 解得， q 1或q i 2，但q 1， q i 2。 i 是正整数， i 2 是整数，即q 是整数。,nn1,n1,设数列b 中任意一项为b a qn N，,n,m,设数列a 中的某一项a,1,1, ,= a m 1 a q 1m ,N，,1,现在只要证明存在正整数m ，使得b a ，即在方程a qn1 a nm11, m 1a q 1 中m 有,正整数解即可。,2, q,n1,n2,qn1 1, 1 m
16、1q 1, m 1 ,q 1, 1 q q q，, m 2 q q2 ,qn2 。,若i 1 ，则q 1，那么b2n1 b1 a1, b2n b2 a2 。 当i 3 时， a1 b1, a2 b2 ，只要考虑n 3 的情况， b3 ai ， i 3 ， q 是正整数。 m 是正整数。,nn1,n1,n,2,数列b 中任意一项为b a qn N与数列a 的第2 q q ,qn2 项相等，,第 页共 155页,从而结论成立。,（3）设数列,n,b 中有三项,mnp,b , b , bm n p, m, n, p N,成等差数列，则有,2 a qn1 a qm1 a q p1 。 111,学 海 无 涯,设 n m x, p n y, x, y N ，则 2 1 qy 。
